北京市西城区高三年级抽样测试文科数学

1、北京市西城区 2010 年高三年级抽样测试 数学试题（文） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间 120 分钟。 第卷 （选择题， 共 40 分） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1已知全集U 1,2,3,4,5,6，集合A 1,3,5，B 4,5,6，则结合C U(A B) = A2,4,6B2C5D1,3,4,5,6 （） （） 2一直平面向量a=（1，2） ，b （m，4） ，且ab 2，则 ab= A4B-6C-10 3右图是一个几何体的三视图，则该几何体 的体积为（） A6

2、B8 C16 D24 4 “0 a b”是“( ) ( )”的（） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不是充分条件也不是必要条件 D10 1 4 a 1 4 b 5某工厂对一批电子元件进行了抽样检测， 右图是根据抽样检测后元件使用寿命（单 位：小时）的数据绘制的频率分布直方图， 其中元件使用寿命的范围是100,600， 样本数据分组为100,200)，200,300)， 300,400)，400,500)，500,600)， 若样本元件的总数为1000 个，则样本中使 用寿命大于或等于200 小时并且小于 400 小时的元件的个数是（） A450 个B400 个C250 个D

3、150 个 6若等差数列an的公差d0，且a 1， a 3 ，a7成等比数列，则 a 2 a 1 1 2 （） A2B 2 3 C 3 2 D 7关于直线l，m及平面，下列命题中正确的是 A若 l，=m，则 lm （） B若l，m，则lm C若 l，l，则 D若 l，ml，则 m 8若椭圆或双曲线上存在点P，使得点 P 到两个焦点的距离之比为2：1，则此椭圆离心率的取值范围是 （） A , 1 1 4 3 B , 1 1 3 2 C( ,1) 1 3 D ,1) 1 3 第卷 （非选择题，共110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9设i是虚数单位，则 i

4、。 31i 10以点（-1，2）为圆心且与直线x y 3 0相切的圆的方程是。 2 x,x 1, 11已知f (x) 则f (log 2 3)的值是 。 2 x,x 1, 12在ABC 中，a，b，c分别是三个内角 A，B，C 的对边，若a 1，b 2， cosB 1 ，则sin A 。 3 13执行右图所示的程序，输出的结果为。 14无穷等差数列an的各项均为整数，首项为a1、 公差为d，3、21、15 是其中的三项，给出下列命题； * 存在满足条件的数列an，使得对任意的 n N ，S 2a 4S n 成立。 对任意满足条件的d，存在a1，使得 99 一定是数列an中的一项； 对任意满足条

5、件的d，存在a1，使得 30 一定是数列an中的一项； 其中正确命题为。 （写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15 （本小题满分 13 分） 已知函数f (x) 2cosxsin( 2 x). （1）求f (x)的最小正周期； （2）求f (x)在区间 2 6 , 3 上的最大值和最小值。 16 （本小题满分 13 分） 如图， 在四棱锥 P-ABCD中， 底面 ABCD 是正方形， PD底面 ABCD， M、 N 分别为 PA、 BC 的中点， 且 PD=AD= 2， CD=1 （1）求证：MN平面 PCD

6、； （2）求证：平面 PAC平面 PBD； （3）求三棱锥 P-ABC的体积。 17 （本小题满分 13 分） 已知集合A x | 3 x 1，B x | x 2 0 x 3 （1）求 AB，AB； （2）在区间（-4，4）上任取一个实数x，求“xAB”的概率； （3）设（a，b）为有序实数对，其中a是从集合 A 中任意的一个整数，b是从集合 B 中任取一个整数，求 “b aAB”的概率。 18 （本小题满分 13 分） 设a 0且a0，函数f (x) 1 2x (a 1)x aln x. 2 （1）当a 2时，求曲线y f (x)在（3，f (3)）处切线的斜率； （2）求函数f (x)的极

7、值点。 19 （本小题满分 14 分） 已知抛物线C : y 2px，点P（-1，0）是其准线与x轴的焦点，过P 的直线l与抛物线 C 交于 A、B 两点。 2 （1）当线段 AB 的中点在直线x 7上时，求直线l的方程； （2）设 F 为抛物线 C 的焦点，当 A 为线段 PB 中点时，求FAB的面积。 20 （本小题满分 14 分） 已知a11，an1 a n 4 (n N*) a n 1 （1）求a2，a3，a4的值； （2）判断x n 与 2 的大小关系，并证明你的结论； n1 （3）求证：| a1 2| | a2 2| . | an 2|2( ). 1 2 参考答案 一、选择题：本大

8、题共 8 小题，每小题 4 分，共 40 分。 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 A 5 B 6 C 7 C 8 D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 11 i 22 2 12 3 910(x 1) (y 2) 2 134814 22 113 三、解答题： （本大题共 6 小题，共 80 分。若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分标准给分。 ） 15 （本小题满分 13 分） 解： （1）f (x) 2cosxsin( 2 x) 2cosxcosx 2 分 5 分 7 分 9 分 11 分 2cos2x cos2x 1 所以f (x)的最小正周期为 （2

9、）因为x 4 ，随哦压2x, 6333 1 所以1cos2x 2 3 所以 0cos2x 1， 2 3 即f (x)的最大值为，最小值为 0 2 2 , 13 分 16 （本小题满分 13 分） 解： （1）证明：取 AD 中点 E，连接 ME，NE， 由已知 M，N 分别是 PA，BC 的中点， MEPD，NECD 又 ME，NE平面 MNE，MENE=E， 所以，平面 MNE平面 PCD，2 分 所以，MN平面 PCD4 分 （2）证明：ABCD 为正方形， 所以 ACBD， 又 PD平面 ABCD，所以 PDAC， 所以 AC平面 PBD， 所以平面 PAC平面 PBD （3）解：PD平

10、面 ABCD，所以 PD 为三棱锥 P-ABC 的高 三角形 ABC 为等腰直角三角形， 所以三棱锥P ABC的体积V 6 分 8 分 10 分 11 S ABC PD 36 13 分 17（本小题满分 13 分） 3 分解： （1）由已知 B=x | 2 x 3 AB=x | 2 x 14 分 5 分A B x | 3 x 3 （2）设事件“x A B”的概率为P1 3 8 （3）因为a，bZ，且a A，bB， 这是一个集合概型，则P 1 8 分 所以，基本事件共 12 个： （-2，-1） ， （-2，0） ， （-2，1） ， （-2，2） ， （-1，-1） ， （-1，0）， （-1

11、，1） ， （-1，2） ， （0，-1） ， （0，0） ， （0，1） ， （0，2）10 分 设时间 E 为“ba AB” ，则事件 E 中包含 9 个基本事件12 分 事件 E 的概率P(E) 93 124 13 分 18 （本小题满分 13 分） 解： （1）由已知x 0 当a 2时，f (x) x 3 2 分 4 分 6 分 2 x 曲线y f (x)在(3, f (3)处切线的斜率为-1，所以f (3) 2 3 ax2(a 1)x a(x 1)(x a) （2）f (x) x (a 1) xxx 由f (x) 0得x 1或x a， 当0 a 1时， 当x(0,a)时，f (x)

12、0，函数f (x)单调递增； 当x(a,1)时，f (x) 0，函数f (x)单调递减； 当x(1,)时，f (x) 0，函数f (x)单调递增。 此时x a是f (x)的极大值点，x 1是f (x)的极小值点 当a 1时， 当x(0,1)时，f (x) 0，函数f (x)单调递增； 当x(a,1)时，f (x) 0，函数f (x)单调递减； 当x(a,)时，f (x) 0，函数f (x)单调递增 此时x 1是f (x)的极大值点， 8 分 9 分 10 分 x a是f (x)的极小值点 13 分 综上，当0 a 1时，x a是f (x)的极大值点，x 1是f (x)的极小值点； 当a 1时，

13、f (x)没有极值点； 当a 1时，x 1是f (x)的极大值点，x a是f (x)的极小值点 19 （本小题满分 14 分） 解： （1）因为抛物线的准线为x 1，所以p 2， 抛物线方程为y 4x 2 2 分 设A(x1, y1),B(x2, y2)，直线l的方程为y k(x 1)， （依题意k存在，且k0） 与抛物线方程联立，消去y得 k2x2 (2k2 4)x k2 0（*） 4 2k2 x 1 x 2 ，x1x21 2k 2 k2 所以 AB 中点的横坐标为， k 2 k2 7 即 2k 所以k 2 4 分 1 4 6 分 （此时（*）式判别式大于零） 所以直线l的方程为y 1 (x

14、 1) 2 7 分 （2）因为 A 为线段 PB 中点，所以 x 2 1y x 1 ,2 y 1 22 8 分 由 A、B 为抛物线上点，得( y 22 x 1 2) 42 ，y 2 4x 2 22 10 分 解得x2 2，y 2 2 2 当y 2 2 2时，y 1 11 分 12 分 14 分 2；当y 2 2 2时，y 1 2 所以FAB的面积S FAB S PFB S PFA 1 | PF | y 2 y |2 2 20 （本小题满分 14 分） 解： （1）解：由已知得a2 51341 ，a3，a4 2720 3 分 5 分（2）解：当n为奇数时，an 2；当 n 为偶数时，an 2 因为a 1 4 1 n 2 a n a1 2 a n 2 a ， n1n1 1 注意到an 0，所以an 2与an1 2异号 由于a11 2，所以a2 2，以此类推， 当n 2k 1(k N *)时，a n 2； 当n 2k(k N *)时，x n 2 3）由于an 0，a 4 n1 a a n x 1 1 3 a ， n