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1、线 性 代 数 张保田,复 习,内 容,3.5 矩阵的等价和等价标准形,1. 矩阵的秩,定义2 设A为mn矩阵，如果A中至少有一 个r 阶子式不等于零，而所有r+1 阶子式(如果 存在r +1阶子式时)都等于零，则称 r 为矩阵A 的秩，记为:r(A)或R(A)或秩(A)。,规定：零矩阵的秩为0。,矩阵A中不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩。可等价定义为：,定理1 初等变化不改变矩阵的秩。,定理2 矩阵乘可逆矩阵，其秩不变。,2. 定理2.1.2 设矩阵A=aijmn 为非零矩阵，则通过初等行变换和列互换一定可把A化为约化阶梯形矩阵,对矩阵A继续进行列变换一定可把A化为：,一、 矩阵的等价,

2、定义3.5.1 若矩阵A经过有限次初等变换化成矩阵B，则称矩阵A与B等价（或相抵），记为AB。,例如，,因为任一个秩为r的矩阵A等价于,称此矩阵为矩阵A的等价标准形。,1.等价矩阵的概念,性质3.5.1 任意一个矩阵秩为r的矩阵A，经过有限次初等变换, 可以化为下列标准形矩阵：,2.等价矩阵的性质,定理3.5.1 设A，B均为mn阶矩阵，则下述 条件中每一个都是A与B等价的充要条件：,（1）存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得,（2）秩(A)=秩(B).,证明: (1) 定理3.4.1及推论；,(2) 必要性：初等变换不改变矩阵的秩；,充分性：由秩(A)=秩(B)知道：,于是，存在可逆矩阵，使

3、,定理3.5.2 秩(AB) 秩(A),秩(AB) 秩(B) .,证明：略（由向量可证）。,矩阵的秩还有如下性质：,(1) 秩(A+B) 秩(A)+秩(B);,(2) 设A为mn阶矩阵，B为ns阶矩阵, 则,秩(A)+秩(B) n秩(AB) min秩(A),秩(B),(3) 设A为mn阶矩阵，B为ns阶矩阵, 且 AB=0，则秩(A)+秩(B) n;,(4) 设A、B、C为同阶阶方阵, 则 秩(AB)+秩(BC) 秩(B)+秩(ABC) ;,(5),证1:,证2:,证3:,例3.5.1 设n1,解: 因为,求: 秩(AB),秩(A)=1, 秩(B)=1.,于是，秩(AB) 1；,又因为 AB0，,可知秩(AB) 1 ;,所以，秩(AB) =1 。,而AB

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