第5章岩土体稳定理论章5-极限稳定分析20101101.ppt

1、路基工程理论与技术 Theory and Technology of Subgrade Engineering 主讲教师：王连俊 教师单位：土建学院道铁系 授课班级：道铁2010硕士 授课学时：32学时 授课时间：8周（10.11-12）,2020/8/10,2,第5章 极限稳定分析,如果忽略材料的强化和物体由于变形而引起的几何尺寸改变，则当外力达到某值时，理想塑性体可在外力不变的情况下，发生无限制的塑性变形塑性流动。这时，就称物体处于极限状态，或者说，物体濒临塑性破坏状态。 与极限状态或破坏状态相对土的荷载叫做物体的极限荷载(或极限承载能力)或破坏荷载。 本章将主要介绍理想塑性体处于极限状态

2、的原理，即是所谓上限和下限原理；另外也要涉及到滑移场理论和极限平衡理论。,2020/8/10,3,5.1 塑性和破坏 5.1.1 土的破坏型式,作用于土体上的面力和体力系将引起土体内部的应力与应变的变化。应变的变化常常有一部分是弹性的，并立即可以恢复，但也可以产生一部分不可恢复的显著的塑性应变(在部分发生屈服)。 当外力增加时，土体内有些部分可渐渐 达到其抗剪强度极限。一旦这一部分足够扩大，以致形成不稳定的机理，就将发生无限制的屈服。只要能够保持外力，则不管土体的几何形状怎样改变，这个屈服将是连续增加的。这个无限制屈服(不稳定的)称为破坏。,2020/8/10,4,总的说来，土的破坏与土类、土

3、的物理状态，外荷条件，加荷速率等等有关。 其型式可分为断裂破坏和剪切破坏两大类。 在剪切破坏型式中又可分为脆性剪断和塑性流动两类。 例如强超固结粘土在低3条件下，或qu试验中可得到断裂破坏的型式，而正常固结粘土则一般多呈塑性流动破坏的型式。,2020/8/10,5,5.1.2 土的破坏与屈服 如前所述，屈服与破坏并不是同一概念。 屈服是指：土的弹性变形的上限，超过屈服点，土并不一定破坏，从屈服到破坏之间有一个塑性变形的范围。 只有像坚硬岩石那样的脆性材料，则往往破坏之前，只有弹性变形。一旦超过弹性极限立即产生破坏。对这种材料才可定义为：屈服即破坏，如图101(a)所示。,图101 各类土的屈服

4、和破坏,2020/8/10,6,理想的线弹性完全塑性体(图101(b)，不是脆性材料。当达到弹性极限之后，会产生连续不断的流动变形。因此，对于这种材料，可以认为弹性变形与塑性变形的界限十分清楚，屈服点也等于塑性流动的起始点，最后这种材料要趋于破坏。 由于屈服条件与应变无关，在此情况下，屈服条件与破坏条件是相同的。 然而，实际的土十分复杂，如图101(c)所示，达到 a 点以后，一般都属于塑性变形，这种情况要定义实际土的屈服点和破坏点十分困难。 应变软化或塑性流动的(A)类土虽破坏极限较明确(即a点)，但以a点为屈服点就不十分准确； 应变硬化(B)类土，则破坏点不易确定，屈服点就更不明确了。,2

5、020/8/10,7,5.1.3 土的破坏状态分析 引起土体破坏的外力系称为破坏荷载或极限荷载。 原则上平衡条件和应变相容条件以及材料的应力应变性状就足够决定破坏前的应力和位移的分布。 实际上，土的应力应变性状是如此复杂而且与荷载历史有关，以致在进行土工结构物的分析时，常常需要加以大力简化。 另一方面，由于我们只要求结构物的破坏荷载，则可以不考虑具体的加载历史而直接采用极限原理求解。这样只考虑极限状态的方法不但比较简单，而在实际问题中又有一定的意义。,2020/8/10,8,如果采用塑性理论中的极限分析方法来研究土在塑性区内的应力和应变率问题，就必须将实际土简化为理想完全塑性材料，即将图101

6、(c)的应变软化实曲线简化为一种塑性体应力应变关系线(即图101(c)中虚线)。,2020/8/10,9,其关键问题在于折点如何选择，若土体中各点应变均匀，这种土将在相同时刻发展其峰值强度，塑性区内最大平均强度，接近峰值强度，则折点可取峰值点；若土体的大部分要经历较大的塑性应变才破坏，塑性区的平均强度更接近于残余强度，则折点应取残余强度或终值。所以在土的极限分析中，常采用下面几个假定： 1 屈服条件与应变无关，不考虑弹性阶段的变形。 2 没有强化效应和应变软化现象，屈服条件与破坏条件相同。 3 变形足够小，变形前后都能使用同一个平衡方程。 4 在获得极限(破坏)荷载前，土体不失去稳定性。,20

7、20/8/10,10,在土的极限分析中，主要应该求出极限荷载的大小，即要知道土体在极限状态下，能承受多大的荷载，如果超过这个荷载值，土体即将破坏，当由完全塑性材料组成的土体处于破坏点时，土体的某区域必定已经达到其抗剪强度极限(即超过了屈服点)。这个区域必须足够的大，以便形成不稳定机理。 例如地基稳定性被破坏后，至少基础底面以下和两侧有相当大的区域达到了极限状态，荷载也达到了极限，于是形成了不稳定机理。在这个塑性区域中，应力与应变分量必须满足： 1. 平衡条件； 2. 屈服条件； 3. 控制屈服应力分量与应变速率之间关系的流动规则,2020/8/10,11,5.2 屈服条件与流动规则 5.2.1

8、 屈服条件与应变速率 如前所述，对于任何完全塑性的模型土，屈服条件与破坏条件是相同的。虽然摩尔库仑屈服条件有些缺点，但是仍用于解决常见的实际问题，如土的极限分析等。屈服(以及破坏)条件可以写成土的破坏型式,（101）,2020/8/10,12,为了使(101)式能配合应力平衡条件联合求解，必须把(101)式予以演化，以y，z，yz各项表达出来。如图102所示，利用几何关系可得：,（102）,2020/8/10,13,在粘性土中上式中括号内的项可以始终视为外荷引起应力与内应力Ccot之和，公式推演起来较方便，且可把C的因素视为一种应力引起的强度分量。 若(y，z)坐标轴方向与大主应力作用方向夹角

9、，则又可利用几何关系得：,（103）,2020/8/10,14,将(102)式代入(103)式即获得破坏时的y，z，yz项的表达式：,（104）,同时，利用几何关系可求得(y，z)坐标上的通过a点的两平面与1的作用方向夹角为(/4-/2)。土在这两个平面上达到了强度的极限，因此形成滑动线，破坏时沿滑动线将发生移动。注意这些滑动线是摩尔库仑模型土的一个特征，并不意味着在真正土中会出现这样一些滑动线。,2020/8/10,15,其次，根据完全塑性材料的假定，凡满足屈服条件的塑性区内的任意应力状态，只要继续维持下去，都会引起无限制的塑性应变。因此屈服应力与塑性应变之间没有直接的相互关系。于是，需要确

10、定的不是应变，而是应变相对于时间而增长的比率应变速率。应变速率的绝对值也不需要确定，因为在这种土工问题的研究中，只关心稳定与否，并不规定土的特殊的流变性质。只要求了解塑性区内相对的应变率分量值，由它决定着应变率矢量的方向和塑性区土体变形的形状。 总之，只要知道了塑性区内任何处的应变大小，就可以 确定该土体内任意一点的相对位移及位移速度。我们所关心的仍然是速度分量的相对大小，因为它决定着速度矢量的方向。换言之，要求出表示塑性区内各处运动的速度矢量的图形速度场。,2020/8/10,16,（104b）,5.2.2 流动规则和塑性势,2020/8/10,17,因而，对于莫尔库仑材料，塑性势函数可用下

11、列方程来确定：,（105a）,（106）,2020/8/10,18,2020/8/10,19,则相适应的流动规则可写成下式：,（105b）,因此，如果将屈服应力分量及相应的应变率分量绘成图形， 如图103(a)所乐，由于屈服轨迹的斜率为tan 则可以看到应变率矢量正交于屈服轨迹。土力学中，屈服条件也可以表示为下列形式：,或,2020/8/10,20,相适应的流动规则可以用下式表达：,但是屈服轨迹的斜率为,（105c）,（105d）,2020/8/10,21,如图103(b)所示，应变率矢量正交于屈服轨迹。这个正交条件可以表明采用相适应规则的一般结论,（a） （b） 图103 应变速率矢量的正交

12、性,2020/8/10,22,5.2.3 实际土的流动规则,2020/8/10,23,（106a）,2020/8/10,24,又因整个单元是屈服的，故,所以将上式代入式(106a)得到：,（106b）,上式意味着，剪应力中整个摩擦所作的功在单元膨胀中被吸收，而能量消耗率只与C和p有关。如果没有体积变化，那就没有内摩擦角了。 例如对于饱和不排水的软粘土来说，它的uu值及体积应变速率都是很小的，它的确符合上述相适应流动规则。 当然不是所有的摩擦材料都具有这种不断剪胀的特性，如对砂土来讲，内摩擦角o的中密以上的砂开始也可能产生剪胀，但它并不能一直不断地继续下去。试验表明，即使在等体积条件下，砂一般仍

13、存在有摩擦阻力，因此很难认为砂土符合相适应的流动规则。,2020/8/10,25,虽然相适应的流动规则一般很难应用于实际土工问题，但把相适应的流动规则应用到模型土上常有其优点。首先，许多如极限原理的塑性理论的证明需要正交条件；其次，研究地基破坏荷载等对边界上的速度场很少加以特殊限制，而且破坏荷载对速度场的微小改变是不大敏感的，因而受到流动规则变化的影响甚微。,2020/8/10,26,5.3 极限分析原理 5.3.1 基本概念,理论上，平衡条件和屈服条件以及流动规则是足以确定速度场、应力分布以及破坏荷载的。然而，实际上除了很简单的情况外，很少能获得精确解答。大多数情况下只能获得可用的近似解答，

14、例如上，下限原理、滑动线场有限差分法以及假定滑动面的近似解等。,2020/8/10,27,在载荷系作用下处于平衡的变形体，若给出一微小的虚变形(或位移)，那么由于外力(或荷载)所做的虚功必等于内力(或应力合力)所做的虚功。 应当指出，所谓虚变形，即不一定是实际的变形。 因而在产生虚变形的过程中真实的力所做的功就称为虚功，这就是虚功原理。 它有两个特点，(1)形状的虚变化可以任意加入变形体上，不应把它与真实荷载所引起变形体形状的变化混淆起来；(2)在虚功原理的论述中，根本没有涉及变形体的材料特性，所以虚功原理适用于所有变形体。应用虚功原理时，所有力在虚变形中都当作常量。 设变形体处于平衡受力状态

15、，体积为V，总表面积为A，变形体内部受力状态为ij则在变形体内应为,2020/8/10,28,其中F为单位体积力，在表面上应有,Ti为作用表面上的力，ni为外法线n的方向余弦。因此，虚功原理可以用下列方程式表达：,当体积力Fi零时，上式为,式中ui为表面上虚变形。,(10-7a),(10-7b),2020/8/10,29,现在我们利用虚功原理来证明在极限状态下，应变速率的弹性部分为零。 设对应于面力速率Ti和体力速率Fi的应力速率场为ij及应变速率场为ij,ij又分成弹性和塑性两部分,利用虚功率原理，可得,在极限状态下，外力为常值，所以,从上式得到,2020/8/10,30,对于理想塑性材料据

16、Drucker公设有,故有,(10-8),2020/8/10,31,5.3.2 极限分析原理,1静力场和机动场 凡满足平衡方程和力的边界条件，并且不违背屈服条件的应力场，称为静力许可的应力场(或静力场)，用符号ij*来表示，换句话说，ij*符合下列要求,2020/8/10,32,说明了两个极限原理中的名词含义，下面将介绍两个极限分析原理，它又称为极限分析的上下限定理，它是用来估计极限荷载大小最基本的定理。,2020/8/10,33,2下限定理 现研究承受已知荷载(也就是已知面力和体力系统)的物体。假设选取了一任意应力场，即定出了物体内各处应力状态的任意应力图形。 如果任何地方的应力都不超过屈服

17、极限，则这应力场称之为稳定的应力场。 如果任意点应力与表面力和体积力相平衡，则按前述定义这应力场称为静力许可应力场。,2020/8/10,34,所以，对于一个完全塑性材料，如可求得一个稳定的静力许可应力场，则在已知荷载下土体不会发生破坏。但这并不意味着已知荷载是土体所能支持的最大荷载，因为还可找到另一种稳定应力场，与另一较大的荷载相平衡。而破坏荷载不可能小于该荷载，只可能大于该荷载。 于是在与任何稳定的静力许可应力场相平衡的荷载中，选出其中最大者，它就是破坏荷载(极限荷载)的下限，或下限解这就是下限定理。 现证明如下；,2020/8/10,35,2020/8/10,36,2020/8/10,3

18、7,设粘土地基上的基础宽度为B，作用在地面上的均布压力为q，粘土的容重为r，不排水强度为Cuu。选取图105(a),(a)所选应力场 (b)三个破坏区域的应力莫儿圆,2020/8/10,38,所示的任意应力场。因为地面上没有剪应力，所以只有垂直应力和水平应力分量平衡就行。虽然，所选的应力场在实践中是很不可能发生的，但这并不影响我们的论证。这里所讨论的，就是应力场与面力和体力的平衡，即应力场是静力许可的。如果没有超过屈服应力，则根据图105(b)的莫尔园可证明,（10-10）,因此，能够与所选应力场平衡的最大荷载qmaxB是4CuuB，称为可静解，这个荷载就是破坏荷载的下界。,2020/8/10

19、,39,3. 上限定理 设选取一任意速度场，即决定物体内各处运动的任意速度图形。如果运动与物体的连续性到处协调，与边界上运动的任何约束也协调，那么速度场被称为运动许可的。 如果荷载位移所做的功超过物体变形中消散的能量，则速度称为不稳定。 对于具有相适应流动规则的完全塑性材料，如果任何不稳定的运动许可的速度场可以求得。那么在给定荷载下或者在二较小荷载下必定发生破坏，因此任何的运动许可的速度场，将内部能量消散等于外力做功而算得的荷载，就是真正破坏荷载的上限，或上限解这就是上限定理。现证明如下：,2020/8/10,40,2020/8/10,41,由以上二式可得,（10-11，a）,根据正交法则有,

20、（10-11，b）,式(1011，a)同式(1011，b)矛盾，原假设不成立。这样，第二极值定理上限定理得到证明。,2020/8/10,42,对于图105所示的问题，现研究如图106所示的在园形薄变形层上的滑动破坏。因为等于零，所以这个运动是与流动规则相协调的。在边界上的位移也没有约束。因此速度场是运动许可的。总的能量消散速率根据式(106，b),如图106所示。,于是总的能量消散速率是,2020/8/10,43,外力做功的速率是,根据外力做功与内部能量消散相等，并在两边除以,得,2020/8/10,44,（10-12，a）,2020/8/10,45,因此它是破坏荷载的上限解。而实际的破坏荷载

21、可能介于上下限解两者之间，即 （10-12，b）,2020/8/10,46,我们研究无支撑垂直边坡临界高度的确定问题。设垂直边坡处于破坏点的高度为Hc，在坡外从上向下的开裂深度为nHc，如图107所示。 1上限法解答 按外部所作的功等于内部能量消耗的原理推演。 设楔体以速度v运动。因滑楔的运动与滑动圆成角(图107)，所以垂直速度是vcos(+)。于是重力做功的速率为,5.3.3 应用举例,2020/8/10,47,内部能量消散速率为,令两者相等，得：,2020/8/10,48,代入Hc的表达式得到，,(10-13),2020/8/10,49,2. 下限法解答 现研究图108，a所示的应力场。

22、如果这个应力场满足破坏条件，它既是可静的又是稳定的，那么莫尔园图解(图108，b)证明，在区域1的底部单元体进入破坏状态时：,(a)所选应力场； (b)区域1底部破坏时莫尔图 图108 垂直边坡的临界高度,2020/8/10,50,(10-14) 下限,(10-13) 上限,2020/8/10,51,2020/8/10,52,5.4 滑动线场解答,2020/8/10,53,所以,（10-15，a）,2020/8/10,54,塑性区内的平衡条件可以写作,（10-15，b）,将上面给出的应力分量值代入，就可以得到关于和的两个联合微分方程式。给出足够的边界条件后，这些方程式的解答得出塑性区内各点应力

23、分量的大小以及滑动线的方向，Kotter（1888）首先得出无粘性土的这种类型的方程，Jlky（1939）证明，Kotter方程式同样适用于凝聚性材料。,2020/8/10,55,现研究一纯粘性土（=0）地基上一条光滑底面的基础稳定性问题，假设土为无重介质，故式（10-15，b）中体积为Z，Y=0。可以证明，在=0的情况下，对数螺旋线演化为一圆弧地面内破坏面如图10-10（a）所示。土的抗剪强度为：,根据图10-9，应力分量yz以及yz可表示如下：,图10一10 无重量上基表面上均布荷载作用下普朗特尔解答,2020/8/10,56,（10-16，a）,将此结果代入应力平衡方程式(1015，b)

24、，得：,（10-16，b）,2020/8/10,57,若使y、z轴与第一，第二滑动线分别重合，则=0，并且,式中Sa和Sb分别为沿a，b两滑动线上的长度。上述方程式就变成：,（10-17）,这个方程式就是描述破坏面上应力变化的方程式，通常称Kotter方程式。,2020/8/10,58,Kotter方程式并不随所选择的坐标方向而定，所以不必非取=0不可。若滑动线为直线，则沿线=const。得,这样，式(1017)也变成,2020/8/10,59,沿a簇直线滑动线上,但沿b簇园弧滑动线就不同，设某滑动线其半径为r， 则由式,2020/8/10,60,（10-18a）,将其积分可得：,（10-18b）,式中，A为待定常数。从=0处的边界条件上应力可以给出，例如条基外侧地基表面ad开始计算，那里=0,2020/8/10,61,2020/8/10,62,接着，在主动RankineI区内，平均主应力又是常数， 所以,2020/8/10,63,或,（10-19a）,2020/8/10,64,由于aa为主应力面(光滑基底)所以1就是条基下地基的极限承载力qf。这是Prandtl(1920)采用Kotter方程式求得的无重量土、=0地表上基础问题的解答对于0，基础破坏荷载的Prandtl解答是,（10-19b）,但若基土介质为0，并且有重量，般难以求得精确解答。,2020/8