二次函数与简单的幂函数课件.ppt

1、第4课时二次函数与简单的幂函数,1幂函数的定义 形如 (R)的函数称为幂函数，其中 为自变量， 为常数 【思考探究】1.幂函数与指数函数有何不同？ 提示：本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置,yx,x,2五种幂函数的性质,0，),0，),0，),奇,偶,奇,非奇非偶,奇,x0，)时，增 x(，0时，减,x(0，)时，减 x(，0)时，减,(1,1),增,增,增,R,R,R,R,R,x|xR且x0,y|yR且y0,3.二次函数的解析式 (1)一般式：f(x)； (2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为：f(x) ； (3)双根式

2、：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x),ax2bxc(a0),a(xh)2k(a0),a(xx1)(xx2)(a0),4二次函数的图象和性质,b0,b0,答案：B,答案：B,答案：C,4拋物线y8x2(m1)xm7的顶点在x轴上，则m_.,5若函数f(x)x2(a2)xb(xa，b)的图象关于直线x1对称，则f(x)max_.,答案：9或25,答案：30,幂函数yx的性质和图象，由于的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查： (1)的正负：0时图象经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；0时图象不过(0,0)点，经过(1,1)点，在第一象限的部分“下降”

3、； (2)曲线在第一象限的凹凸性：1时曲线下凹，01时曲线上凸，0时曲线下凹； (3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性 【特别警示】无论取何值，幂函数的图象必经过第一象限，且一定不经过第四象限,已知幂函数f(x)xm22m3(mN)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求m的值 解析：函数在(0，)上递减， m22m30，解得1m3. mN，m1,2. 又函数的图象关于y轴对称，m22m3是偶数， 而222233为奇数，122134为偶数， m1.,答案：B,求二次函数解析式的方法：待定系数法根据所给条件的特征，可选择一般式、顶

4、点式或两点式中的一种来求 利用已知条件求二次函数解析式常用的方法是待定系数法，但可根据具体的条件选用适当形式的解析式 (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式； (2)已知拋物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式； (3)若已知拋物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用两点式求f(x)更方便,【变式训练】2.已知函数f(x)x2mxn的图象过点(1,3)，且f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称 求f(x)与g(x)的解析式,设函数yf(x)图象上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则x0 x，y0y.

5、点Q(x0，y0)在yf(x)的图象上， yx22x，yx22x，g(x)x22x.,二次函数求最值问题，首先采用配方法化为ya(xm)2n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程xm，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型： (1)顶点固定，区间也固定； (2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数 讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值,函数f(x)x22x2在闭区间t，t1(tR)上的最小值记为g(t)试写出g(t)的函数表达式 解析：f(x)x22x2(x

6、1)21， 当t11，即t0时，函数在t，t1上为减函数， g(t)f(t1)t21； 当0t1时，g(t)f(1)1； 当t1时，函数在t，t1上为增函数， g(t)f(t)t22t2.,【变式训练】3.已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，求a的值 解析：函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1对称轴方程为xa. (1)当a0时，f(x)maxf(0)1a， 1a2，a1. (2)当0a1时，f(x)maxa2a1， a2a12，a2a10， (3)当a1时，f(x)maxf(1)a， a2. 综上可知，a1或a2.,1解决与二次函数有关的问题关键是通过配方得出顶点坐标

7、，由此可知函数的图象、对称轴、单调区间、最值和判别式等 2关于二次函数f(x)a(xh)2k(a0)在闭区间m，n上的最值问题，有如下结论： (1)若hm，n，则yminf(h)，ymaxmaxf(m)，f(n) (2)若hm，n，则yminminf(m)，f(n)， ymaxmaxf(m)，f(n),3幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 4幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否

8、是幂函数的重要依据和唯一标准应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如yx1，yx22x等都不是幂函数,(本小题满分12分)(2009江苏卷)a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|. (1)若f(0)1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值 【规范解答】(1)因为f(0)a|a|1. 所以a0，即a0. 由a21知a1， 因此，a的取值范围为(，1.4分,【阅后报告】本题有一定难度，解答本题的关键是去掉绝对值，转化为关于x的一元二次函数，其难点是分类讨论；分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，是常见的数学思想方法之一当所研究的问题含有参数时，往往要对参数进行讨论分类时要全面，本着