方阵的特征值、特征向量与相似化简.ppt

1、线性代数第五章，第五章正方矩阵的特征值，特征向量和类似化简，本章教学内容1区域多项式的根2正方矩阵的特征值和特征向量3正方矩阵为对角矩阵的条件4正交矩阵5实对称矩阵的类似对角化*6Jordan标准形的概要，在1区域多项式的根本节中，1 .区域的概念2 .多项式的根和标准分解式， 1 .数域多项式的根，1 .数域的概念定义1.1为一组数，f中至少包含两个不同的数，如果f中有任意两个数的和、差、积、商(除数不为零时)，则数域对数的四则运算(除数不为零)闭合。 数字字段f必须包含两个数字： 0和1。 根据定义，一个数域多项式的根，有理数集q是一个数域，称为有理数域的实数集r是称为实数域的数域。多个集

2、合c是称为多个域的数域。 如果f是整数域，则F Q，即有理数域是最小的整数域。 证，一数域多项式的根，例3答是。 证明，1数域多项式的根、2 .多项式的根和标准分解式定义1.2非负整数n及数域f上的数ai、(i=0、1、2、n )，将未定元x的形式称为数域f上的一元多项式的a0称为常数项，系数全部为零的多项式称为零多项式，通常零多项式不定义次数，但为了方便起见，其次数为- . 1数域多项式的根对于正整数n定义1.3，与一元n次多项式(x )相对应的方程式(x)=0也可称为代数方程式的式(x)=0的根称为(x )的根或零点，式(x)=0反复出现的根称为式(或多项式(x ) )的重根，其反复出现重

3、量1的根称为单根。n1).n次(n1)多项式推论为复数域上正好有n个根(k重根为k个)。定理1.2次多项式(x )全部互不相同的根为x1，x2，xt的话，它们的重量分别为n1，n2， 所以，在1数域多项式的根、例3次的哪个是复数域中的标准分解(1)、(2)、(3)、(4)，不过，在1数域多项式的根、例4复数域中，对多项式进行标准分解。 根据解根和系数的关系，(x )的有理根必定是2的约数，即1，- 1，2，-2，1数域多项式的根，在本节中，学习1 .数域的概念，2 .多项式的根和多项式的标准分解式的作业：练习问题5.1(A )第3题，2正方形矩阵的特征值和特征向量， 本节的教学内容1 .正方矩

4、阵的特征值2 .正方矩阵的特征向量3 .正方矩阵的特征值和特征向量的问题，2正方矩阵的特征值和特征向量，1 .正方矩阵的特征值定义2.2对于n次正方矩阵A=(aij )多项式()=E-A为a的特征多项式，()根称为a的特征根或特征值根被称为a的单(重)特征值，2正方矩阵的特征值和特征向量，正方矩阵的特征值具有以下的性质定理2.1 n次正方矩阵a=()的证明()的n次项以及n1次项必定来自平均项，所以()的n次项系数是1，()的n1次项系数是()的常数项，是2正方矩阵的特征值和特征向量定理2.2次方阵a的特征值由证明定理2.1到a的特征多项式推论方阵a可逆a表示，2次方阵的特征量和特征向量，2

5、.方阵的特征向量定义2.3将0表示为n次方阵a的特征量，在n次非零(列)向量满足A=0时，称为与a的0对应的特征向量。 定理2.3设为n次方矩阵，如果数学式0和n维的非零(列)向量满足A=0，则0成为a的特征值，成为与a的0对应的特征向量。证明，#，2正方矩阵的特征值和特征向量，3 .正方矩阵的特征值和特征向量问题，2正方矩阵的特征值和特征向量，例2.2在实数域求矩阵的特征值和特征向量。 解，2正方阵的特征值和特征向量，对于1，2=2，对于解方程组(2E-A)X=0，基础解系数为3=-4，对于解方程组(-4E-A)X=0，基础解系数，2正方阵的解，2正方阵的特征值和特征向量，1=2，解方程组(

6、2E-A)X=0 X=0的基础解系，2正方矩阵的特征值和特征向量，例2.5矩阵a的可逆，0为a的特征值，对应于a的0的特征向量，证明：证，2正方矩阵的特征值和特征向量，本节理解正方矩阵的特征值，特征多项式和特征向量的概念，熟悉特征值的性质，正方形作业：练习题5.2(A )第1(1)(3)、3、8题、3正方矩阵与对角矩阵的条件相似，本节的教学内容1 .类似矩阵及其性质2 .正方矩阵的类似对角化，3正方矩阵与对角矩阵的条件相似，1 .类似矩阵及其性质定义AB运算所记载的P-1AP将a进行相似变换， 3正方矩阵与对角矩阵的条件类似，类似矩阵存在基本性质证、(逆体性)、(对称性)、(传递性)、3正方矩

7、阵类似的可逆矩阵p，根据第3章推论的3.2是R(A)=R(P-1AP)=R(B 性质2为AB，则A=B .证为AB，存在可逆矩阵p，性质3为AB，性质3为AB，则AB存在可逆矩阵p，#，使3正方矩阵类似于对角矩阵的条件，如果性质5为AB，则对于任意的多项式(x )，如果(a )、(b )证为AB，则为可逆3正方阵类似于对角矩阵的条件，性质6是AB，3正方阵类似于对角矩阵的条件，2 .正方矩阵的类似对角化被称为正方矩阵的类似对角化，求类似变换矩阵p，P -1AP=对角矩阵。 可以类似于对角矩阵的方阵称为对角化。 问题：方阵对角化有什么意义？ 方阵a在什么条件下可以对角化？ 方阵的对角化怎么办？

8、首先，在P -1AP=(对角排列)的情况下，An=PnP -1，从而使得更容易获得An。 接下来，我们将讨论以下两个问题。3方阵类似于对角矩阵的条件，而定理3.1 n次矩阵a类似于对角矩阵的充分必要条件是a具有与n个线性无关的特征向量。假定n阶矩阵a类似于对角矩阵，则存在可逆矩阵p，其中，P-1AP=(即，AP=P，3 )存在类似于对角矩阵的条件3正方矩阵与对角矩阵的条件相似，例3.1已知解，3正方矩阵与对角矩阵的条件相似，问题任意求出的特征向量都与线性无关吗？ 任意n阶方阵有n个不依赖线性的特征向量吗？3方阵与对角矩阵的条件类似，若将定理3.2设为a的ni重特征根，则a在与I对应的特征向量中

9、，与线性无关的特征向量最大为ni个。 s是n阶正方阵a的所有不同的特征值，I是a的ns重特征根(ni称为代数重数) (i=，2，s )，n1 n2 ns=n， 对应于a的I的特征向量的极大线性无关组(即联立方程(ie-a )的a为对角化p=n .即(pi称为I的几何重数)，3方矩阵类似于对角矩阵的条件，定理4区域p上的n次方矩阵a为对角矩阵类似a和p上的n个特征值(重根用重数校正) a的p上各特征值的几何重量相等的代数重量。 如果推论1n级正方矩阵a具有相互不同的特征值，则a类似于对角矩阵(其逆不成立) (定理3.4 )如果推论2n级正方矩阵a的特征多项式在复数域c中没有重根，则a类似于c对角

10、矩阵(其逆不成立)，3正方矩阵是类似于对角矩阵的条件的类似矩阵的性质作业：练习题5.3(A )第2、4、6题，4正交矩阵，本节的教学内容1 .实向量的内积和长度2 .正交向量组3 .正交矩阵和正交变换4 .共轭矩阵*5.H-矩阵和酉矩阵，4正交矩阵=T=a1b1 a2b2 anbn，n维行向量如果是kR，则记载在(0)中得到的e，如果(，)=(，)，(k，)=k (，)性质为0，则称为单位化。 作为() - - 注：任意的实向量都与零向量正交.定义4.4如果一组非零向量两个正交，则将一组向量称为正交向量组，简称为正交组.例2问题1=(1，0，1 ) t，2=(1，0，0 证注：定理的逆不成立。

11、、由4正交矩阵、定义4.5单位向量构成的正交向量组称为单位正交向量组，简称为单位正交组(或标准正交组、规范正交组)的4正交矩阵、3 .正交矩阵和正交变换定义4.6次实方阵a的列向量组如果是单位正交向量组， 定理4.2 n次实矩阵a是正交矩阵ATA=E .证，4正交矩阵推论4.1 n次实矩阵a是正交矩阵A-1=AT .性质1 A是正交矩阵的性质2 A是正交矩阵的性质AT(=A-1 )， b是同次正交矩阵的性质4 A是正交矩阵的性质4 A是正交矩阵A=1或A=-1 (逆定义4.7对次实矩阵a进行相似变换Q-1AQ，q是正交矩阵，将变换Q-1AQ称为对a的正交变换) 4 .共轭矩阵定义4.8称为a的

12、共轭矩阵，性质1性质3性质2，性质5，4正交矩阵，本节的学习要求1 .了解实向量的内积和长度，正交向量组，正交矩阵和正交变换和共轭矩阵等概念2 .熟悉向量的内积和长度，正交矩阵和共轭矩阵的性质，掌握其证明方法作业：练习题5.4(A )第5，8，9题，5实对称矩阵的类似对角化，本节的课程内容1 .实对称矩阵的特征值和特征向量的性质2 .基于正交变换的实对称矩阵的类似对角化， 实对称矩阵的相似对角化1 .实对称矩阵的特征值和特征向量的性质定理5.1实对称矩阵的所有特征值是实数与实对称矩阵a的特征值对应的特征向量是实齐次线性方程组的解向量，在实数范围内求解，该解是实向量。 假设5实对称矩阵类似对角化，定理5.2实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交，1，2是实对称矩阵a的不同特征值，I是对应于a的I的特征向量，即A i=i，i=1， 如果是2，对于通过5实对称矩阵的类似对角化、2 .正交变换实现实对称矩阵的类似