3.3.2利用导数研究函数的极值.pptx

1、普通高中课程标准实验教科书 人教B版 选修1-1 单位：抚顺德才高级中学 姓名：杨华,3.3.2利用导数研究函数的极值,学习目标 1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件,知识点一函数极值的概念,函数yf(x)的图象如图所示,思考1函数f(x)在点xa处的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？,答案函数在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近的其他点的函数值都小,思考2函数在点xb处的情况呢？,答案函数在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大,问题导学,梳理函数的极值及极值

2、点 (1)已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点 (2)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点 注意：极值点是指函数在区间(a，b)内取得极大(小)值的对应的自变量x0，极值点不是点，是一个数x0(a，b)；而极值是一个函数值，是极值点x0对应的函数值f(x0),x1,x2,在极大值

3、点附近,在极小值点附近,f (x)0,f (x)0,f (x)0,f (x)0,合作探究,极值与导数的关系,二、极值与导数的关系,合作探究,合作探究,典例分析,类型一求函数的极值和极值点,题型探究,令f(x)0，得x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,因此当x1时，f(x)有极小值3，无极大值,变式：求函数在区间 的最大值与最小值？,(1)确定函数的定义域，求导数f(x)； (2)求方程f(x)0的所有实数根； (3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f(x)的符号由负变正，则f(x

4、0)是极小值 如果在f(x)0的根xx0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值,知识点二求可导函数yf(x)极值的步骤,反思与感悟,类型二已知函数极值求参数,例2已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值,解因为f(x)在x1时有极值0，且f(x)3x26axb，,当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20， 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去,当a2，b9时， f(x)3x212x93(x1)(x3)， 当x(3，1)时，f(x)为减函数； 当x(1，)时，f(x)为增函数， 所以f(x)在x1时取得极小值，因此a2，b9.,反思与感悟已知函数极值的情

5、况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解 (2)因为导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性,跟踪训练已知函数f(x)ax3bx2cx在xx0处取得极大值5，其导函数yf(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求： (1)x0的值；,解由图象可知，在区间(，1)上f(x)0，在区间(1,2)上f(x)0，在区间(2，)上f(x)0. 故f(x)在(，1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减， 因此f(x)在x1处取得极大值，所以x01.,(2)a，b，c的值

6、,(2)a，b，c的值,解f(x)3ax22bxc， 由f(1)0，f(2)0，f(1)5，,例3设函数f(x)x36x5，xR. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；,类型三函数极值的综合应用,(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围,解f(x)3x26，令f(x)0，,(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围,解由(1)的分析知，yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示,直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点， 即方程f(x)a有三个不同的实根,反思与感悟利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便,1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值. 2.函数的极值是函