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文档简介

1、信号与系统,Signals and Systems,普通高等教育“十一五”国家级规划教材 信号与系统 陈后金,胡健,薛健 高等教育出版社, 2007年,系统的时域分析,线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应 连续时间系统的冲激响应 卷积积分及其性质 离散时间LTI系统的响应 离散时间系统的单位脉冲响应 卷积和及其性质 冲激响应表示的系统特性,线性时不变系统的描述及特点,连续时间系统用N阶常系数微分方程描述,ai 、 bj为常数。,离散时间系统用N阶常系数差分方程描述,ai 、 bj为常数。,线性时不变系统的描述,线性时不变系统的描述及特点,线性时不变系统的特点,LTI系统除具有线

2、性特性和时不变特性外,还具有:,1)微分特性与差分特性:,若 T x(t)=y(t),则,若 Txk= yk,则 T xk -xk-1= yk - yk-1,2)积分特性与求和特性:,若 T x(t)=y(t),则,若 Txk= yk,则,离散时间LTI系统的响应,迭代法求系统响应 经典时域法求系统响应 卷积法求系统响应 零输入响应求解 零状态响应求解,离散时间LTI系统的响应,离散时间LTI系统 的数学模型为,2. 经典时域分析方法:,求解差分方程,3. 卷积法:,系统完全响应 = 零输入响应+零状态响应,求解齐次差分方程得到零输入响应,利用卷积和可求出零状态响应,系统响应求解方法:,1.

3、迭代法:,一、迭代法,已知 n 个初始状态 y-1, y-2, y-2, y-n 和输入,由差分方程迭代出系统的输出。,例 一阶线性常系数差分方程 yk-0.5yk-1=uk, y-1 = 1,用迭代法求解差分方程。,解: 将差分方程写成,代入初始状态,可求得,依此类推,缺点:很难得到闭合形式的解。,二、经典时域分析方法,差分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yhk和特解ypk组成:,齐次解yhk的形式由齐次方程的特征根确定,特解ypk的形式由方程右边激励信号的形式确定,单实根:,因式分解:,N 阶齐次方程一般形式:,特征方程:,特征方程的根,称为差分方程的特征根。,共轭复根,m阶重实根:

4、,二、经典时域分析方法,(1) 特征根是不等实根 r1, r2, , rn,(2) 特征根是等实根 r1=r2=rn,(3) 特征根是成对共轭复根,齐次解的形式,二、经典时域分析方法,常用激励信号对应的特解形式,ak (a不是特征根),ak (a是特征根),例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = x k 初始条件y0 = 0,y1 = -1,输入信号 xk = 2k uk,求系统的完全响应yk。,特征根为,齐次解yhk,解 : (1) 求齐次方程yk-5yk-1+6yk-2 = 0的齐次解yhk,特征方程为,解 :,(2) 求非齐次方程yk-5yk-1+

5、6yk-2 =xk的特解ypk,由输入xk的形式,设方程的特解为,将特解带入原差分方程即可求得常数A= -2。,例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = xk 初始条件y0 = 0,y1 = -1,输入信号 xk = 2k uk,求系统的完全响应yk。,解 :,(3) 求方程的全解,即系统的完全响应yk,解得 C1= -1,C2= 1,例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = xk 初始条件y0 = 0,y1 = -1,输入信号 xk = 2k uk,求系统的完全响应yk。,例.若描述某系统的差分方程为,已知初始条件:

6、,激励:,,试求方程的全解。,解:特征方程:,特征根:,齐次解:,特解:,把,代入到差分方程,可得:,特解:,差分方程的全解:,将初始条件代入上式,有,讨论,1) 若初始条件不变,输入信号 xk = sin0 k uk,则系统的完全响应yk=?,2) 若输入信号不变,初始条件y0=1, y1=1, 则系统的完全响应yk=?,经典法不足之处,若差分方程右边激励项较复杂,则难以处理。 若激励信号发生变化,则须全部重新求解。 若初始条件发生变化,则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法,无法突出系统响 应的物理概念。,三、卷积法,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,1.系统的零输入响应

7、是输入信号为零,仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。,数学模型:,求解方法: 根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式,再由初始状态确定待定系数。,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk+3yk-1+2yk-2=xk 系统的初始状态为y-1=0, y-2= 1/2,求系统的零输入响应yzik 。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,解得 C1=1,C2= -2,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk+4yk-1+4yk-2=xk 系统的初始状态为y-1=0, y-2= 1/2,求系统的零输入响应yzik 。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,(两相等实根),解

8、得 C1 = 4, C2= 4,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk-0.5yk-1+yk-2 -0.5yk-3 =xk 系统的初始状态为y-1 = 2, y-2= -1, y-3= 8,求系统的零输入响应yzik 。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,解得 C1= 1,C2= 0 ,C5= 5,三、卷积法,系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,求解系统的零状态响应yzsk方法: 1) 直接求解初始状态为零的差分方程。 2) 卷积法: 利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。,当系统的初始状态为零时,由系统的外部激励xk产生的响应称为系统的零状态响应,用yzsk表示。,2.系统的零状态响应,卷积法求解系统零状态响应yzs k的思路,1) 将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合 2) 求出单位脉冲序列作用在系统上的响应 单

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