数学新学案北师大版选修课件第三章推理与证明 (2).pptx

1、3综合法与分析法,一、综合法 从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法. 名师点拨综合法的特点: (1)综合法的特点是从“已知”看“未知”. (2)用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,用Q表示所要证的结论,则综合法的思维过程可表示如下: PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ (3)用综合法证明题目,具有步骤严谨、逐层递进、条理清晰、易于表达的特点.,【做一做1】 已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2 . 证明:x2+y22xy,y2+z22yz,z2+x22xz, (x2+y2)+(y2

2、+z2)+(z2+x2) 2xy+2yz+2xz. 3(x2+y2+z2) x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz, 即3(x2+y2+z2)(x+y+z)2=1.,二、分析法 从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等.我们把这种思维方法称为分析法. 名师点拨分析法的特点: (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”. (2)用分析法书写证明过程的格式为“要证,只需证,只需证,由于显然成立(已知,已证等),所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略. 【做一做2】 将下面用分析法证明 的步骤,补充完整:

3、 要证 ,只需证a2+b22ab,也就是证,即证,由于显然成立,因此原不等式成立. 答案:a2+b2-2ab0(a-b)20(a-b)20,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)综合法是由因导果的顺推证法. () (2)分析法是执果索因的逆推证法. () (3)分析法的推理过程要比综合法优越. () (4)所有证明的题目均可使用分析法证明. (),答案:(1)(2)(3)(4)(5),探究一,探究二,探究三,规范解答,综合法的应用 【例1】在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A =(2b-c)sin B+(2c-b)sin

4、 C. (1)求证:A的大小为60. (2)若sin B+sin C= ,证明ABC为等边三角形. 思路分析:(1)要证A的大小为60,可先从已知条件出发,利用正弦定理,将角化为边,再利用余弦定理得出角A的大小. (2)要证ABC为等边三角形,可从(1)的证明出发,将sin B+sin C= 转化为只含一个角的三角函数值的等式,进而求出角B或角C的大小也为60,命题得证.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟综合法证明问题的思路: (1)分析条件,选择方向.即分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系,选择相关的定理、公式等,确定恰当的解题方法. (2)转

5、化条件,组织过程.即把已知条件转化成所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化. (3)适当调整,回顾反思.即回顾解题过程,对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当修饰,反思总结解题方法的选取.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,分析法的应用,思路分析:本题从正面入手很难找到思路与方法,可从结论入手,利用分析法,寻找结论成立的充分条件.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟利用分析法证明不等式 (1)适用范围:常用于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明. (2)证明思路:从要证明的不等式出发,逐步寻求它成立的

6、充分条件,最后得到充分条件是已知(或已证)的不等式. (3)格式要求:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语.,探究一,探究二,探究三,规范解答,只需证xy(x+y)+1y+x+(xy)2, 只需证(xy)2-1+(x+y)-xy(x+y)0, 只需证(xy-1)(xy+1-x-y)0, 只需证(xy-1)(x-1)(y-1)0. 因为x1,y1,所以上式显然成立. 所以原不等式成立.,探究一,探究二,探究三,规范解答,综合法与分析法的综合应用 【例3】 已知a,b,c是不全相等的正数,且0x1,求证:,思路分析:解决本题的关键是利用对数的运算法则和对数函数的

7、性质转化为证明整式不等式.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟综合法与分析法的综合应用 (1)在实际解题过程中,常常是先用分析法寻找解题思路,即从结论入手,逐步缩小范围,进而确定我们所需要的“因”,再用综合法有条理地表述解题过程. (2)对于较复杂的问题,在解题过程中,把分析法和综合法有机地统一起来,一方面从问题的已知条件出发,用综合法经逻辑推理导出中间结果;另一方面从问题的结论出发,用分析法回溯到中间,即推出同一个中间结果,从而沟通思路使问题得到解决.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,用分析法证明不等式成立 【典例

8、】 (12分)在某两个正数m,n之间插入一个数x,使m,x,n成等差数列,插入两个数y,z,使m,y,z,n成等比数列,求证:(x+1)2(y+1)(z+1). 思路分析:要证(x+1)2(y+1)(z+1),只需证 成立,借助分析法及题设条件等价转化即可.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,解题反思实际解题时,综合使用分析法与综合法,即从“未知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,两面夹击,找到沟通已知条件和结论的途径,本例中若得不出 就无法实现等价转化.另外在应用分析法解题时,语言、步骤要完整、规范,避免逻辑性混乱,减少失分.,探究

9、一,探究二,探究三,规范解答,跟踪训练如图,在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PH底面ABC于点H,求证:H是ABC的垂心. 证明:连接AH,BH,要证H是ABC的垂心,只需证BCAH,且ACHB,只需证BC平面PHA,且AC平面PHB,只需证BCPH,且BCPA,ACPH,且ACPB. 因为PH底面ABC,所以PHBC,PHAC成立, 故只需证BCPA,且ACPB即可. 只需证PA平面PBC,PB平面PAC, 只需证PAPB,且PAPC,PBPA,且PBPC. 因为PA,PB,PC两两垂直,上式显然成立,所以原结论成立,即H是ABC的垂心.,1,2,3,4,5,1.“对于任意角,都有cos4-sin4=cos 2”的证明过程:“cos4-sin4 =(cos2-sin2)(c