第九章 状态空间分析方法基础.ppt

1、第九章 状态空间分析方法基础,9-1 控制系统的状态空间描述 9-2 线性定常连线系统状态方程的解 9-3 线性离散系统状态空间表达式 9-4 线性控制系统的能控性和能观测性 9-5 李雅普诺夫稳定性分析方法 9-6 状态反馈与状态观测器 9-7 解耦控制,9-1 控制系统的状态空间描述,一、状态空间的基本概念 1.状态 控制系统的状态是指能完全描述系统动态行为(动态 状态)的一个最小变量组，它是时间的函数。所谓最小变量组是 指这个变量组中各变量之间是相互独立的。 2.状态变量 状态变量是指能完全描述系统行为的最小变量 组的每一个变量。 3.状态向量 若完全描述与各给定系统的动态行为需要n个状

2、,下一页 返回,9-1 控制系统的状态空间描述,态变量x1,x2,xn,用这n个状态变量作为分量所构成的向量， 就称为该系统的状态向量。 4.状态空间 以各状态变量x1,x2,xn为坐标轴所组成的n为 空间称为状态空间。 二、控制系统的状态空间描述状态空间表达式 1.状态方程 系统输出引起状态的变化，它是一个运动过 程，描述这个运动过程的是状态方程。状态方程的数学形式表 征为系统状态变量变化率的一阶微分方程组。各方程的左端分,上一页 下一页,9-1 控制系统的状态空间描述,别是每一个状态变量的一阶导数，右端是状态变量和输入变量 所组成的代数多项式。 2.输出方程 输出方程是在指定输出变量的情况

3、下，该输出 变量与状态变量以及输入变量之间的函数关系。状态变化决定 输出的变化，这是一个变换过程，所以输出方程的数学形式表 征为一个变换关系的代数方程。 3.状态空间表达式 状态空间和输出方程总合起来，构成一 个系统动态的完整描述，称为系统的状态空间表达式(或称动态,上一页 下一页,9-1 控制系统的状态空间描述,方程)。 4.状态空间描述的模拟结构图(或称状态变量图) 状态方程 和输出方程可以利用模拟计算机的模拟结构图表达出来，它能 形象地反映系统输入、输出和系统专题态变量之间的相互关 系。 三、状态空间表达式的建立 1.根据系统的物理机理直接建立状态空间表达式 一般常见 的控制系统，就其物

4、理属性而言，有电气的、机械的、机电,上一页 下一页,9-1 控制系统的状态空间描述,的、液压的、热力的等等。根据其物理定律，如基尔霍夫定 律、牛顿定律、能量守恒定律、热力学定律等，即可建立系统 的状态方程；当指定系统的输出后，可写出系统的输出方程。 2.根据系统的传递函数建立状态空间表达式 由系统传递函 数求其相应的状态空间表达式，称为“实现”问题。实现问题 是现代控制理论中的一个重要问题，这是因为：第一，许多设 备的传递函数往往容易通过实验获得，为了用状态空间方法研,上一页 下一页,9-1 控制系统的状态空间描述,究系统，就必须把传递函数化为状态空间表达式；第二，对复 杂系统的设计往往要利用

5、仿真技术，将其传递函数化为状态空 间描述后在进行仿真的重要方法之一；第三，从传递函数中一 旦获得了状态空间表达式，便可以采用运算放大器等电路构造 一个具有该传递函数的实际系统，这也是“实现”这个取名的 原因所在。另外，实现问题在建立状态空间与传递函数这两种 设计方法之间的联系有着重要的作用。 四、状态方程的线性变换,上一页 下一页,9-1 控制系统的状态空间描述,1.系统状态空间表达式的非唯一性 2.系统特征值的不变性及系统的不变量 对线性定常系统， 系统的特征值决定了系统的基本特性。 3.化状态方程为对角线规范型 化状态方程为某种形式的规 范型，是通过非奇异变化来实现的，所以求取该非奇异变化

6、矩 阵是解决状态方程转化为某些规范型的关键。 4.化状态方程为约当规范型 五、状态空间表达式与传递函数阵间的变换,上一页 下一页,9-1 控制系统的状态空间描述,1.传递函数阵的概念 对单输入单输出线性定常系统，传递 函数表达了系统输入输出间的传递特性。而对多输入多输出线 性定常系统，则可用传递函数阵来表达输入量与输出量间的传 递特性。 2.状态空间表达式与传递函数阵间的变换 3.传递函数阵的不变性 对同一系统，尽管其状态空间表达 式可以作各种非奇异变换，而不是唯一的，但它的传递函数阵 是不变的。,上一页 返回,9-2 线性定常连线系统状态方程的解,一、线性定常连续系统齐次状态方程的解 1.直

7、接求解法 2.用拉氏变换方法求解 二、状态转移矩阵 1.状态转移矩阵的概念 2.状态转移矩阵的性质 3.线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法,下一页 返回,9-2 线性定常连线系统状态方程的解,1)根据矩阵指数函数的定义式计算 2)把eAt化为A的有限项表达式进行计算 3)利用拉氏变换法进行计算 4)利用对角线规范性或约当规范型进行计算 三、线性定常连续系统非齐次状态方程的解 1.直接求解法 2.拉氏变换求解法,上一页 返回,9-3 线性离散系统状态空间表达式,一、线性离散系统的状态空间表达式 线性定常离散系统状态空间表达式的结构图如图9-16所 示。 二、线性定常离散系统状态方程的解 1.

8、迭代法求解 迭代法是一种递推的数值解法，其思路是：利 用初始时刻t0=0(即k=0)时的x(0)和u(0)求x(1)；再根据求出的 x(1)和给定的u(1)求x(2)；如此逐步迭代，即可求得所需的 x(k)。此法适于在计算机上求解。 2.z变换法求解 三、线性定常连续系统状态空间表达式的离散化,返回,9-4 线性控制系统的能控性和能观测性,一、能控性 1.定义 2.线性定常连续系统能控性判据 1)能控性判据的第一种形式 能控性判据定理一：线性定常连续系统(A,B)，其状态完 全能控的充要条件是由A,B阵所构成的能控性判别阵 Qc=B,AB,An-1B (9-128) 必须满秩。即 rankQc

9、=n (9-129) n是该系统的维数。 2)能控性判据的第二种形式,下一页 返回,9-4 线性控制系统的能控性和能观测性,能控性判据定理二 此定理的基本思路和依据有两点：第 一，因矩阵经线性非奇异变换后，并不改变矩阵的秩，因而也 不改变系统的能控性；第二，对系统进行线性非奇异变换把状 态方程化成对角线规范型，使变换后的各状态变量之间没有耦 合关系，因此，影响每一个状态变量的唯一途径只是输入的控 制作用。 能控性判据定理三 此定理的基本思路和依据是：第一，因 矩阵经线性非奇异变换后，不改变矩阵的秩，因而也不改变系 统的能控性；第二，把系统变成约当规范型，并将n个状态变量 按照特征值分成k组，使

10、各组之间没有耦合关系。这样，要保证 系统能控，必须每组的状态变量都受u的控制。,上一页 下一页,9-4 线性控制系统的能控性和能观测性,二、能观测性 1.定义 2.线性定常连续系统能观测性判据 三、能控性和能观测性的不变性 四、传递函数中零极点对消与状态能控性和能观测性之间的关 系 系统的传递函数所表征的只能是既能控有能观测的子系 统。由于系统不能控或不能观测部分的运动无法用传递函数反 映出来，若没有反映出来的部分有不稳定的运动模式，那么系 统实际上将会有“潜伏振荡”发生，这是用传递函数来描述系,上一页 下一页,9-4 线性控制系统的能控性和能观测性,统的局限性。 五、线性系统能控性与能观测性

11、的对偶关系 1.线性定常系统的对偶关系 2.对偶原理 六、系统动态方程的能控规范型和能观测规范型 1.线性系统能控规范型 1)线性系统能控规范型的形式 2)能控系统化成能控规范型的方法 2.线性系统能观测规范型 1)线性系统能观测规范型的形式 2)能观测系统化成能观测规范型的方法,上一页 返回,9-5 李雅普诺夫稳定性分析方法,一、平衡状态 稳定性指的是系统处于平衡状态下，受扰动后，系统自由 运动的性质。因此，系统的稳定性都是相对系统的平衡状态而 言的。 二、李雅浦诺夫意义上的稳定性 1.李雅浦诺夫意义上的稳定性 如果对应于每一个球域S()，使得当t无限增加时，从初 始条件S()域内开始出发的

12、轨迹(即 =f(x,t)的解)，都不超 出S(),则称这一系统的平衡状态xe在李雅浦诺夫意义下是稳定 的。如果与t0无关，则称这一种平衡状态为一致稳定的平衡状,下一页 返回,9-5 李雅普诺夫稳定性分析方法,态。 2.渐近稳定性 3.大范围内的渐近稳定 对于所有的状态(即状态空间中的所 有各点)，如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定，则这时 的平衡状态称为是大范围内渐近稳定的。 4.不稳定 三、李雅浦诺夫第二方法 李雅浦诺夫第二方法不用求解系统运动方程，而用此法可 直接判别系统平衡状态的稳定性。故又称直接法。 1.预备知识 2.李雅浦诺夫第二方法的几个定理稳定性判据,上一页 返回,9-6 状

13、态反馈与状态观测器,一、系统的状态反馈 1.状态反馈的基本形式 图9-20时状态反馈系统的基本形式。 2.状态反馈的能控性 二、极点配置 1.极点配置的条件 能使闭环系统极点任意配置的条件是被控 系统完全能控。 2.几点说明 1)对能控的单输入单输出系统，采用状态反馈后虽可使其闭 环系统的极点任意配置，但状态反馈不影响系统的零点，也不 改变系统的阶次。,下一页 返回,9-6 状态反馈与状态观测器,2)当系统的开环传递函数分子分母没有公因子时，则开环系 统是能控且能观测的；系统采用状态反馈后，其能控性不变， 这是前面已讲过的结论。但是，由于单输入单输出系统采用状 态反馈后，其零点不受影响，而其极

14、点可以任意配置，因此， 闭环系统的传递函数可能出现分子分母有公因子，产生零极点 相消现象，从而使系统变成不能观测。这就提出了前面曾提出 的为什么状态反馈不一定能保持系统能观测性不变的问题。 3)利用输出反馈和调整系统的开环增益，只能使闭环极点沿 着一定得根轨迹移动，而利用状态反馈能使闭环系统任意配置 极点。这说明，状态反馈比一般的输出反馈对系统性能的综合,上一页 下一页,9-6 状态反馈与状态观测器,更为方便。但在实际上实现起来，状态反馈比输出反馈要来的 复杂。 4)对单输入单输出系统，在一般情况下，利用状态反馈使闭 环系统极点与又性能指标给出的希望极点相一致的方法，以达 到改善系统性能的目的

15、，是行之有效的。但状态反馈只能改变 极点的位置，却不能改变系统极点的个数和系统零点的位置， 有时单靠状态反馈是达不到系统动、静态要求的，所以还须采 取多种方法对系统进行综合。 5)前面证明的极点配置条件，是在对单输入单输出情况下得 出的，对多输入多输出系统基本上也是适用的。但也有些不同,上一页 下一页,9-6 状态反馈与状态观测器,之处，这就是，如果系统状态是完全能控的，那么对单输入单 输出系统按极点配置综合的状态反馈有唯一解。而对多输入多 输出系统这个解不是唯一的，即反馈元素的选择不唯一。这是 因为对多输入多输出系统可以到处多种能控规范型的缘故。这 样，使设计者改善系统性能的“自由度”增加了，但却加大了 究竟选哪个解为好的难度。对这个所谓“自由度”的利用是否 合理和充分，需要设计者有更多地丰富经验。 三、状态观测器 1.全维状态观测器的结构,上一页 下一页,9-6 状态反馈与状态观测器,2.全维状态观测器的特性 3.全维状态观测器的极点配置 1)状态观测器极点可任意配置的条件