2 刚体和流体力学(1-3)白.ppt

1、转动惯量的定义及其量的计算,刚体运动的描述,第二章 刚体和流体力学,本章要求掌握的基本内容,刚体的角动量定理（即动量矩定理）及其守恒定律,刚体定轴转动定律及其应用,刚体定轴转动动能定理及其应用,本次课要求掌握的基本内容,1、何为刚体？如何描述刚体的运动？,2、什么叫刚体的转动惯量？它的物理意义怎样？,3、如何计算刚体的转动惯量？,5、什么叫刚体定轴转动定律？ 如何应用转动定律解题？,4、刚体定轴转动动能如何确定？,一、刚体的平动和转动,平动：用质心运动讨论,刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。,刚体: 在外力作用下形状和大小保持不变的物体.,即各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。

2、,2-1 刚体运动学,转动：（分对点、对轴转动） （只讨论定轴转动）,定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。,转轴,刚体的一般运动,既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动,角位移,各质元的线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同,描述刚体整体的运动用角量最方便。,二、描述刚体定轴转动的物理量,其角量和线量的关系：,角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。,角速度,角加速度,其角量和线量的关系：,比较：,一 、刚体的转动动能,刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半-刚体的转动动能.,2-2 刚体的定轴转

3、动,定义J为刚体对给定轴的转动惯量(moment of inertia),其中ri是质量元到转轴的距离。,在国际单位制中其单位为千克米2（kgm2）。,二. 转动惯量,与转动惯量有关的因素： 刚体的质量 转轴的位置 刚体的形状,实质与转动惯量有关的只有两个因素。形状即质量分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。,对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成:,刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量 与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。,注意,2。对于质量元不连续（离散型）分布的刚体，其转动惯量可写成和式,1。只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用上式 积分计算出刚

4、体的转动惯量。,刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。,1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解:,J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,例题,2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r宽为dr的薄圆环,可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。,3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解：取如图坐标，dm=dx,4. 求一质量为m的均匀实心球对其一条直径 为轴的 转动惯量。,解： 一球绕Z轴旋转，离

5、 球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为,其体积：,其质量：,其转动惯量：,Z,平行轴定理,前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：,推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：JJCmd2。,这个结论称为平行轴定理。,右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球半径为R）,作用在刚体上的轴的力矩,三、转动定律,如果有几个外力矩作用在刚体上,积分得,力矩的大小等于力在作用点的切向分量与力的作用点到转轴Z的距离的乘积。,刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出,和,dF

6、和 df 为合外力和合内力.,分解为作用在质量元dm上的切向力和法向力:,将切向分量式两边同乘以r，变换得,刚体定轴转动的转动定律,对等式左边积分得到外力矩,其中，,角加速度对所有质量元都相等,所以,写成矢量形式,(注意：法向分量通过转轴，对轴不产生力矩),问：那么法向分量情况？,(为什么？）,m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性.,力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。,刚体定轴转动的转动定律的应用,例1、一个质量为0、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速

7、度。,解：,例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为0.2。求闸瓦对轮子的压力N为多大？,解：飞轮制动时有角加速度,外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。,例3. 如图所示，两物体1和2的质量分别为m1与m2，滑轮的转动惯量为J,半径为 r 。 （1）如物体2与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速度 a 及绳中的张力 T1 与 T2（设绳子与滑轮间无相对猾动）； （2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度 a 及绳中的张力 T1与 T2。,解：(1),（物体2与桌面间为光滑接触时）,例

8、4、一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。 棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，该质量元的重力对轴的元力矩为,重力对整个棒的合力矩为,代入转动定律，可得,四、 力矩的功,式中,力矩做功是力做功的角量表达式.,力矩的瞬时功率,五、刚体定轴转动的动能定理,合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,刚体定轴转动的动能定理,六 、包括刚体的系统的场中机械能守恒定律,若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他非保守内力不做功,则刚体在重力场中

9、机械能守恒.,例5、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，另一端固定一质量为 m的小球，（小球半径Rl .）因而棒可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求棒由此下摆角时的角加速度和角速度。(06年) （请与例题4比较）,解：棒下摆有角的过程中，只有棒和小球的重力矩做功，因此系统的机械能守恒。 设最初棒静止的水平位置为零势点。,求角加速度：,还有解法？同学们想一想。,由转动定律解：棒下摆为加速过程，外力矩为棒和小球的重力对O的力矩。 当棒处在下摆角时，重力矩和为：,另解,求角速度：,1、什么叫刚体的角动量？刚体定轴转动的角动量定 理是如何定义的？,本次课要求掌握的基

10、本内容,2-3 刚体角动量定理和角动量守恒定律,2、 什么叫刚体的角动量守恒定律？如何应用刚体的 角动量定理 或角动量守恒定律解题？,刚体绕定轴转动时,各质元某一瞬时均以相同的角速度绕该定轴作圆周运动.,刚体对某定轴的角动量等于刚体对此轴的转动惯量与角速度的乘积.（角动量又叫做动量矩）,一、 刚体的角动量定理,外力矩对系统的冲量矩(角冲量)等于角动量的增量.,刚体所受的外力矩等于刚体角动量对时间的变化率。,刚体转动定律的另一种形式,-叫做角动量定理（或动量矩定理）,二 、角动量守恒定律及其应用,角动量守恒定律的两种情况：,1、转动惯量保持不变的单个刚体。,当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动

11、量保持不变.这一结论称为角动量守恒定律.,转动动能与角动量的关系:,若J 改变,则,2、转动惯量可变的物体,实际中的一些应用,艺术美、人体美、物理美相互结合,、芭蕾舞演员的高难动作,当滑冰、跳水、体操运 动员在空中为了迅速翻转 也总是曲体、减小转动惯 量、增加角速度。当落地 时则总是伸直身体、增大 转动惯量、使身体平稳地。,花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速.,例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。（已知棒长为l,质量为M.）,解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹有:,子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：,因, 由两式得,另解：,利用系统总角动量守恒,解：,m为粘土块的质量,碰撞 t 极小，对 m +盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：,则：, 求碰撞后瞬间盘的 0=？,求 p点转到x 轴时盘的 =？，=？,（= 60 o）,例题3. 飞轮的质量为60kg，直径为0.50m， 转速为1000rmin，现要求在 5s内使其制