线性代数§4.6.ppt

1、4.6 向量空间的线性变换,线性变换是线性空间中向量之间最重要的联系。这节介绍线性变换的基本概念、基本性质，线性空间向量的坐标表示，它是抽象向量具体化、数字化的结果。我们通过对具体数组的讨论，获得抽象向量的具体性质。本节也通过坐标建立抽象变换的具体形式或数字形式线性变换的矩阵表示，从而将抽象问题进行具体处理，这是我们的目的。 为了建立线性变换的概念，我们先复述映射的概念：,若 既是单变换，又是满变换，就称 为一一变换。,设X, ()= , 就说 把元素变为, 称为在变换 下的象, 称为 在 下的原象,若 是从集合X到X的映射，则称 为X上的变换.,一、线性变换的概念,1. 映射,定义1: 设有

2、两个非空集合Y, X, 如果对于X中任一元素, 按照一定规则 , 总有Y中一个确定的元素 和它对应, 那么, 这个对应规则称为从集合X到集合Y的映射, 记作 = () 或记作 : (X).,若 都有 就称 为单变换；,若 都有 使 就称 为满变换；,2. 线性变换的定义,定义2: 设V是实数域R上的线性空间, 是V的一个变换, 如果变换 满足:,(1) 任给1, 2V , 都有 (1+2)= (1)+ (2);,(2) 任给V , kR, 都有 (k)= k ().,则称 为V的一个线性变换.,说明: 线性变换是保持线性空间的线性组合(运算)的对应关系的变换.,我们引入线性变换的概念及其简单性

3、质：,我们知道，一元函数中的线性函数,是R上的变换，且是一一变换，具有如下性质：,即,故 是R上的线性变换。,又如：设 ，若对每一个列向量 ， ， 是 上的线性变换，且满足：,即,故 是 上的线性变换。,例1: 在线性空间Px4中. (1) 求导运算D是一个到其自身的线性变换.,事实上, 对任意的 p=a3x3+a2x2+a1x+a0, q=b3x3+b2x2+b1x+b0Pxn,则 Dp=3a3x2+2a2x+a1, Dq=3b3x2+2b2x+b1,从而,D(p+q)=D(a3+b3)x3+(a2+b2)x2+(a1+b1)x+(a3+b3),=3(a3+b3)x2+2(a2+b2)x+(

4、a1+b1),=(3a3x2+2a2x+a1)+(3b3x2+2b2x+b1),=Dp+Dq.,=D(ka3x3+ka2x2+ka1x+ka0, ) =3ka3x2+2ka2x+ka1 =k(3a3x2+2a2x+a1) =kDp,D(kp),(2) 如果T(a3x3+a2x2+a1x+a0)=a0, 则T也是Px3上的一个线性变换.,事实上, 对任意的 p=a3x3+a2x2+a1x+a0, q=b3x3+b2x2+b1x+b0Px3,T(p+q)=a0+b0=T(p)+T(q), T(kp)=ka0=kT(p).,(3) 如果T1(a3x3+a2x2+a1x+a0)=1, 则T1是Px3上

5、的一个变换, 但不是线性变换.,由于T1(p+q)=1,但T1(p)+T1(q)=1+1=2,所以 T1(p+q)T1(p)+T1(q).,例2: 线性空间V中的零变换O: O()=0是线性变换.,证明: 设, V,则有,所以, 零变换O是线性变换.,O(+ ) = 0,O(k) = 0,=O()+O( ),= 0 + 0,= kO().,= k0,注意: 零变换中对应的元素必须是空间的零元0.,例3: 由关系式,确定xoy平面上的一个线性变换, 说明T的几何意义.,解: 先证明变换T是线性变换.,设,则 T(p1+p2)=A(p1+p2)=Ap1+Ap2=T(p1)+T(p2),T(kp1)

6、=A(kp1)=kAp1=kT(p1).,所以, 变换T是线性变换.,上式表明: 变换T把任一向量按逆时针方向旋转角.,于是,记,例4 区间I上的不定积分 是I上的线性变换：,由,例5: 定义在闭区间a, b上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间Ca, b, 在这个空间中变换,是一个线性变换.,证明: 设 f(x), g(x)Ca, b,则有,T(f(x)+g(x),= T(f(x)+T(g(x),故命题得证.,T(k f(x),= kT(f(x),例6: 线性空间V中的恒等变换(或称单位变换)I:,是线性变换.,I()=, V,证明: 设, V,则有,所以, 恒等变换I是线性变换.,I(

7、+ )=+,I(k)= k = kI().,=I()+I( ),例7: 在R3中定义变换:,则T不是R3的一个线性变换.,T(x1, x2, x3)= (x12, x2+x3, 0),证明: 对任意的=(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3)R3,T(+ )=T(a1+b1, a2+b2, a3+b3),=(a1+b1)2, (a2+b2)+(a3+b3), 0), (a12, a2+a3, 0)+(b12, b2+b3, 0),=T()+T().,故, T不是R3的一个线性变换.,一般地，对于,中的变换,若,都是,的线性组合，,则 是,的线性变换，否则就不是.,二、线性变换的性

8、质,1. T(0) = 0, T() = T().,以下设T为线性空间V的线性变换.,2. 若 =k11+k22+kmm , 则 T =k1T1+k2T2+kmTm .,实际上, T(0)=T(0)=0T()=0; T()=T(1)=(1)T() = T().,此性质表明: 线性变换对线性组合保持不变.,3. 若1, 2, , m 线性相关, 则T1, T2, , Tm亦线性相关.,注意: 若1, 2, , m 线性无关, 则T1, T2, , Tm不一定线性无关.,利用性质2即可证明.,例如：对于投影变换（投影到xoy平面）P,线性无关,线性相关,定理1 设 是V的一组基，如果V的两个线性变

9、换 和 关于这组基的象相同，即,则,证明： 的意义是对每一个向量,设 ，则有,又 为线性变换，故有：,又,故有,即,都有,例8 将 中向量 投影为xoy面上的向量 的投影变换 即 是 的一个线性变换。,解：由,故投影变换 是 的一个线性变换。,例8中投影变换是线性变换，其实质为： 中任一向量都可表示为,而,其中,设,三、线性变换的矩阵表示式,上式表明：向量 的象可由 的一组基的象的线性组合来表示，即知道了 的一组基的象，则 的象即可用基底的象来线性表示。一般我们有：,定义Rn上的线性变换: T(x)=Ax, xRn.,对单位坐标向量组:e1, e2, ,en, 有, ,i = Aei = T(

10、ei) ( i = 1, 2, , n),即,因此, 如果一个线性变换T有关系式T(x)=Ax, 那么,矩阵A应以T(ei)为列向量.,反之, 如果一个线性变换T使T(ei)=i ( i = 1, 2, , n), 那么, 对任意的x=(x1, x2, , xn)T ,综上所述, 可知,表示, 其中A = (T(e1), T(e2), , T(en),Rn中任何线性变换T, 都可用关系式,T(x)=Ax (xRn),e1, e2, ,en为单位坐标向量组.,一般地：,若 都可由基 线性表示，即 ，又 是 上的线性变换，故 ,故,也可由 线性表示，即,用矩阵表示：,或,矩阵A的第j列是 在基 下

11、的坐标向量。为此我们有：,四、线性变换在给定基下的矩阵,定义3: 设 是线性空间V中的线性变换, 在V中取定一个基1, 2, , n , 如果这个基在变换 下的象为,其中,则称矩阵A为线性变换 在基1, 2, , n下的矩阵.,由定义3和前面讨论的向量在基下的坐标表示我们可以得到以下关系：,显然, 矩阵A由基1, 2, , n的象 (1), (2), , (n)唯一确定.,设A是线性变换 在基1, 2, , n下的矩阵, 也就是说, 基1, 2, , n在变换 下的象为: (1, 2, , n)=(1, 2, , n)A,对任意的, ()V(F), 设,则有,故有,即有,（*）,由上述讨论我们

12、有：,定理2 设 的线性变换 在基 下 的矩阵为A，向量 在基下的坐标向量为： ， 在基下的坐标向量为： ，则由,V,由前面（*）式可得：,上式唯一地确定了一个变换 , 并且, 所确定的变换 是以A为矩阵的线性变换. 反之, 以A为矩阵的线性变换 由上式唯一确定.,结论: 在V中取定一个基后, 由线性变换 可唯一地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确定一个线性变换 .,在给定一个基的条件下, 线性变换与矩阵是一一对应的.,例9: 在Px4中, 取基:,求微分变换(运算)D的矩阵.,p1=x3, p2=x2, p3=x, p4=1,解:,所以, D在这组基下的矩阵为:,现取Rxn的

13、基为1, x, x2, , xn-1, 则有,(1)=0, (x)=1, (x2)=2x, , (xn-1)=(n-1)xn-2,因此, 在基1, x, x2, , xn-1下的矩阵为:,例11: 在R3中, T表示将向量投影到xoy平面的线性变换, 即,(1) 取基为 求T的矩阵.,其中,此例表明: 同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵.,(2):,即,五、线性变换在不同基下的矩阵,上面的例子表明: 同一个线性变换在不同的基下的矩阵不同. 那么, 这些矩阵之间有什么关系呢?,定理3: 设线性空间V中取定两个基:,由基1, 2, , n到基1, 2, , n的过渡矩阵为P, V中的线性变

14、换 在这两个基下的矩阵依次为A和B, 那末B=P-1AP.,1, 2, , n; 1, 2, , n,证明: 由条件知,(1, 2, , n )=(1, 2, , n)P; (1, 2, , n)=(1, 2, , n)A; (1, 2, , n )=(1, 2, , n )B.,于是,(1, 2, , n )B= (1, 2, , n ),= (1, 2, , n)P,= (1, 2, , n)P,=(1, 2, , n)AP,=(1, 2, , n )P-1AP,(),证毕.,由于1, 2, , n线性无关,所以B=P-1AP.,()的证明: 设,则,(1, 2, , n)P,=( (1)

15、, (2), , (n)P,= (p111+p212 +pn1n), (p121+p222+pn2n), , (p1n1+p2n2+pnnn),=(p11 (1)+p21 (2)+pn1 (n), (p12 (1) +p22 (2)+pn2 (n), , (p1n (1)+p2n (2)+pnn (n),= (1, 2, , n)P,=( (p111+p212 +pn1n), (p121+p222+pn2n), , (p1n1+p2n2+pnnn),定理3表明: A与B相似, 且两个基之间的过渡矩阵P就是A与B相似变换矩阵.,例12: 设V2中的线性变换T在基1, 2下的矩阵为,求T在基2,

16、1下的矩阵.,解: 显然,即, 两组基的过渡矩阵为:,易求得,于是, T在基2, 1下的矩阵为,例13: 已知3维线性空间V3的线性变换 在基1, 2, 3下的矩阵为,求在基2, 3, 1下的矩阵.,解: 由条件知,即,从而有,因此, 在基2, 3, 1下的矩阵为,例14 设 的线性变换 在自然基 下的矩阵 为：,1）求 在基 下的矩阵，其中：,2） 求 在基 下的坐标 向量 及,解：1）,所以,又,2）,前面讨论的问题是给定 的一个线性变换 和,的一组基 ， 就被基的象 完全确定，从而 在这组基下可用惟一确定的矩阵来表示，现在我们讨论反问题：即任意给定一个n阶矩阵A，它是否必是某个线性变换在

17、给定的一组基下的矩阵？我们知道：,其中,即若给定了 中的一组基 和 中任给一组向量 就等价于给定了一矩阵 ，因此其反问题的提法是：给定 中一组基 ，对给定的一组向量 是否存在惟一的线性变换 ，使得 我们有下面的结论：,定理4 设 是 的一组基， 是 中任意的n个向量，则一定存在惟一的线性变换 使得：,证明：证明存在性的方法是：先定义一个变换,然后证明其是线性的。,对于 中的任一向量 ，在基 下必有惟一确定的线性表示式：,于是我们定义：,当 时，则,故变换 存在,下面我们证明 是线性变换，在 中任取两个向量 且有,于是,而,故变换 是线性变换。惟一性由定理1保证。,六、线性变换的运算,设 是数域

18、 上的线性空间， 的所有线性变换的集合记为,定理5 设有线性空间V ,V中的所有线性变换的集合记为L(V),则,定理6 设有线性空间V 的线性变换 在基 下的对应矩阵分别为 A,B,则 在该基下的矩阵分别为： A+B,kA,AB.,证明：有条件知：,可逆的充要条件是存在线性变换 ，使得：,七、线性变换的象（值域）与核,定义5 设 是线性空间 的一个线性变换，我们把 中所有元素在 下象所组成的集合：,称为 的象（或称 的值域）， 的零元 在 下的完全原象,称为 的核， 和 也常记作 和 。,线性变换的象与核由如下性质：,1. 线性变换 的象集 (V)是线性空间V的一个子空间, 称 (V)为线性变

19、换 的象空间.,从而,则对任意的1, 2 (V),有1, 2V, 使得 1=1, 2=2,1+2= 1+ 2,k1 = k 1,= (1+2), (V),= (k1), (V),(因1+2V),(因k1V),证明: 由于 是V 上的线性变换, 故 (V)V,又由于 V,故 (V)非空.,则 = ( ) (V),由上述证明知: (V)对V中的线性运算封闭, 故 (V)是V的子空间.,2. S = | （） = , V(经 变换到 的全体元素构成的集合)是V的子空间. 称S为线性变换 的核.,由上述证明知: S 对V中的线性运算封闭,故S 是V的子空间.,3.线性变换 是单射的充要条件为,事实上：

20、必要性 由 是单射，可得 若 则 故,充分性 由 可得，,若,故 为单射。,其中,对Rn上的线性变换: T(x)=Ax, xRn, 则有,(1) T(x)=Ax的象空间T(Rn)就是由1, 2, , n 所生成的向量空间: 即 T(Rn)= y = x11+x22+xnn | x1, x2, , xnR ,(2) T(x)=Ax的核ST就是齐次线性方程组Ax=0的解空间.,设,线性空间 的线性变换 的值域 和核 作为 的两个子空间，其维数分别记为： dim (称为 的秩，记作 )；dim (称为 的零度，记作 )它们之间的关系有以下定理：,定理7 设线性空间 的维数为n， 是 的一个线性变换，则,证明：设 是 的一个基 ，将 扩充为 的基,又,由 线性无关，故,而,即,所以 在 下的坐标向量为 的解向量，故 与 同构，所以,又,定义4: 线性变换 的象空间T(V)的维数, 称为线性变换 的秩.,若A是线性变换 的矩阵, 则 的秩就是r(A). 若线性变换 的秩为r