2013届高考数学考点回归总复习《第二十二讲 正弦定理和余弦定理》课件.ppt

1、第二十二讲正弦定理和余弦定理,回归课本,1.正弦定理 (1)内容: =2R(其中R为ABC外接圆的半径). (2)正弦定理的几种常见变形 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; (其中R是ABC外接圆半径),asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA; a:b:c=sinA:sinB:sinC.,2.余弦定理 (1)余弦定理的内容 c2=b2+a2-2bacosC, b2=a2+c2-2accosB, a2=b2+c2-2bccosA.,完全免费,无需注册,天天更新！,(2)余弦定理的变形,(3)勾股定理是余弦定理的特殊情况 在余弦定理表达式中分别令

2、ABC为90,则上述关系式分别化为:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.,3.解斜三角形的类型 在ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:,4.测距离的应用,5.测高的应用,6.仰角俯角方位角视角 (1)在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角,如下左图所示.,(2)如上右图所示,P点的方向角为南偏东60. (3)由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做视角.,7.ABC的面积公式有,考点陪练,答案:C,答案:C,答案:D,4.在ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若 B=45,则角A等于( ) A.30B.30或10

3、5 C.60D.60或120,答案:D,5.(2010湖南)在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120, a,则( ) A.ab B.ab C.a=b D.a与b的大小关系不能确定 解析:c2=a2+b2-2abcos120a2-b2-ab=0b= a,故选A. 答案:A,类型一正弦定理和余弦定理的应用 解题准备:1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起来运用. 2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.,3.综合运用正余弦定理解三角形问题时,要注意以

4、下关系式的运用:A+B+C=,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-,【典例1】在ABC中,若B=30, AC=2,求ABC的面积. 解解法一:根据正弦定理有 sinC= 由ABAC知CB,则C有两解.,(1)当C为锐角时,C=60,A=90,由三角形面积公式得: S= ABACsinA= 2sin90= . (2)当C为钝角时,C=120,A=30,由三角形面积公式得: S= ABACsinA= ABC的面积为 或,解法二:由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|BC|cosB,即:4=12+|BC|2-2 |BC| |BC|2-6

5、|BC|+8=0,|BC|=2或|BC|=4. (1)当|BC|=2时,S= |AB|BC|sinB (2)当|BC|=4时,S= |AB|BC|sinB ABC的面积为 或,反思感悟本题主要考查正弦定理三角形面积公式及分类讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推理能力.,类型二判断三角形的形状 解题准备:1.这类题型主要是利用正余弦定理及其变形,把题设条件中的边角关系转化为角或边的简单关系,从而进行判断.,2.判断三角形的形状的思路大致有两种:一是化边为角,以角为着眼点,利用正余弦定理及变形,把已知条件转化为内角三角函数之间的关系,走三角变形之路;二是化角为边,以边为着眼点,利用正

6、余弦定理及变形,把已知条件转化为边的关系,走代数变形之路.在运用这些方法对等式变形时,一般两边不约去公因式,应移项提公因式,以免产生漏解.,【典例2】在ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断该三角形的形状. 分析利用正、余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关系.,解解法一:由已知(a2+b2)sin(A-B) =(a2-b2)sin(A+B). 得a2sin(A-B)-sin(A+B) =b2-sin(A+B)-sin(A-B) 2a2cosAsinB=2b2cosBsinA. 由正弦定理得 sin

7、2AcosAsinB=sin2BcosBsinA, 即sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB.,0A,0B,sin2A=sin2B 2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B= ABC是等腰三角形或直角三角形.,解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA, 由正、余弦定理得 a2b =b2a a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,a=b或c2=a2+b2, ABC为等腰三角形或直角三角形.,反思感悟判断三角形形状主要有如下两条途径: (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配

8、方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.,类型三测量高度和角度问题 解题准备:1.在测量高度的问题中,要正确理解仰角俯角和坡角坡度等特定的相关概念,画出准确的示意图. 2.(1)仰角俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角. (2)坡角坡度:坡面与水平面的夹角叫做坡角;坡面的竖直高度与水平宽度的比值叫做坡度.,

9、3.测量角度问题,首先要明确方位角方向角的含义:指北或指南方向线与目标方向线所成的090的角叫做方向角:从指正北方向线顺时针转到目标方向线所成的角度叫做方位角. 4.方向角是解三角形实际问题中经常出现的.目标方向角一般可用“x偏x多少度”来表示,这里第一个“x”是“北”或“南”,第二个“x”是“东”或“西”.如北偏东25等.,5.在解此类应用题时,分析题目条件,理清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键最重要的一步.通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正余弦定理“联袂”使用的优点.,【典例3】在湖面上高h m处,测得天空中一朵云的仰角为,测得云在湖中

10、之影的俯角为. 试证云距湖面的高度为,证明如图,设湖面上高h m处为A,测得云C的仰角为,测得C在湖中之影D的俯角为,CD与湖面交于M,过A的水平线交CD于E.,反思感悟在测量高度时,要理解仰角俯角的概念.仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.,解斜三角形应用题的一般步骤是: 准确理解题意,分清已知与所求; 依题意画出示意图; 分析与问题有关的三角形; 运用正余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案; 注意方程思想的运用; 要把立体几何知识与平面几何知识综合运用.,探究如图,在海岸A处发现北偏东45方向,距A

11、处 海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以 海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度,从B处向北偏东30方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.,解设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,则CD= t海里,BD=10t海里,在ABC中,由余弦定理,有BC2=AB2+AC2-2ABACcosA, ( )2+22-2( )2cos120=6, BC= 海里. 又 sinABC= ABC=45,B点在C点的正东方向上, CBD=90+30=120.,在BCD中,由正弦定理,得 sin

12、BCD= BCD=30,缉私船沿北偏东60的方向行驶. 又在BCD中,CBD=120,BCD=30, D=30,BD=BC,即 t= 小时15分钟. 缉私船应沿北偏东60的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.,评析应用解三角形的知识解决实际问题的基本步骤是:(1)根据题意,抽象或者构造出三角形;(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边和角的对应关系;(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解;(4)给出结论.,错源一因忽视边角关系而致错 【典例1】在ABC中,已知A=60, ,b=2,则角B=_. 错解在ABC中,由正弦定理,可得 sinB= 所以B=

13、45或B=135.,剖析上述错解中的错误十分明显,若B=135,则A+B=195180,故B=135不适合题意,是个增解.这个增解产生的根源是忽视了ab这一条件,根据三角形的边角关系,角B应小于角A,故B=135应舍去.,正解在ABC中,由正弦定理可得 因为ab,所以AB,所以B=45. 答案45 评析已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角时,一定要注意根据边角关系,确定适合题意的角是一个还是两个.,错源二因忽视边角关系而致错 【典例2】在ABC中,tanA=a2,tanB=b2,那么ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形,剖析上述错解忽视了

14、满足sin2A=sin2B的另一个角之间的关系:2A+2B=180.,答案D,评析判断三角形形状时,一定要把边或角的关系考查周全,避免遗漏.,错源三因忽视角的范围而致错 【典例3】在ABC中,若A=2B,求 的取值范围. 错解在ABC中,由正弦定理,可得 因为0B,所以-1cosB1, 所以-22cosB2,又 , 所以02cosB2, 所以 的取值范围是(0,2).,剖析上述错解忽视了根据已知条件A=2B进一步考查角B的取值范围. 正解在ABC中,由正弦定理,可得 因为A=2B,A+B,所以 所以 cosB1,所以12cosB2, 所以 的取值范围是(1,2).,评析对于三角形的内角,一定要

15、注意根据三角形内角和定理准确限定角的取值范围.,错源四因忽视隐含条件而致错 【典例4】在ABC中,已知a=4+b,a+c=2b,最大角为120,求最大边长. 错解由 可得b-c=4, 所以abc,即最大边长为a, 所以A=120, 因为b=a-4,c=b-4=a-8,所以在ABC中由余弦定理,得 解得a=14或a=4, 所以最大边长为4或14. 剖析上述错解忽视了已知条件a=4+b中隐含的a4这一要求.,正解由 可得b-c=4, 所以abc,即最大边长为a, 所以A=120, 因为b=a-4,c=b-4=a-8, 所以在ABC中由余弦定理,得,解得a=14或a=4, 因为a=4+b,所以a4,

16、 所以最大边长为14.,评析对于题目中的隐含条件,尤其是范围条件,一定要善于挖掘.,错源五忽视内角和定理的限制,答案A,技法一方程思想 【典例1】如图,D是直角ABC斜边BC上一点,AB=AD,记CAD=,ABC=. (1)证明:sin+cos2=0; (2)若AC= ,求的值.,方法与技巧第(2)问借助正弦定理得到“sin= sin”,结合第(1)问的结论消去角,把问题转化为关于sin的一元二次方程,通过解方程求得.此题灵活运用了消元思想和方程思想.,技法二分类讨论思想 【典例2】如图,有两条相交成60的直线xx,yy,其交点为O,甲、乙两辆汽车分别在xx,Oy上行驶,起初甲离O点30 km

17、,乙离O点10 km,后来两车均用60 km/h的速度,甲沿xx方向,乙沿yy方向行驶(设甲、乙两车最初的位置分别为A,B).,(1)起初两车的距离是多少? (2)用包含t的式子表示,t小时后两车的距离是多少?,解(1)由余弦定理,知 AB2=OA2+OB2-2OAOBcos60 =302+102-23010 =700. 故AB= (km). 即起初两车的距离是,(2)设甲乙两车t小时后的位置分别为P,Q,则AP=60t,BQ=60t. 当0t 时,POQ=60. 此时OP=30-60t,OQ=10+60t. 由余弦定理,得 PQ2=(30-60t)2+(10+60t)2-2(30-60t)(10+60t)cos60 =10800t2-3600t+700.,当 时,POQ=120. 此时OP=60t-30,OQ=10+60t. 由余弦定理,得 PQ2=(60t-30)2+(10+60t)2-2(60t-30)(10+60t)cos120 =10800t2-3600t+700. 综上知PQ2=10800t2-3600t+700. 则 故t小时后两车的距离是,方法与技巧本题是一个解三角形的实际问题,由于两车的行驶方向导致以O点为起点的两线段的夹角发生变化,因此必须对两种情况进行分类讨论.,技法三数形结合思想 【典例3】在斜度一定的山坡上的