2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何课时达标49圆锥曲线的综合问题

1、课时达标第49讲 圆锥曲线的综合问题解密考纲圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，体现了函数与方程思想和数形结合的思想，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主在高考中进行考查其目标是考查学生几何问题代数化的应用、运算能力和分析解决问题的能力1已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若2，求直线l的方程解析(1)设椭圆方程为1(ab0)因为c1，所以a2，b，所以椭圆方程为1.(2)由题得直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，则由得(34k2)x28kx80，且0

2、.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由2，得x12x2.又所以消去x2得2，解得k2，k，所以直线l的方程为yx1，即x2y20或x2y20.2(2017全国卷)在直线坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由(2)证明：过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值解析(1)不能出现ACBC的情况理由如下：设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2mx20，所以x1x22.又点C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况(2)证明：BC的中点坐

3、标为，可得BC的中垂线方程为yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立又xmx220，可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r.所以圆在y轴上截得的弦长为23.故过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3已知椭圆C：1(ab0)过点，且长轴长等于4.(1)求椭圆C的方程；(2)F1，F2是椭圆C的两个焦点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：ykxm与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若，求k的值解析(1)由题意椭圆的长轴长2a4，解得a2.因为点在椭圆上，所以1，解得b23，所以椭圆C的方程为1.(2)由直线l与圆O相切，得1，即m21k2.设A(x1

4、，y1)，B(x2，y2)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120.由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2kmm2.所以x1x2y1y2.因为m21k2，所以x1x2y1y2.又因为，所以，解得k2，所以k.4如图，已知抛物线C：y24x，过点A(1,2)作抛物线C的弦AP，AQ.若APAQ，证明：直线PQ过定点，并求出定点的坐标证明设直线PQ的方程为xmyn，点P，Q的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)由得y24my4n0，由0，得m2n0，y1y24m，y1y24n.

5、APAQ，0，(x11)(x21)(y12)(y22)0.又x1，x2，(y12)(y22)(y12)(y22)160.(y12)(y22)0或(y12)(y22)160.n2m1或n2m5，0恒成立，n2m5.直线PQ方程为x5m(y2)，直线PQ过定点(5，2)5已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y24x上相异两点，且满足x1x22.(1)若AB的中垂线经过点P(0,2)，求直线AB的方程；(2)若AB的中垂线交x轴于点M，求AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程解析(1)根据题意，设AB的中点为Q(1，t)，则kAB.由P，Q两点得线段AB的中垂线的斜率kt2，由(t2)

6、1，得t.直线AB的方程为yx.(2)由(1)知直线AB的方程为yt(x1)，线段AB的中垂线方程为yt(x1)，即y(x3)，所以中垂线交x轴于点M(3,0)，点M到直线AB的距离d.由得4x28x(t22)20，x1x22，x1x2，|AB|x1x2|，S|AB|d.当t2时，S有最大值，此时直线AB的方程为3xy10.6(2018四川成都摸底测试)在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(1,0)，(1,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于2，记顶点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设直线ykx2(0k2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R(点R在点P和点Q之间)，且，求实数的取值范围解析(1)设C(x，y)由题意，可得2(x1)，曲线E的方