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文档简介
1、反证法一、教学目标:结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法反证法;了解反证法的思考过程与特点。二、教学重点:了解反证法的思考过程与特点。教学难点:正确理解、运用反证法。三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程(一)、复习:综合法与分析法综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看,分析法执果索因,常常根底渐近,有希望成功;综合法由因导果,往往枝节横生,不容易奏效。就表达过程而论,分析法叙述烦琐,文辞冗长;综合法形式简洁,条理清晰.也就是说,分析法利于思考,综合法宜于表述。因此,在实际解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解题
2、过程。(二)、探究新课1、反证法反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一
3、1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。2、例题探析例1、已知a是整数,2能整除,求证:2能整除a.证明:假设命题的结论不成立,即“2不能整除a”。因为a是整数,故a是奇数,a可表示为2m+1(m为整数),则,即是奇数。所以,2不能整除。这与已知“2能整除”相矛盾。于是,“2不能整除a”这个假设错误,故2能整除a.例2、在同一平面内,两条直线a,b都和直线c垂直。求证:a
4、与b平行。证明:假设命题的结论不成立,即“直线a与b相交”。设直线a,b的交点为M,a,c的交点为P,b,c的交点为Q,如图所示,则。这样的内角和 。这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾,这说明假设是错误的。所以直线a与b不相交,即a与b平行。例3、求证:是无理数。证明: 不是无理数,即是有理数,那么它就可以表示成两个整数之比,设,且p,q互素,则。所以 。 故是偶数,q也必然为偶数。设q=2k,代入式,则有,即,所以p也为偶数。P和q都是偶数,它们有公约数2,这与p,q互素相矛盾。因此,假设不成立,即“是无理数”。(三)、小结:反证法的证题步骤是:(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导
5、出矛盾;(3)否定假设,肯定结论。应用关键:在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等).方法实质:反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,即由一个命题与其逆否命题同真假,通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实. 注:结合准备题分析以上知识。反证法的适应范围(“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题)(四)、练习:1、课本练习1. 2、“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题?证法:先假设可以作一个O过A、B、C三点, 则O在AB的中垂线l上,O又在BC的中垂线m上, 即O是l与m的交点。 但 A、B、C共线,lm(矛盾) 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆。(五)、作业:课本习题1-3: (3)、(4)补充题:若、,(1)求证:;(2)令,写出、的值,观察并归纳出这个数列的通项公式;(3)证明:存在不等于零的常数p,使是等比数列,并求出公
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