话说费尔马猜想49.ppt

1、话说费尔马猜想,（一） 引言 （二） 问题的提出 （1） 费尔马是何许人 （2） 什么是费尔马猜想 （三） 可歌可泣的事迹 （四） 外尔斯的工作 （1）外尔斯是何许人 （2）外尔斯证明的主要途径 （3）数学界对外尔斯工作的评价 （五） 费尔马大定理的推广 （六） 尚待解决的问题 （七） 几点启示及名人名言 （八） 两个数学家的故事,（一） 引言,1993年6月23日在剑桥大学牛顿数学研究所 年仅40岁的普林斯顿大学数学系的外尔斯（Wiles , Andrew）作了题为：模型式，椭圆曲线和伽罗华表示报告。,这个报告快结束时，他推出了：“谷山韦伊志村猜想”，对于半稳定椭圆曲线来说成立。 接着他放下

2、手中的讲稿，面向听众，平静地宣布了下面一句振奋人心的话：“我证明了费尔马猜想 ”,Wiles 的证明称为“世纪性的成就”，轰动了整个数学界，为什么？ 费尔马猜想：,1 它通俗易懂，中学生甚至小学生都能理解其含义； 2 历史最久远，至少已有350年的历史，而当前数学中绝大多数问题和猜想一般几年、几十年、一百多年就已解决，而它已有350多年了； 3.研究过它的数学家最多，成百上千，其中包括不少大数学家（如：莱布尼兹、欧拉、高斯、柯西等）而研究它的业余爱好者当以万计。,300多年来，不知有多少数学家和数学爱好者，曾在他们的“论文”中宣称他们证明了费尔马猜想，但一经数学专家的严格检验，他们的“证明”都

3、是错误的：,(1) 德国著名数论专家兰道（Lendau）经常收到这样的“证明”，为此他专门印了许多名片，上面印着：亲爱的你的错误出现在第 页、第 行; (2)仅1909年到1911年这三年间发表的错误证明就达1000篇以上;,4大多数数学家认为它很重要。19世纪法国科学院多次以费尔马猜想为题设置大奖。1908年德国科学院悬赏(德国实业家数学爱好者沃尔夫斯凯尔)十万马克(当时合200万美元)征求证明（时间一百年），希尔伯特认为：费尔马猜想是一只会下金蛋的老母鸡。,（1） 费尔马是何许人,（二） 问题的提出,费尔马(Fermat) 被誉为业余数学家之王。 1601年生于法国南部图卢兹的博蒙特。16

4、31年获得奥尔良大学民法学士学位,以律师为职业,曾任图卢兹议会议员,为官清廉,勤奋好学,热爱数学,精通法语意大利语西班牙语希腊语,生性好静.,北大前校长蔡元培认为：数学的正确性及演绎法，能使人促进扶持正义的毅力与推己及人的同情。,他深入钻研过：阿基米德、阿波罗奥斯、丢番图、帕普斯等人著作。,（1）先于笛卡儿发现解析几何原理，平面和立体的轨迹引论（1629年）（1676年出版）、几何学（1636年 笛）， （2） 他是微积分的先驱者（牛顿、拉格朗日、勒让德、泊松评语）， （3）和帕斯卡共同开创了概率的早期研究 （梅累（Mere）赌点问题）， （4）近代数论的开拓者， （5）为波动光学奠基。,M.

5、巴歇（bachet）1621校订的丢番图（Diophantus,约246330年）著的算术（共13卷）（对不定方程求解）， 基志铭（一道谜语式代数方程）: “他的生命的1/6是幸福的童年， 再活1/12脸上长上细细的胡须， 又过了生命的1/7才结婚， 结婚后5年他生了一个儿子， 可是这儿子的生命只有父亲的一半就结束了生活， 儿子死后，老人在悲痛中活了4年”。,X=84岁, 33岁结婚,38岁生子。,问:丢番图活了多少岁?几岁结婚?几岁生子?,费尔马开辟了近代数论的研究,欧几里得（Euclid） 尼科马霍斯（Nicomachus） 塞翁（Theon）,丢番图 素数的定义： 高斯：“数学是科学之皇

6、后，数论是数学之王” 费尔马：主要研究了素数和整数的可除问题、并得出许多重要论断,例如：,（1）若n是合成数，2n-1是合成数 （2）若n是素数，则2n-2可被2n除尽 （3）没有一个形如4n+3的素数能表达为两个平方数之和 （4）若p是个素数而a和p互素，则ap-a能为p整除（后人称此为费尔马小定理） （5）4n+1的素数能唯一地分解为两个平方数之和 （后人证明，他的猜想都是正确的，他具有一种伟大的直观的天才和非凡的洞察力）。,（2）什么是费尔马猜想（费尔马大定理）,我国早在商高时代（约公元前1100年）就已经知道不定方程x2+y2=z2 ，至少有一组正整数解：x=3 , y=4 , z=5

7、 。 （更一般的解是: z=m2+n2 , x=m2-n2 , y=2mn。m、n是任意整数 ,nm）,费尔马1637年在钻研了被誉为代数学的鼻祖丢番图的算术（共13卷）第二卷第八命题： “ x2+y2=z2的一般解答是： x=2mn,y=m2-n2,z=m2+n2, 其中m,n(mn)是任意正整数”,的旁边写道：“对于x3+y3=z3, x4+y4=z4，xn+yn=zn(n2) 都不可能有正整数解。我对此命题给了一个真正的非常美妙的证明，只是此处的空白太小了写不下。 ”,这就是历史上著名的费尔马猜想。,上述猜想的叙述如此简单易懂，给人以容易证明的假象，加上费尔马又说他已经给出了一个非常美妙

8、的证明，于是吸引了许多数学家和数学爱好者都致力于对此猜想的证明。,值得指出，早在972年，阿拉伯人阿尔柯但弟（Alkhodjandia）已猜测n=3时，xn+yn=zn无整数解 当时是一个几何问题（即不能构造一个具有整数边的正立方体，它的体积等于二个较小的具有整数边的正方体的体积之和） 但他的证明不严格。,Z,Z,=,X,X,+,Y,Y,52=32+42,=,z,x,y,Z3 = x3 + Y3 (X,Y,Z 为正整数) Zn = xn+ Yn (n2),+,费尔马曾猜想说：对于n值的一个不定集合，由式子,因为他对于n=0,1,2,3和4（对应得3，5，17，65，257，537）验证了都是正

9、确的，从而由归纳得出了此猜想。,得到的数是素数,但1732年，欧拉证明了当n=5时，即,不是素数（它的一个因子是641），而且现在还没有发现过一个比4大的数，代入后得到的数是素数（高斯后来发现“费尔马数”中的素数为边数的正边形是可以用规尺作图）,(三) 可歌可泣的事迹,莱布尼兹,欧拉,莱布尼兹在1676年手稿中也证明了n=4的情形；,1770年和1797年欧拉证明了n=3、4的情形；,1823年勒让德和 1825年狄利克雷证明了n=5的情形； 1840年，拉美证明了n=7的情形，,狄利克雷,勒让德,1849年，库麦（德国人，理想数论创立者）证明了:当p是正则素数时， xp+yp=zp无解（许多

10、素数都是正则素数,在100以下的24个奇素数中只有37, 59, 67是非正则素数）,从而使他荣获了1850年巴黎科学院大奖.但是非正则素数有无穷多个. 法 Lame （科学院士） 1843年证明了n=7。,库麦,Lame,柯西,Liouville,1847年在法国科学院一次会议上，宣布：他已经用“分圆整数”的理论证明了费尔马猜想，但他兴高采烈的讲解他的证明时，Liouville(院士)马上站起来指出，他的严重错误（把有关整数的性质，错误用于了分圆整数，使Lame十分难堪（而且文章又发表了）。Cauchy（柯西 ）,三大难题之一 “画圆为方” 只用圆规，直尺,德国数学家林德曼（Lindeman

11、n）在1882年证明了是超越数后，也潜心研究费尔马猜想，但未获成功。 （1） 1901年发表了一篇17页的论文 （2） 1907年又发表了一篇63页的论文 （都有错）,高斯,年轻时,老年时,高斯（Gauss）19世纪初受其它同事的鼓动，也去研究费尔马猜想，他用一种方法证明了n=3的情形，但未解决一般情形。他说：这不是我想作的事，而且这题目实际上对数学的其它部分是不重要的。（他的这句话似乎有点阿Q精神。）,1892年米里曼诺夫 (Mirimanoff) (18611945)证明了p=37也正确。 1944年 谢尔费力基（selfridg） 尼可（Nicol） 凡第弗（Vandiver） 证明了p

12、4002 xp+yp=zp没有正整数解。 1976年，瓦格斯塔夫利用大型计算机证明了2p125000时，xp+yp=zp皆无正整数解，从而证明了，只要n含有2到125000之间的任一个因子，xn+yn=zn就一定没有正整数解。,1988年，日本数学家宫冈洋一（Miyaoko）在德国波恩的马克斯普兰克（Maxplanck）数学研究所作学术讲演，一开头他就写下充满黑板的一行字： “我证明了费尔马猜想”,希尔的伯特（Hilbert）深知此猜想的难度，所以他1920年说：我不会去研究这个猜想，因为“至少要先紧张地读上三年书才能动手，我没有那么多时间花在可能失败的事上。”,但他说，费尔马猜想是一只会金蛋

13、的老母鸡。 希尔伯特和他的一个学生的故事（下面介绍） 我自己遇到的五件事（一个空军、一个干部、一位中学教师、一位学生、一位职工家属）,曼福德（Mumford,菲尔兹奖得主，哈佛大学教授）37岁时，用代数几何工具，证明 xn+yn=zn，n3 (*) 若有解，也是极为稀少的， 若（x1 , y1 , z1）, (x2 ,y2 ,z2）, （xn ,yn , zn）是（*）的解，当按z的大小顺序排列，即第m个解zm将有：,曼福德,其中a(0)、b均为常数，zm将像天文数字那么大。,1983年福尔廷斯（Faltings,菲尔兹奖的得主，德国数学家）证明了 莫德尔（Mordell）猜想：“一个有理域上

14、具有亏格2的多项式方程Q（X1,Y1）=0 只有有限个有理点” 而方程X1n+ Y1n=1（*），当n4时具有亏格2，因此由莫德尔猜想可推出（*）： 只有有限个有理解。,福尔廷斯,再将（*）乘以公分母，立即得出费尔马方程xn+yn=zn （n4）只有有限个整数解 。因为xn+yn=zn中的z0,我们将zn除等式两边，则得：,这样，费尔马问题就等价于这样的几何问题： 证明在n3的任何整数X1n+ Y1n=1 在X1 Y1平面上不可能有有理数点 因此，费尔马问题就变成了代数几何问题了。,菲尔兹（Fields）奖 沃尔夫（Wolf）奖,瑞典数学家 ： 米塔格莱福勒（MittagLotter） (18

15、461927) 函数论， 著作119种 牛津剑桥名誉教授 创办了以他名字命名的“数学学院”,这个猜想后经韦伊（Weil）、志村（Shimura）加以完善，现称谷山韦伊志村猜想，即：“有理域上所有椭圆曲线都是模曲线”。,韦伊,1955年日本数学家谷山（Taniyama）猜想：“有理数域上所有椭圆曲线可以从一类特殊的曲线通过某变换而的到。” 人们称这种椭圆曲线叫做模曲线（Modular Curves）,1985年，德国数学家费雷（Frey）证明了：由谷山韦伊志村猜想的正确性，可以推出费尔马猜想的正确性。 费雷的办法是： 若费尔马猜想不成立，他就可由xn+yn=zn （n3）的一个整数解，具体地构作

16、出一条椭圆曲线不是模曲线。,塞尔,1986年美国数学家里伯特（Ribet）用一种“美妙的方法”，对塞尔的猜想给出了证明。于是，要证明费尔马猜想，就只证明“谷山韦伊志村猜想”。,但是，费雷的证明还有些漏洞，他希望其他数学家帮助他填补。不久，法国著名数学家塞尔（Serre）提出了“一个关于模伽罗瓦表示的水平化的猜想”，可以填补费雷证明中的漏洞，但塞尔没有对自己的猜想给出证明。,（四）外尔斯的工作,1993年6月23日外尔斯宣布：“对很大一批椭圆曲线（对所有半稳定椭圆曲线）我都能证明是模曲线，而费雷的椭圆曲线包含在其中。所以我证明了费尔马猜想。”其证明思路可图示如下：,费尔马猜想不成立=费雷的椭圆曲

17、线不满足谷山猜想=谷山猜想不是对所有的半稳定椭圆曲线均成立。,然而外尔斯证明了：谷山猜想对所有的半稳定椭圆曲线均成立，这就导致了矛盾。结论：费尔马猜想成立。 1993年6月23日报告中宣布：我证明：“谷山猜想对半稳定椭圆曲线来说成立。”,（1）外尔斯何许人也,外尔斯生于英国，其父是牛津大学的神学家。10岁时，在图书馆的一本书上看到费尔马猜想就“心驰神往”，并花了大量时间和精力试图证明。,学校老师一再劝他不要白费时间；一位剑桥大学的毕业督学，指导他将目光转向更主流的数学领域椭圆曲线的研究。 但费尔马猜想已深深地印入其脑海，立志攻克它。 当他成为一个职业数学家后，他才懂得：只有热情远远不够，还必须

18、有坚实的数学基础和顽强的毅力。,外尔斯是一个安静腼腆的人，他的脸上总是带着微笑，他多年来深居简出，潜心研究数学，自1977年以来他在椭圆曲线、“伯奇斯温纳顿戴尔”猜想、岩泽理论中的主猜想等都作出了重要贡献。 自里伯特用一种“美妙的方法”证明了“水平化猜想”之后，极大地激发了外尔斯的工作和想象力。他说：“当我听到费雷和里伯特的结果时，我知道数学的全景已经变了费雷和里伯特所作的事情已经使费尔马猜想成为数学不能不管的一个问题的推论。”,他从此开始了长达7年的面壁生活,他躲在家里顽强地进行研究,日复一日的,只有家人和里伯特知道他在干什么。 英国报纸说:外尔斯的论文长达1000页,能完全看懂的数学家不超

19、过6人。 菲尔兹得主庞比里对英国卫报说:“A.外尔斯是一位非常仔细的数学家,从不草率宣布结果.他的推理很美,而且并不十分难懂,我承认我只能懂其中一部分,但他的证明的整个结构是十分可信的,是可靠的.”,1993年6月25日外尔斯从剑桥大学回到他当时的普林斯顿大学时，受到了英雄凯旋般地欢迎。 当时的美国五角大柚的新任国防部长佩里（他是美国工程科学院院士）也中断了对萨拉热窝、海地、索马里的热线电话，停下来谈论他的证明。 1993年美国人物杂志把他评选为最令人感兴趣的25位人物之一（与他一起被列的还有美国的克林顿总统夫妇和英国的戴安娜王妃）。Gap牛仔裤公司想让他作广告，他拒绝了。,数学界希望能看到他

20、的论文，但他迟迟不愿公开，然而来电,来函不断 外尔斯申明的大意是“我现在还未完成证明过程中的一个关键步骤,还有许多工作要做，手稿还不适于发表”。 其主要问题是“对特殊的塞尔默群的元素的精确上限，外尔斯在这点尚未获得成功。”（主要是利用欧拉系描述塞尔默（Selmer）群方面有错误。）,美国数学家Karl Rubin说：“虽然在稍长一点时间内保持小心谨慎是明智的，但是肯定有理由表示乐观。” 美国国际先驱论坛报：“征服世界上最著名的数学难题的巨大成就似乎就要与Wiles失之交臂。如果他邀请一位有名且名气很大数学家帮助他解决这个问题，那他就要冒与人分享荣誉的风险。他想要做的就是寻找一位合适的合作者，并

21、设法使他不致从自己手中分享太多的荣誉。,最后，他鬼使神差地做到了这一点，他需要可靠的人，于是他给自己以前的学生，在剑桥大学任职的理查德.泰勒（Richard Taylor），打了电话，他们很快开始了合作，他们放弃了Euler系的途径，采用了原来他试过的另一方法，在“某些黑克（Hecke）代数是完全交性”的假设下，他即可完全证明。,Wiles的这些证明与剑桥大学演讲的其它结果一起写成一篇长文模椭圆曲线与费尔马大定理，而且他所需要的假设也与R.Taylor合作下被证实，并合作了一篇短文某些Hecke代数的环论性质。两篇预印本同时在1994年10月25日公开。,尽管R.Tayler很明显发挥了重要的

22、辅助作用，但他表示Wiles在他们的合作中发挥了主导作用。 Wiles在公开他们两篇预印本之前，他请了一些有名数学家检查他的论证。其中包括菲尔兹奖得主Faltings(福尔廷斯)。Faltings在一个星期内读完了论文，他确信论证是正确的，并建议进行修改，使之通俗易懂。不过Faltings说，大多数具有足够专业知识的数学家阅读这篇论文可能也需要一个月。,（2）外尔斯的成就,11994年8月3日至11日在瑞士苏黎世举行的国际数学家大会（共有2300多位数学家参加了这次大会）A.Wiles应邀参加了这次在大会上做了一小时（这次共有18个一小时报告，过去一般为15个）报告。报告的题目是：模形式和椭圆

23、曲线。 2. 1996年3月A.Wiles荣获了国际数学大奖Wolf奖。他是至今获此数学大奖中最年轻的一位（4243岁）。这个奖的获奖者（终生成就奖）过去平均年龄超过70岁，最大者80多岁。,1995年5月世界权威数学刊物数学年刊（Annals of Mathematics）的142卷第3期上，用一整期的篇幅，发表了这两篇论文。至今还未有人指出其有误。 还有两个肯定的重要信息。 （1）1997年夏天，他在德国科学院领走了10万马克奖金（由于超通货膨胀和马克贬值，仅值5万美元）。 （2）1998年8月，他在柏林举行的数学家大会上，他荣获菲尔兹特别贡献奖。,阿蒂雅（Atilyah）说：“费尔马猜想

24、扮演了类似珠穆朗玛峰对登山者（在成功之前）所起的作用，它是一个挑战，试图登顶峰的企图刺激了新的技巧和技术的发展和完善。” 库麦（Kummar)说：“费尔马猜想与其说是科学的一高峰，不如说是一件科学珍宝。”,阿蒂雅,库麦,美国数学家阿德尔曼说:“这是数学中最激动人心的事,嘿!可能是从来没有过的”。 美国数学家马祖尔说:这一次证明的东西远远超过了费尔马猜想本身,它产生了一种新的技巧,它是很有用的,用它还可以证明更多的东西。” 这是20世纪最伟大的数学成就之一。,(五) 费尔马大定理的推广,1.比尔(Beal)猜想: 不定方程 没有正整数解 ( A 、 B 、 C, x 、y 、z). 其中x , y