数学北师大版八年级下册1.2.2直角三角形.ppt

1、1.2 直角三角形(2),小明在证明“等边对等角”时，通过作等腰三角形底边的高来证明。过程如下： 已知：在ABC中， AB=AC 求证：B=C 证明：过A作ADBC，垂足为C， ADB=ADC=90 又AB=AC，AD=AD， ABDACD B=C（全等三角形的对应角相等） 你同意他的作法吗？,小颖说：推理过程有问题他在证明ABDACD时，用了“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的 如图所示：在 ABD和ABC中，AB=AB，B=B，AC=AD，但ABD与ABC不全等,小刚说：小颖这里

2、说的B是锐角，如果B是直角，即如果其中一边所对的角是直角，这两个三角形就是全等的我认为小明同学的证明无误,已知：在RtABC和RtABC中，C=C=90，AB=AB，BC=BC 求证：RtABCRtABC,证明：在RtABC中，AC2=AB2BC2(勾股定理) 又在Rt A B C中，A C 2=AB2BC2 (勾股定理) AB=AB，BC=BC，AC=AC RtABCRtABC (SSS),定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示,直角三角形全等的判定定理,判断下列命题的真假,并说明理由:,两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;,

3、斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;,两直角边对应相等的两个直角三角形全等;,一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等 的两个直角三角形全等.,想一想,直角三角形全等的判定定理及其三种语言,定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).,如图,在ABC和ABC中, C=C=900 , AC=AC , AB=AB(已知), RtABCRtABC(HL).,引入新知,用三角尺作角平分线,再过点M作OA的垂线,如图:在已知AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使 OM=ON;,过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,那么射线OP就是AOB的平分线.,请你证明OP平分

4、AOB.,P,已知:如图,OM=ON,PMOM,PNON. 求证:AOP=BOP.,先把它转化为一个纯数学问题:,问题讨论,如图,已知ACB=BDA=900 , 要使ABCBDA, 还需要什么条件?把它们分别写出来.,增加AC=BD;,增加BC=AD;,增加ABC=BAD ;,增加CAB=DBA ;,你能分别写出它们的证明过程吗?,若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?,O,你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗?,你能分别写出它们的证明过程吗?,问题讨论,设矩形的对角线AC与BD的交点为O，那么BO是直角ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？,定理：直角三角形斜边上的

5、中线等于斜边的一半,ABC=90，OA=OC AC=2BO 或 OA=OB=OC,引入新知,特殊的直角三角形的性质:,1.在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.,2.在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.,引入新知,两个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗？ 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？ 有任意的两条边对应相等的两个直角三角形全等吗？ 判定两个直角三角形全等，共有多少种方法？,答：不一定全等,答：全等,答：全等,答：共有SAS，ASA，AAS，SSS，HL 5种方法,定理1 直角三角形的两个锐角互余. 定

6、理2 在直角三角形中，两条直角 边的平方和等于斜边的平方. 定理3 在直角三角形中，如果 一个 锐角等于30，那么它所对 的直角边等于斜边的一半. 定理4 直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半 特殊图形,直角三角形的性质,直角三角形全等的判定定理: 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL). 公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）. 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）. 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为: 一

7、边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等;,课堂小结,如图，在ABC和ABC中，CD，CD分别分别是高，并且AC=AC，CD=CDACB=ACB 求证：ABCABC ,证明：CD、CD分别是ABC和ABC的高 ADC=ADC=90 在RtADC和RtADC中， AC=AC，CD=CD， RtADCRtADC (HL) A=A(全等三角形的对应角相等) 在ABC和ABC中， A=A ，AC=AC ，ACB=ACB ， ABCABC (ASA),1.已知:如图,D是ABC的BC边上的中点,DEAC,DFAB,垂足分别为E,F,且DE=DF. 求证: ABC是等腰三角形.,分析:要证明ABC是等腰三角形,就需要证明AB=AC;,进而需要证明BC所在的BDFCDE;,而BDFCDE的条件:,从而需要证明B=C;,BD=CD,DF=DE均为已知.因此, ABC是等腰三角形可证.,课后练习,2.已知:如图,AB=CD,DEAC,BFAC,垂足分别为E,F,DE=BF. 求证:(1)AE=AF;(2)ABCD.,老师期望:请将证明过程规范化书写出来