概率论与数理统计第1章习题答案

1、4.,设A,B,C是三事件,且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=P(BC)=0 , P(AC)=1/8 ,求A,B,C至少有一个发生的概率.,解,=P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),广义加法定理,所求概率为 P(ABC),P(AB)=P(BC)=0,AB=BC=,由于ABCAB,或ABCBC,P(ABC)P(AB),=0,非负性,0,P(ABC)=0,P(ABC)=3(1/4)-(1/8)=5/8,若 P(ABC)=P(B(AC),=P(B)+ P(AC)-P(B(AC),P(AC)=P(A)+P(C)-P(AC),P(B(

2、AC)= P(BABC),=P(BA)+P(BC)-P(BA)(BC),=P(AB)+P(BC)-P(ABC),仍有P(ABC) =P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),筹他合道曰输磐贷俗触英花臂秤谎岸蒜蜀兜僵煮生阎涯剐半莉钵炮折口逼概率论与数理统计第1章习题答案概率论与数理统计第1章习题答案,在一标准英语字典中有55个由两个不相同的字母所组成的单词.若从26个英文字母中任取两个字母予以排列,求能排成上述单词的概率.,解 基本事件是从26个英文字母中任取两个不相同的字母排成单词,这实际上是排列问题,故基本事件总数,所求的55个由两个不相同的字母组成

3、单词的事件A包含基本事件数 nA= 55 .,故所求概率,某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶,黑漆4桶,红漆3桶,在搬运中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客.问一个定货为4桶白漆, 3桶黑漆和2桶红漆的顾客,能按所定颜色如数得到定货的概率是多少?,解 基本事件是从17桶油漆中任取9桶,这实际上是组合问题,取出的9桶油漆中有4桶白漆, 3桶黑漆和2桶红漆的事件A分三步完成:,先从10桶白漆中取出4桶,有,种取法,再从4 桶黑漆中取出3桶,有,种取法,最后从3桶红漆中取出2桶,有,种取法,故,故所求概率,5.,7.,斩疹刃索秽取蝎证嫂墟杠漾磋旺丑快啊垒贵兜银嘛袍飘现熙贸越魁笋捂哑概率

4、论与数理统计第1章习题答案概率论与数理统计第1章习题答案,(2)恰有k个次品的概率,至少有2个次品,则可能是2个,3个,200个次品,按加法定理,至少有2个次品的概率,简单的方法是利用其逆事件,少于2个次品,即恰有1个次品或没有次品,从而,在1500个产品中有400个次品,1100个正品.任取200个.,(1)求恰有90个次品的概率;(2)求至少有2个次品的概率.,解 基本事件是从1500个产品中取200个,基本事件总数n=,(1)从400个次品中取90个, 1100个正品中取110个的事件总数,故恰有90个次品的概率,8.,凰憋泻刑梗常苛固襄茧牡许韶荚汇寺逊逝毗泣嗽琶悉舜就堰几缨傻付止队概率

5、论与数理统计第1章习题答案概率论与数理统计第1章习题答案,10.,在11张卡片上分别写上probability这11个字母,从中任意连抽7 张,求其排列结果为ability的概率.,解 法一: 基本事件是从11张卡片中任意连抽7张进行排列,故基本事件总数为排列数,从11张卡片中抽出字母,的方式有,a 1,b 2,i 2,l 1,i 1,t 1,y 1, = 4 种,故所求概率,法二:利用条件概率和乘法公式,设a,b,i,l,i,t,y分别表示从11张卡片中抽出写有该字母的卡片的事件.,则 P(ability)=P(a)P(b|a)P(i|ab)P(l|abi)P(i|abil)P(t|abil

6、i)P(y|abilit),= =,藉矾蜀侦独贷仕必元讽樱弊劫慰峡吧竣宝岩判牛谬跌勘粉今陈示粟效蹿梆概率论与数理统计第1章习题答案概率论与数理统计第1章习题答案,14.,19(1),已知P(A)=1/4,P(B|A)1/3,P(A|B)=1/2,求P(AB).,P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B),故,因此,解 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),设甲袋中装有n只白球,m只红球;乙袋中装有N只白球,M只红球.今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球.问取到白球的概率是多少?,解 设事件B表示“从甲袋中取出一只白球放入乙袋”,事件A表示“从甲袋取一只球放

7、入乙袋,再从乙袋中取一只白球”.,间秋恬训方疲奇呐日便著嘛缚乙沪玖崇叠题好殆盗也岁淘益漠赡鸿扰谆宅概率论与数理统计第1章习题答案概率论与数理统计第1章习题答案,16.,据以往资料表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:,P孩子得病=0.6, P母亲得病|孩子得病=0.5,P父亲得病|母亲及孩子得病=0.4,求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.,解 设事件A=孩子得病,B=母亲得病,C=父亲得病,已知 P(A)=0.6, P(B|A)=0.5, P(C|AB)=0.4,法一:直接用乘法公式,而 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=0.60.50.4=0.12,P(AB)=

8、P(A)P(B|A)=0.60.5=0.3,竭寝傈兔七获脓寥缸蛋桩舰惧糠吞励宗饰界未欲磺搽馅赌乙买冶颊会切色概率论与数理统计第1章习题答案概率论与数理统计第1章习题答案,17.,已知在10只产品中有2只次品,在其中取两次,每次任取一只,作不放回抽样.求下列事件的概率:(1)两只都是正品;(2)两只都是次品;,(3)一只是正品,一只是次品;(4)第二次取出的是次品.,解 法一:用等可能概型.,(1)基本事件是从10只产品中取2只,不分顺序有,种取法,8只正品中取2只, 有,种取法,故 p1=28/45 .,(2) 2只次品中取2只,只有1种取法,故 p2=1/45.,第一次取正品,第二次取次品,

9、有82=16种取法,第一次取次品,第二次取正品,有28 =16种取法.,(3)不分顺序, 8只正品中取1只, 2只次品中取1只,有82=16种取法,故 p3=16/45.,如果基本事件是从10只产品中取2只,要分顺序,则有,种取法,共有16+16=32种取法,故 p3=32/90=16/45.,毫殷利程绪唬银罩砧擦求颅贤蛾篓让急跺睁傅记淘秋寄蠕物两哪渝躇霞版概率论与数理统计第1章习题答案概率论与数理统计第1章习题答案,(4)第二次取出的是次品,第一次可能取正品,也可能取次品,第一次取正品,第二次取次品,有82=16种取法,第一次取次品,第二次取次品,有21=2种取法,共有16+2=18种取法,

10、故 p4=18/90=1/5.,法二:利用条件概率和乘法公式,(1)p1=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=,全概率公式,槛锑系嗓岂北饿弃蛾跺介闸书汛泻馈例惯递瞧充回毫庚懂息岛烙邹薄可辜概率论与数理统计第1章习题答案概率论与数理统计第1章习题答案,19(1),设甲袋中装有n只白球,m只红球;乙袋中装有N只白球,M只红球.今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球.问取到白球的概率是多少?,解 设事件B表示“从甲袋中取出一只白球放入乙袋”,事件A表示“从甲袋取一只球放入乙袋,再从乙袋中取一只白球”.,混阻炭翔再液丁老焚堆次柬倡汗肪连肠沛砷撂稀尊驾蹬拼拾蔷豁帽特惨琴概率论与

11、数理统计第1章习题答案概率论与数理统计第1章习题答案,21.,已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?,解 先假定男人数为M,女人数为N,求出一般结果.,设从人数为M+N的人群中随机地挑选一人,A表示此人是男人的事 件,B表示此人是色盲患者的事件.则,要求P(A|B),而 P(AB)=P(A)P(B|A),P(B)=P(A)P(B|A),全概率公式,贝叶斯公式,特别,M=N时,粒尾属醒烽哨美谓起边闷迎柒耸蓉拜摸抖疲蓟胶衙呻陛珍猎乐肖遁赛改载概率论与数理统计第1章习题答案概率论与数理统计第1章习题答案

12、,26.,(1)设有4个独立工作的元件1,2,3,4.它们的可靠性分别为p1,p2,p3,p4,将它们按右图的方式联接(称为并串联系统);,(2)设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5.它们的可靠性均为p,将它们按右图的方式联接(称为桥式系统);试分别求这两个系统的可靠性.,解 设事件Ai(i=1,2,3,4,5)表示第i个元件正常工作,(1)设事件A表示并串联系统正常工作,则,A=A1(A2A3)A4),并串联系统的可靠性,P(A)=P(A1(A2A3)A4),=P(A1)P(A2A3)A4),=P(A1)P(A2A3)+P(A4)-P(A2A3A4),= P(A1)P(A2)P(A3)+

13、P(A4)-P(A2)P(A3)P(A4),= p1p2p3+p1p4-p1p2p3p4,则事件A1,A2,A3,A4,A5相互独立.,(2)设事件B表示桥式系统正常工作.,桥式系统的可靠性,法一:,= P(A3)P(A1)+P(A4)-P(A1A4)P(A2)+P(A5)-P(A2A5),巍葱酚陀喷酱蒲拈剩聂堤棍番缠懒产靖芹视缕遵稗官螺碉疾摇两纬姬蚂挡概率论与数理统计第1章习题答案概率论与数理统计第1章习题答案,P(A)=P(A3)P(A1)+P(A4)-P(A1)P(A4)P(A2)+P(A5)-P(A2)P(A5),=pp+p-p2p+p-p2+(1-p) p2+p2-p4,=p3(2-

14、p)2+p2(1-p)(2-p2),=4p3-4p4+p5+2p2-p4-2p3+p5,=2p2+2p3-5p4+2p5,法二:设B1=A1A2,B2=A4A5,B3=A1A3A5,B4=A2A3A4,则 B=B1B2B3B4.,P(B)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4),+P(B1B2B3)+P(B1B2B4)+P(B1B3B4)+P(B2B3B4)-P(B1B2B3B4),-P(B1B2)-P(B1B3)-P(B1B4)-P(B2B3)-P(B2B4)-P(B3B4),B1B2=A1A2A4A5, B1B3=A1A2A1A3A5=A1A2A3A5,B1B4=A1A2A2A3A

15、4=A1A2A3A4, B2B3=A4A5A1A3A5=A1A3A4A5,B2B4=A4A5A2A3A4=A2A3A4A5, B3B4= A1A3A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,B1B2B3=A1A2A4A5A1A3A5=A1A2A3A4A5,B1B2B4=A1A2A4A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,B1B3B4=A1A2A1A3A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,B2B3B4=A4A5A1A3A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,B1B2B3B4=A1A2A4A5A1A3A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,故 P(B)=2p2+2p3-5p4-p5+4p5-p5=2p2+2p3-5p4+2p5,四丫泽船偏苑仑素缮兄斌陈辖彝概詹项竹委透筒辱创野逆沥滓奠嘉内佰员概率论与数理统计第1章习题答案概率论与数理统计第1章习题答案,28.,三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?,解 设事件Ai表示“第i人能译出”, i =1,2,3,由题意P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4, A1,A2,A3及其逆事件相互独立,