幂级数解方程(偏微分方程)

1、.,幂级数解法本征值问题,第十一章,王建东,沙河校区计算机楼东206 ,.,11.1二阶常微分方程的幂级数解法,11.1.1幂级数解法理论概述,1. 球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量,一、分离变量法求解偏微分方程：,.,可直接求解,可直接求解,对第3个方程作变量替换,为为 l 阶连带勒让德方程，不可直接求解,.,若讨论问题具有旋转轴对称性，即 m=0,为 l 阶勒让德方程，不可直接求解,2. 柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量,.,可直接求解,可直接求解,对第3个方程： (1) 若 0 ，作变换,为 m 贝塞尔方程，不可直接求解, =0可直接求解,.,(2) 若 0 ，作变换,为虚宗量贝塞尔

2、方程，不可直接求解,.,.,用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程。用其他坐标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出现各种各样的特殊函数方程，它们大多是二阶线性常微分方程。这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定解问题。 不失一般性，我们讨论复变函数(z)的线性二阶常微分方程：,(11.1.1),.,这里 z 是复变量，p(z) 和 q(z) 是已知的复变函数，称为方程的系数， (z)是待求的未知函数，z0为选定的点，C0和C1为复常数。,这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的

3、解法解出，但可用幂级数解法解出。幂级数解法求解二阶常微分方程的具体过程为：,（1） 任选某个点z0，在其邻域上把待求的解 表为系数待定的幂级数；,.,（2） 将这个幂级数形式解代入方程和定解 条件，求出所有待定幂级数系数。,(2) 既然是级数，就存在是否收敛和收敛范围的问 题；,说明：,级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无 特殊的要求；,(3) 级数解法的计算较为繁琐，要求耐心和细心。,.,二、方程的常点和奇点概念,定义 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)都在点z0及其邻域内解析，则称点z0为方程(11.1.1)的常点。,定义 11.1.2 只要系数p(z)和q(z

4、)之一在点z0不解析，则称点z0为方程(11.1.1)的奇点。,定义 11.1.3 若(z-z0)p(z)及(z-z0)2q(z)都在点z0解析，则称点z0为方程(11.1.1)的正则奇点，否则称为方程的非正则奇点。,.,定理 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)为点z0的邻域 |z-z0|R 中的解析函数，则方程在这个圆中存在唯一的解析解(z)满足初始条件(z0)=C0和(z0)=C1 。,定理 11.1.2 若z0为方程(11.1.1)的常点，则在z0点的邻域内，方程(11.1.1)的通解形式为,其中a0和a1为任意常数， 0(z)和1(z)为在点z0解析的两个线性

5、独立的函数。,(11.1.2),.,三、常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解）,在x0=0的邻域求解 l 阶勒让德方程：,方程的系数：,.,在x0=0，方程的系数p(x0)=0，q(x0)=l(l+1)单值且为有限值，因此它们必然在x0=0处解析，故x0=0为方程的常点，根据常点邻域上解的定理11.1.2，解具有泰勒级数形式：,根据此解的形式，于是有：,.,代入勒让德方程，可得：,合并整理后可得：,.,将各求和号内k的起点统一化：,.,因此合并x的同幂次项后有：,.,要使上述方程对任意的x都成立(=0)，则要求x各幂次前的系数必须为0，即：,解得系数间的递推关系：,.,因此，若知道级数系数

6、a0、a1，则可由上述递推公式计算出任一系数ak(k=2,3,)。,系数递推：,.,.,.,.,勒让德方程的解为：,.,pl(x)仅含x的偶次幂，为偶函数；ql(x)仅含x的奇次幂，为奇函数。它们的收敛半径(达朗贝尔判别法)为：,因此，级数解 pl(x) 和 ql(x) 收敛于|x|1；但勒让德方程中的x=cos定义于-1,1上，因此还要考虑级数解在x=1处的收敛性。,.,高斯判别法：,时，若前后邻项之比可表示为：,其中B(k)是当k时为k的有界函数，则当1时级数收敛，当 1时级数发散。,.,对于足够大的k， pl(x)和ql(x) 均为正项级数。,对于pl(x)：,根据高斯判别法，=1，级数

7、pl(x)发散。,.,对于ql(x)：,根据高斯判别法，=1，级数ql(x)发散。,.,如果级数解 pl(x) 和 ql(x) 退化为有限项，即多项式，则它们在x=1处取有限数值，那么发散问题就根本不存在了。,考察 pl(x)：,.,如果l是某个偶数，l=2n(n是正整数)，则 pl(x)只到x2n项为止，从x2n+2项起（上式彩色项），系数都含有因子(2n-l)从而都为0。这样pl(x)不再是无穷级数，而是2n次多项式，并且只含偶次幂。至于pl(x)因其系数不含(2n-l)，仍是无穷级数，且在x=1处发散。,考察ql(x)，如果l是某个奇数，l=2n+1(n是非负整数)，则 ql(x)只到x

8、2n+1项为止，从x2n+3项起，系数都含有因子(2n+1-l)从而都为0。这样ql(x) 是2n+1次多项式，并且只含奇次幂。此时pl(x)因其系数不含(2n+1-l)，仍是无穷级数，且在x=1处发散。,.,其实，考察级数解的系数递推公式便知，只要l是整数，如l=n(正负均可)，k从某个数k=n(n为正)或k=-n-1(n为负)起，级数解的偶数或奇数系数全为0：ak+2=0、 ak+4=0，级数的偶数或奇数部分变成多项式。,一般情况下，我们均取l是非负整数，且在一般解y(x)中取常数a0=0(a10)或a1=0(a00)，使y(x)成为一个只含偶次幂或奇次幂的l次多项式，作为特解，称作l阶勒

9、让德多项式，记Pl(x)。,.,可以看出 l 次勒让德多项式Pl(x)的系数繁琐，为了使其有比较简单的形式，且使它在x=1处的值恒为1(归一化)，选最高次幂的系数为：,勒让德多项式Pl(x)的系数递推关系改写为：,.,这样我们可从最高次幂系数al依次获得其它低次幂系数：,.,.,.,.,依次做下去，利用数学归纳法，可得：,其中：,.,因此所求得的勒让德方程的多项式解为：,该 l 阶勒让德多项式Pl(x)也称为第一类勒让德函数。,前几个勒让德多项式：,.,.,当l是非负整数时，勒让德方程的一般解中的一个解为勒让德函数，而另外一个线性独立的解则为无穷级数，称为第二类勒让德函数，记为Ql(x)，其表

10、达式为（朗斯基行列式导出，不作要求）：,.,Ql(x)和Pl(x)的递推公式具有相同的形式，所以勒让德方程,的通解为,.,总结：,（1）当l不是整数时，勒让德方程在区间-1,1上 有无解解；,（2）当l是整数时，勒让德方程的通解为,Pl(x)称为第一类勒让德函数，Ql(x)称为第二类勒让德函数；,（3）当l是整数时，在自然边界条件下(|cos|1)， 要求解有界，因此必须取C2=0。,.,四、正则奇点邻域上的幂级数解法（贝塞尔方程的 求解）,对于复变函数(z)的线性二阶常微分方程：,如果选定的z0是该方程的奇点，则一般来说，解也以z0为奇点，在z0邻域上的展开式不是泰勒级数而含有负幂项，即展开

11、式是罗朗级数，且有如下定理：,.,定理 11.1.3 若z0为方程(11.1.1)的正则奇点，则存在两个线性无关(独立)的解，它们在这奇点的去心邻域上可表示成下列形式：,和,或：,常系数s1、s2、ak、bk和A通过将解代入方程合并(z-z0)的同幂项使其系数为0得出，这里不作展开。,.,（1）贝塞尔方程的求解,对于上述阶贝塞尔方程,所以x=0为方程的正则奇点，根据上述定理，方程的一个特解可展开为如下形式的级数：,.,此时,将此3式代入阶贝塞尔方程，可得：,.,合并x的同幂次：,要使此方程对任意的x都成立，则必须使x的各幂次前的系数为0，即：,.,取a00，由第1式可解得：,代入第2式，可解得

12、：,因为,由3式，可解得级数解的系数递推公式：,.,因为a1=0，从该递推公式可知：,取c= ( 0)，可得偶数幂次系数：,.,因此我们得到贝塞尔方程的一个特解：,.,通常我们取,并记y1(x)为J(x)，称之为阶贝塞尔函数，即,若取c=-，及,可得方程的另一个特解，并记为J-(x)，称之为-阶贝塞尔函数，即,., 若n(整数)，当x0时,J(x)和J-(x)统称为阶第一类贝塞尔函数。,常数,J(x)和J-(x)线性无关，因此贝塞尔方程的通解为：,., 若=n(整数),(-n+m+1)函数的定义要求(-n+m+1)0，即m n-1，令k=m-n，可得,.,即正、负n阶的贝塞尔函数线性相关，因此

13、它们的线性组合不能构成贝塞尔方程的通解，此时需要根据Jn(x)求出另一个与它线性无关的特解：,通常这一特解定义为,称为第二类贝塞尔函数或诺伊曼函数。,.,（2）贝塞尔方程解的敛散性,对于贝塞尔函数J(x)，其收敛半径为：,即级数解J(x)的收敛范围为0|x|。,对于贝塞尔函数J-(x)，其收敛半径为：,但此级数解J(x)存在负幂项，所以其收敛范围为0|x|。,.,（3）贝塞尔函数举例,最低阶的二个第一类贝塞尔函数J0(x)和J1(x)在实际应用中经常遇到，如平行光通过凸透镜在交点处的光场分布就是一阶贝塞尔函数。,贝塞尔函数可通过数学用表或数学手册查到,.,.,.,11.1.2 施图姆刘维尔本征

14、值,在运用分离变量法求解偏微分方程时，在边界条件的约束下，会出现种种含有参数的常微分方程，而它们又只在这些未知参数取特定值时才有非零解，这些未知参数所取的特定值称为本征值，相应的非零解则称为本征函数。求本征值和本征函数的问题称为本征值问题。一些偏微分方程定解问题的最后解决往往取决于本征值问题的解决。因此从数学理论上讨论本征值问题具有重要的意义。,.,前面对数理方程分离变量后所得到的一些带有参量的常微分方程的一般形式为：,一、施图姆刘维尔本征值问题,做变换,.,则原方程变为,因此，任何一个形如上述一般形式的含参数的二阶常微分方程均可化为此形式，该形式的方程称为施图姆刘维尔型方程，简称为S-L方程

15、。,施图姆刘维尔型方程附以奇次的第一类、第二类、第三类或自然边界条件，就构成施图姆刘维尔本征值问题。,.,例1：,或,自然边界条件：,有界,代入S-L方程可得：,有界,有界,此两方程为勒让德方程本征值问题。,.,例2：,或,自然边界条件：,有界,代入S-L方程可得：,.,有界,有界,此两方程为连带勒让德方程本征值问题。,.,例3：,自然边界条件：,有界,代入S-L方程可得：,有界,此方程为贝塞尔方程本征值问题。,注：方程的x为柱坐标系或极坐标系中的极坐标,.,例4：,C1、C2为常数,代入S-L方程可得：,一维自由弦振动问题分离变量后所得的方程，其本征值和本征函数分别为：,.,例5：,代入S-

16、L方程可得：,这是埃尔米特方程,的增长不快于,的本征值问题。（此问题来自量子力学中的谐振子问题）,.,例6：,代入S-L方程可得：,这是拉盖尔方程,的本征值问题。（此问题来自量子力学中的氢原子问题）,.,注：在以上各例中，k(x)、q(x)和(x)在开区间(a, b)上都取正直。,（2）贝塞尔方程的k(x)=x，k(0)=0，在端点x=0确实存在着自然边界条件；,从以上各例还可看出，如端点a和b是k(x)的一级零点，在那个端点就存在着自然的边界条件，例如：,（1） 勒让德方程的k (x)=1-x2，k(1)=1-(1)2=0，在端点x=1确实存在自然边界条件；,（3）再如拉盖尔方程的k(x)=

17、xe-x，k(0)在端点x=0确实有自然边界条件。,.,二、施图姆刘维尔本征值问题的共同性质,（1） 如果k(x)、 k(x)、 q(x)连续或者最多以x=a 和x=b为一阶极点，则存在无限多个本征值,条件：S-L本征值问题中的k(x)、q(x)和(x)在 开区间(a, b)上非负（0）。,相应的有无限多个本征函数,.,（2） 所有本征值为实数且非负，即,证明：,本征值n和本征函数yn(x)满足,用yn(x)遍乘各项，并逐项从a到b积分可得,.,如果在端点x=a是第一类奇次条件yn(a)=0、第二类奇次条件yn(a)=0或自然边界条件k(a)=0，则,.,如果在端点x=a是第三类奇次条件(yn

18、-hyn)x=a=0，则,同理，可得无论在哪种边界条件下，都有,因此，有,即,大家自己证明n= *n,.,（3） 相应于不同本征值m和n的本征函数ym和yn 在区间a,b上带权重(x)正交，即,证明：,本征函数ym和yn(x)满足,yn(x) 第一式 ym(x) 第二式，可得,.,逐项在区间a,b积分，可得,.,如果在端点x=b是第一类奇次条件y (b)=0、第二类奇次条件y(b)=0或自然边界条件k(b)=0，则,如果在端点x=b是第三类奇次条件(y+hy)x=b=0，则,同理，可得无论在哪种边界条件下，都有,.,因此，有,又mn，所以,得证。,如果(x)=1，则是我们以前学过的函数正交关系

19、,.,（4） 本征函数族y1(x), y2(x), y3(x), 是完备的。,这是说，如果函数f(x)具有连续一阶导数和分段连续二阶导数，且满足本征函数族所满足的边界条件，则其可以展开为绝对且一致收敛的级数：,证明超出我们的范围，略。,.,三、广义傅里叶级数,绝对一致收敛的级数,称为广义傅里叶级数，系数fn(n=1,2,)叫作f(x)的广义傅里叶系数，函数族yn(x)叫作这个级数展开的基。,用ym(x)(x)乘上述级数展开式并逐项积分，可得：,.,记：,由于本征函数带权重的正交性质，上式右端除了n=m项之外全为0，因此有：,上式积分的平方根Nm项叫作本征函数ym(x)的模。,.,从而f(x)的

20、广义傅里叶系数 fm为:,如果本征函数的模Nm=1(m=1,2,)，就称为归一化的本征函数。对于正交归一化的本征函数族，上述广义傅里叶系数计算公式变为：,对于非归一化的本征函数yn(x)，只要改用yn(x)/Nn，就实现了本征函数的归一化。,.,为了方便，我们常将本征函数的正交关系写为:,其中：,称为克罗内克函数，对于正交归一化的本征函数族，上式简化为,.,注：为了应用广义傅里叶系数计算公式，必须先判 定本征函数族是（带权重）正交的，还必须能 计算本征函数族的模。,.,四、复数的本征函数族,以上的讨论假定了本征函数是实变数的实值函数。但本征函数也可以是实变数的复值函数，例如本征值方程,自然周期条件,的本征函数族通常是实函数族：,.,这些实函数族也完全可以由如下复函数族代替,对于复数本征函数族，为了保证模是实数，通常将模定义修改为,其中ym(x)*为y