直线与圆锥曲线的知识点

1、备注的方向要明确考什么如何考试1 .掌握解决直线与椭圆抛物线位置关系的思想方法2 .了解圆锥曲线的简单应用3 .理解数形结合的思想直线与圆锥曲线的位置关系是多年来高考考察的重点，始终以解答问题形式进行考察，以直线与圆锥曲线的方程式为基础，结合相关概念和修正算，将位置关系转换为相应的方程式或方程式的解的讨论.总结知识的整合1 .直线与圆锥曲线的位置关系在判断直线l和圆锥曲线c的位置关系时，通常将直线l的方程式Ax By C=0(A，b不同时为0 )代入圆锥曲线c的方程式F(x，y)=0，并消除y (也可以消除x )得到变量x (或变量)即消除y，得到ax2 bx c=0。(1)a0时，如果将一次

2、二次方程式ax2 bx c=0的判别式设为，则0直线与圆锥曲线c相交。=0的直线与圆锥曲线c相接0直线远离圆锥曲线c。(2)a=0、b0时，即如果得到一次方程式，则直线l与圆锥曲线c相交，且只有一个交点，此时，如果c为双曲线，则直线l与双曲线渐近线的位置关系平行，c为抛物线，直线l与抛物线的对称轴的位置关系平行或重叠.直线和圆锥曲线只有一个共同点时，直线是否与圆锥曲线相切？提示：直线和圆锥曲线只有一个共同点时，不一定相切。 其他情况如与抛物线平行或与其对称轴重叠的直线、双曲线和与其渐近线平行的直线，它们只有一个共同点，但不是相切的，而是相交的2 .圆锥曲线弦长斜率为k(k0 )的直线l和圆锥曲

3、线c在a、b这两点、A(x1，y1)、B(x2，y2)相交时|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|=。自测牛刀小试验1 .如果知道直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相接，则a等于()甲骨文。德国足球甲级联赛解析：选择c从消去y得到ax2-x 1=0，从解得到a=。2 .直线y=x 3和双曲线-=1的交点的个数是()甲级联赛C.1或2 D.0分析：由于选择a的直线y=x 3与双曲线的渐近线y=x平行，所以与双曲线只有一个交点。设抛物线x2=4y的焦点为f，通过点p (1，5 )的直线l和抛物线在a、b两点相交，点p正好是线段AB的中点，则|AF| |BF|=_分析：在A(x1，y1)、B(x

4、2，y2)中，y1 y2=10，用抛物线定义|af| |bf|=y1 y2 p=。回答： 124 .如果直线y=kx 1和椭圆=1始终存在共同点，则m可取值的范围为解析：直线y=kx 1超过定点(0，1 )，从题意来看，点(0，1 )在椭圆内或椭圆上。 m1，m5。答案： m1且m55 .把过椭圆=1的右焦点作为倾斜2的直线，与椭圆和a、b两点相交，把o作为坐标原点，则OAB的面积为_。分析：如果c=1，且已知椭圆的右焦点为(1，0 )，则线性方程式由y=2(x-1 )，联立方程式得出x1=0，x2=、假设A(x1，y1)和B(x2，y2)，则y1=-2和y2=。S=1|y1-y2|=1=。答

5、案：直线与圆锥曲线的位置关系问题(1)如果知道直线y=kx-1与椭圆=1相邻，则k、a之间的关系式为(2)(2013沈阳模拟)直线y=kx 2和双曲线x2-y2=6的右分支在不同的两点交叉时，k的可取值的范围是()甲骨文。C. D(1)为得到(a 4k2)x2-8kx 4-4a=0。因为直线与椭圆相邻=64k2-4(4-4a)(a 4k2)=0，即，a 4k2-1=0。(2)由得到(1-k2)x2-4kx-10=0。直线和双曲线的右分支有两个不同的交点解-0m23k2 1.从xP=-到yP=kxP m=。kAP=-。另外|AM|=|AN|，AP，即，2m=3k2 1.代入，则为m22m，解为0

6、0，解为m。由此，m的可取值的范围为0 )，从该焦点f到基准线的距离为(1)试着求抛物线c的方程式(2)若抛物线c上的一点p的横坐标为t(t0)，通过p的直线为其他点q，x轴为m，通过点q的垂线为其他点n，MN为c的切线，则求出t的最小值。解： (1)从焦点f到准线的距离为p=。因此，抛物线c的方程式为x2=y。假设p (t，t2)、Q(x，x2)和N(x0，x )。直线MN的方程式为y-x=2x0(x-x0)如果y=0，则得到m。kPM=，kNQ=x0 x。如果存在NQQP且两直线的斜率，即(x0 x)=-1，整理成x0=.另外，Q(x，x2)在直线PM上，用MQ共线得到x0=.从得到=(t

7、0)，t=-=-。t或t- (截断)。求出的t的最小值为。两种思想函数和方程思想和数形结合思想在直线和圆锥曲线问题解决中的应用直线与圆锥曲线的位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等，可以很好地渗透对函数方程式思想和数形结合思想的考察，一直是高考考察的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，是中点公式、根和系数的关系以及不设置，关于整体代入的技巧和方法，考察数学思想方法的热点问题型三类问题圆锥曲线中的三类问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系判断联立直线和圆锥曲线两个方程式，判断方程式是否有解，有几个解。 这是直线和圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：不给定直线方程式时，研究是否有不存在倾斜的

8、直线，以免泄漏解(2)证明定点和一定值问题的方法；定点和一定值问题的证明方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理和修正运算得到定点或一定值的方法，该方法难度大，运算量大，而且很难找到思路。 另一种方法是，先利用特殊情况确定定点或一定值，然后再进行验证，在整理和评价公式时有明确的方向。(3)圆锥曲线常见的最大值问题和解法圆锥曲线中的最大值问题可大致分为距离、面积的最大值及与其相关联的几个问题直线或圆锥曲线中的几何要素的最大值及在这些要素中存在最大值时确定与其相关联的几个问题最常见的解法是几何法和代数法解答模板圆锥曲线中的探索性问题如图所示，椭圆E:=1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，超

9、过离心率e=.f1的直线的椭圆与a、b两点交叉，并且(1)求椭圆e的方程式(2)假设有动直线l:y=kx m和椭圆e，共同点p只有一个，直线x=4和点q相交。 如果存在，则求出点m的坐标，如果不存在，则说明理由快速规范审查问题(1)提问：1 .审查条件，挖掘解题信息观察条件：椭圆方程式及左、右焦点F1、F2，离心率e=，ABF2的周长为8ABF2的周长为4a，e=。2 .审查结论，明确解题方向观察求得的结论：求椭圆方程式有必要建立和求解关于a、b、c的方程式3 .保持联系，寻找解题突破口根据条件可以得到4a=8，a=2，b2=3，e的方程式=1。(2)提问：1 .审查条件，挖掘解题信息观察条件

10、：直线l和椭圆e与点p相邻，得到与直线x=4和点q相交的判别式=0及p、q的坐标.2 .审查结论，明确解题方向观察求得的结论：探索点m是否存在，以PQ为直径的圆恒过点M=0总是成立。3 .保持联系，寻找解题突破口从条件解析的位置并列设置m的坐标(x1，0 )，得到关于残奥仪表m，k，x1的方程式，得到关于x1的方程式的结论.正确的规范解答容易忽视定义的应用因为(|AB| |AF2| |BF2|=8)，即|AF1| |F1B| |AF2| |BF2|=8，(1点)另外|AF1| |AF2|=|BF1| |BF2|=2a，(2点)4a=8，a=2另外，e=，即=，c=1，(3点)所以b=。因此，椭圆e的方程式为=1.(4点)(2)从消除y得到的(4k2 3)x2 8kmx 4m2-12=0.(5分)动直线l具有椭圆e，由于共同点P(x0，y0)只有一个，所以m0且=0，(6分)即64k2m2-4(4k2 3)(4m2-12)=0，4k2-m2 3=0