高等数学课后习题答案--第一章

1、1 高等数学习题参考资料 第一篇 一元函数微积分 第一章 极限与连续 1 函 数 习 题 1.确定下列初等函数的定义域： (1) 2 1 )( 2 + = xx x xf； (2)4)( 2 =xxf； (3) 2 1 arcsin)( = x xf；(4) 2 )5lg( )( x x xf =； (5) 4lg)5lg()( 2 =xxxf； (6)xxxfcossin)(=。 1 【答案】 (1) ), 2()2 , 1() 1,(|:+=xxD (2) ), 22,(|:+=xxD (3) 3 , 1|:;=xxD (4) )5 , 0()0 ,(|:=xxD (5) 4 , 1 |:

2、=xxD (6) + += + = U k kkxxD 4 5 2, 4 1 2|:. 2. 作出下列函数的图象： （1）|sin|sin)(xxxf=；(2)|1|2)(=xxf； （3） + = , 1 , 1 , 2 1 )( x x x xf . 12 , 21 , 1| 0, 则ts, 即)()(tfsf, 即 )(xf在)0 ,( a单调增加的. 8判断下列函数在给定区间上是否有界： （1）);4 , 2(, 2 2 )( + =x x x xf （2）), 0(,sin)( 2 +=xxxxf； （3）) 1 , 0(, 1 sin 1 )(=x xx xf； （4）), 1 (

3、,sin)(+=xxxxf。 8 【答案】 (1) 无界 ; (2) 无界; (3) 无界; (4) 无界 4 9设,2)(,)( 2x xgxxf=求ggfffggfoooo,。 9 【答案】 x gf 2 2=o; 2 2xfg=o; 4 xff=o; x gg 2 2=o 10下列函数分别是由哪几个较简单的函数复合而成： （1）53)(=xxf； （2）xxflg)(=； （3）)1sin(lg()( 2 +=xxf. 10.【答案】 （1）uf =， 53 = xu; (2) uf =vulg=, xv = (3) ufsin=vulg=, 1 2 += xv. 11求下列函数的反函数

4、，并指出反函数的定义域： （1）xxf3sin2)(=; （2） 1 )( + = x x a a xf; （3） 2 )( xx aa xf =; （4） 1 , 0)(,1arcsin4)( 2 =fDxxf. 11. 【答案】 (1) 2 arcsin 3 1x y =, 22:xD; (2) x x y a = 1 log, ) 1 , 0(=D; (3) )1(log 2 +=xxy a , ),(+=D; (4) 4 cos2 x y =, 2 , 0:=D . 2 数列的极限 习 题 1. 证明：数列LL, 1 , 3 1 , 2 1 , 1 n 为无穷小量。 5 1. 【答案】

5、 对于任意给定的0, n, 于是取 = 2 1 N, 当 Nn 时, 成立，总存在整数0N，当Nn时，都有 , 由于aaaa nn |, 于是当Nn时， 都有|aan, 因此| n a收敛于| a . 但反之不一定成立, 例如 n n a) 1(=. 3. 求下列极限： （1） n lim nn n + 2 2 13 ;（2） n lim + 11 22 n n n n ; （3） n lim nn nn 3) 1( 3)2( + + ;（4） n lim 1 ) !sin( 2 +n nn ; （5） n lim n n bbb aaa + + L L 2 2 1 1 （1| , 1| =

6、1, 1 0, 1 10, 1 a a a . 4. 下列命题是否正确？正确的请给予证明，不正确的请举出反例。 （1） 若 n a 收敛， n b 发散，则 n a + n b 与 n a n b 均发散； （2） 若 n a ， n b 均发散，则 n a + n b ， n a n b 也均发散。 4. 【答案】 (1) nn ba +发散, 用反证法证明; n a不收敛于零时 nnb a发散, 用 反证法证明, 当 n a收敛于零时, 不一定. 例 n an 1 =, n n b) 1(=, 则 nnb a收敛, 但 6 2 ) 1(nb n n =时, nnb a发散. (2) 不一定

7、; 5. 设 n a = n n 2 12 4 3 2 1 L，证明 n a 12 1 +n ,并求出 n lim n a。 5. 【提示】 ) 12()2(43 ) 12() 12(31 222 222 2 + + = nn nn an L L 12 1 )2( ) 12)(12( 4 53 2 31 222 + + = nn nn L 12 1 + n 6. 证明： n lim0 )2()2( 2 ) 1( 1 333 = + + + +n n nn L. 6. 【提示】 利用 333 )()2( 1 n n kn k n + , nk, 2 , 1K=, 根据夹逼性即得. 7. 利用“单

8、调有界数列必有极限”，证明下列数列 n x 收敛，并求出它们的极 限： （1）;, 2 , 1,2,2 11 L= + nxxx nn （2）;, 2 , 1,2,2 11 L=+= + nxxx nn （3）., 2 , 1, 1 1, 1 11 L= + += + n x x xx n n n 7. 【提示】 (1) n x是单调增加的, 且2 1 2u=, 设 1 nn uu 成立, 则 1 2 nn uu + =+ 1 2 nn uu +=也成立, 因此数列是单调增加的. 其次 证明它有上界. 仍用归纳法来证明. 对于2 1 =u12 +, 设对于n成立 n u12 +， 则 2 1

9、222122 21( 21)21 nn uu + =+ + =+=+, 因此由归纳假设可知，对一切n, 有 n u21+. 这样数列 n u有上界. 因此 数列收敛. 注意, 在此题有界性的证明中, 归纳假设的界不是唯一的, 可以假 设1+kan, 其中k是任意大于 2 的正数. 这种不唯一性也给初学者带来困惑. （3）提示： 显然 2 n x. 归纳法证明数列单调增加. 利用 11 1 11 11(1)(1) nnnn nn nnnn xxxx xx xxxx + = + 即可. 8. 利用Cauchy收敛准则，证明以下数列 n x 的收敛性： （1） n n n x 2 sin 2 2si

10、n 2 1sin 2 +=L; 7 （2） ) 1( cos 32 2cos 21 1cos + + + = nn n xnL; （3） 222 1 3 1 2 1 1 n xn+=L（提示：n2时 nnn 1 1 11 2 (1) mnn nm aa 2 1 2 1 2 1 | 1 + + L n 2 1 n; (2) | nm aa ) 1( 1 )2)(1( 1 ) 1( 1 + + + +mmnnnn L nmn 111 n; (3) | nm aa 222 1 )2( 1 ) 1( 1 mnn + + + + =L 222 ) 1( 1 ) 1( 1 ) 1( 1 + + + + +

11、 nnn L 2 ) 1(+ = n n n 1 n. 3 函数的极限 习 题 1. 验证下列极限： （1） 3 lim x 21=+x;（2） 0 lim x 2 1 x e = 0。 1. 【解】 （1） 对于任意给定的 0, 21+x 21 |3| + = x x 2 |3| x , 取 2 , 1min=, 则当x 适合不等式|3|0 x时，21+ x， 因此 21lim 3 =+ x x . （2） 假定10， 取)(ln, 5 . 0min 1 =. 则当x 适合不等式|0 x 时， 2 1 x e = Axf ax , 则对于任意给定的 0, 存在0 1 , 当 10 |0xx时

12、, , 当 20 |0 A xf, 取,min 21 =, 则当x 适合不等式 = 01 01 )( x x xf, 在0=x. (3) 正确; 反证法, 不然fgfg+=)(应该连续. (4) 不正确. 例 = 01 01 )( x x xf, x, 因此本函数的定义域 2 1 x, 因此不考 虑点 2 1 =x. 12 3如果 0 lim xx f(x)0， 0 lim xx g(x)也存在。证明 0 lim xx f(x) )(xg = 0 lim xx f(x) )(lim 0 xg xx . 3【答案】 利用 x ey =及xyln=的连续性， )(ln)()( )( xfxgxg

13、exf=， )()( )(lim)(lim 00 xg xx xg xx xfxf = )(ln)(lim 0 xfxg xx e = )(lnlim)(lim 00 xfxg xxxx e = )(limln)(lim 00 xfxg xxxx e = )(lim 0 0 )(lim xg xx xx xf = 4利用上题结果，求极限： （1） n lim), 1 4 (tan n n + （2） x lim x x ) 1 1 ( 2 +. 4. 【答案】 (1) 2 e; (2) 1. 5求极限： （1） 3 lim x 3 21 + x x ;（2） 2 lim x 2 2 33 x

14、x ; （3） x lim 33 2 2 1 + + x xx ;（4） x lim)11( 22 +xx; （5） xlim );22( 22 xxxx+ （6） 0 lim x x x cot )sin1 ( +; （7） +xlim ln)2ln(xxx;（8） x lim bax bxax bax bxax + + + + 2 )( )()( ; （9） 0 lim x x x cot ) 4 tan( ;（10） x lim x xx ) 1 cos 1 (sin+. 5. 【答案】 (1) 4 1 ; (2) 3 2 6 1 ; (3) 1; (4) 0; (5) 2; (6) e

15、; (7) 2; (8) )(ba e + ; (9) 2 e; (10) e. (10) 的计算过程: x x xx + 1 cos 1 sinlim()t t tt 1 0 cossinlim+= ()t t tt 1 0 )tan1 (coslim+= ()()t t t t tt 1 0 1 0 tan1limcoslim+= ,0) 2 sin21 (lim)(coslim 1 2 0 1 0 = t t t t t t, ett t t t t t t =+=+ tan tan 1 0 1 0 )tan1 (lim)tan1 (lim, 于是 x x xx + 1 cos 1 si

16、nlime=. 13 6利用等价无穷小替代的方法计算： （1） 0 lim x 4 cosln 1)1( x xx x + ; （2） 2 lim x )sin1)(sin1 ( sin1 xx x + ，其中0, 0（提示：令)1sintx=。 6. 【答案】 (1) 2 1 ; 1)1 (+ x x1 )1ln( = +xx e 2 )1ln(xxx+, = 2 sin21ln)ln(cos 2x x 2 2 x () 4 0 cosln11 lim x xx x x + 2 1 2 1 lim 4 4 0 = = x x x (2) + . =xx 2 cossin ， 记tx = 2

17、， 于是txcossin=, ()()xx x x sin1sin1 sin1 lim 2 + ()() tt t t cos1cos1 cos1 lim 0 = + ，而x k cos1 ()2 2 sin11 k t= 2 2 t k ， 于是 ()()tt t t cos1cos1 cos1 lim 0 + 22 2 0 22 2 lim tt t t + = + = 7当0 x时，用x的幂函数表示下列函数的等价无穷小量： （1）;64 532 xxx+ （2）; 32 xx+ （3）;3121 3 xx+（4）);1ln()1ln(xx+ （5）xxsin;（6）xxsin1tan1+

18、. 7. 【答案】 (1) 2 4x; (2) 3 1 x; (3) 2 2 1 x;事实上， 3 3121xx+ () ()131121 3 +=xx ()13131 3 121 2 33 2 + + = xx x x x () + + = 13131 3 121 2 33 2 xx x x ()() ()()12113131 1213131312 33 2 33 2 + + + + = xxx xxx x ()() ()()12113131 12131311312 33 2 33 2 + + + + = xxx xxx x， 14 而 ()()() x xxx x 12131311312

19、lim 33 2 0 + + + ()() () x x x xx xx 1213 lim 13121312 lim 0 33 2 0 + + + = 3= 于是 2 3 0 2 1 3121 lim x xx x + ()() ()()12113131 12131311312 2lim 33 2 33 2 0 + + + + = xxxx xxx x 1 6 32 = =， 因此 23 2 1 3121xxx+ (4) )1ln()1ln(xx+ + = x x 1 1 ln += x x 1 2 1ln x x 1 2 x2; (5) | x; (6) xxsin1tan1+ xx xx

20、sin1tan1 sin1tan1 + + = xx xx sin1tan1 sintan + = xx x x sin1tan1 1 cos 1 sin + = xxx xx cos)sin1tan1( )cos1 (sin + = xxx x x cos)sin1tan1( 2 sin2sin 2 + = 3 4 1 x 8设f在),(+上连续，且 x limf(x) = A，试证明f在),(+上有界。 8. 【答案】 本题给出了判别函数在),(+上有界的一个准则, 其证明需运用 极限的分析定义. 因为 ,)(limAxf x = 取1 0 =, 则存在0X, 当Xx |时, 1|)(|

21、0 =Axf, 即1)(1+AxfA, 所以1| )(|+M, 使 0 | )(|Mxf, 因此对一切 ),(x, , 1max| )(| 0 MAxf+, 函数有界. 9证明方程0153=+ x x 在（0，1）内有实根。 9. 【提示】令153)(+=xxf x , 在区间 1 , 0内运用零点存在定理. 10证明方程在014 3 =+ xx在（0，1）内有且仅有一个实根。 10. 【提示】令14)( 3 +=xxxF, 分别在区间0 , 3 1 , 0, 3 , 1 内运用零点存在定 理, 而)(xF是三次多项式, 因此最多三个零点. 11设f是0，2a上的连续函数，f(0) = f(2a)，证明：存在, 0a，使得 15 )()(aff+=。 11.