自由度系统在一般激励下的受迫振动.ppt

1、第6讲 单自由度系统在一般激励下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,6.1 周期激励作用下的受迫振动 6.2 任意激励作用下的受迫振动 6.3 响应谱,周期振动,展成傅氏级数,n=1,2,3,n=1,2,3,6.1 周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,一个周期振动可视为频率顺次为基频 及整倍数的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。,在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析,周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。,周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。,周期振动的谐波分析,6.1 周期激励

2、作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该周期函数的特性。这种分析振动的方法称为频谱分析。 由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由时间域转入频率域。 这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。,周期振动的谐波分析,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以用有限项近似表示周期振动。 例 已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。,解矩形波一个周期内函数F (t)可表示为,表

3、示F(t)的波形关于t轴对称，故其平均值为零。,周期振动的谐波分析,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,n=1，2，3,于是，得F(t)的傅氏级数,F(t)是奇函数，在它的傅氏级数中也只含正弦函数项。在实际的振动计算中，根据精度要求，级数均取有限项。F(t)的幅值频谱如图所示。,周期振动的谐波分析,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,非周期函数的连续频谱,函数f ( t )的傅氏积分公式,f ( t )的傅氏变换,又称非周期函数f ( t )的频谱函数。频谱函

4、数的值一般是复数。,连续频谱,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 试求图示单个矩形脉冲的频谱图形。,可求得频谱函数,f (t)的傅氏积分为,解: f ( t )可表示为,非周期函数的连续频谱,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,其振幅频谱,频谱图,傅氏积分和变换，是研究瞬态振动与随机振动的重要工具。实际应用时，可使用计算机运算或应用各种快速傅氏分析仪器(FFT)。,非周期函数的连续频谱,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Stru

5、ctural Vibration,6.1周期激励作用下的受迫振动,先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由线性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周期激励的响应。,设粘性阻尼系统受到周期激振力,谐波分析方法，得到,系统的运动微分方程为,Mechanical and Structural Vibration,由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 弹簧质量系统，受到周期性矩形波的激励。试求系统的稳态响应

6、。(其中 ),解：周期性矩形波的基频为,矩形波一个周期内函数,将矩形波分解为,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,可得稳态响应,将矩形波分解为,从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于 频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大 因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。,画出系统的响应频谱图,6.1周期激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,6.2任意激励作用下的受迫振动,物块受到冲量的作用时，物块的位移可忽略不计。但物块的 速度却变化明显。根据力

7、学中的碰撞理论，可得物块受冲量 作用获得的速度,对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。,1. 用冲量描述瞬态作用,Mechanical and Structural Vibration,如果取 为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应,初位移,初速度,得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应,如果 作用在 的时刻，未加冲量前，系统静止，则物块的响应为,6.2任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,同理，如果在t = 0时，冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，得其响应,如果 作用在 的时刻，则物块的响应为,6.2任意激励作

8、用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,用 (t)函数表示作用在极短时间内冲击力,6.2 任意激励作用下的受迫振动,表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。 但它对时间积分是有限数1。,函数的定义是,从积分式可见，如果时间以秒计， (t)函数的单位是1/s。,用单位脉冲(unit impulse)函数 (t)表示冲击力,Mechanical and Structural Vibration,如果在t = 0的瞬时施加冲量，则相应的冲击力,当 ，即施加单位冲量时，冲击力为,F是冲击力, (t)函数又称单位脉冲函数，就是由此而得名。,单位

9、脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为,6.2任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为,单位脉冲力作用等价于冲量 作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，,根据初始条件可确定A和。最后得其响应,6.2任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,为了应用方便，单位脉冲函数的响应用h(t)表示。得单 自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应,有粘性阻尼系统对单位脉冲函数的响应,称为单自由度系统的时域响应函数,6.2任意激励作用下的受迫振

10、动,Mechanical and Structural Vibration,h(t)有以下特性,不难发现h(t)的表达式包含系统的所有的动特性参数，它实质上是系统动特性在时域的一种表现形式。h(t)是单位脉冲冲量的响应，其量纲为位移/冲量。,2.3.2系统对单位脉冲力的响应,6.2任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,6.2任意激励作用下的受迫振动,作用有一任意激振力F(t),欠阻尼情形物块的运动微分方程,将激振力看作是一系列元冲量的叠加,元冲量为,得到系统的响应,Mechanical and Structural Vibration

11、,由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应等于系统在 时间区间内各个元冲量的总和，即,得到系统的响应,6.2任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,上式的积分形式称为卷积。因此，线性系统对任意激振力的响应等于激励与单位脉冲响应函数的卷积。这个结论称为博雷尔(Borel)定理，也称杜哈梅(Duhamel)积分。,对无阻尼的振动系统，得到任意激振力的响应,用单位脉冲函数响应表示，得到单自由度系统对任意激振力响应的统一表达式,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,系统有初

12、始位移和初始速度，则系统对任意激振力的响应为,对于无阻尼振动系统的响应为,t t1 即激振力停止作用后，物块的运动称为剩余运动。,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 无阻尼弹簧质量系统受到突加常力F0的作用，试求其响应。,积分后得响应为,代入,在突加的常力作用下，物块的运动仍是简谐运动，只是其振动中心沿力F0的方向移动一距离,解：取开始加力的瞬时为t = 0，受阶跃函数载荷的图形如图所示。设物块处于平衡位置，且 。,也是弹簧产生的静变形。,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structura

13、l Vibration,若阶跃力从t = a 开始作用，则系统的响应为,t a,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,解：在 阶段，系统的响应显然与上例的相同，即,例2-10 无阻尼弹簧质量系统，受到矩形脉冲,作用，试求其响应。,当t t1时，F ( t ) = 0，得,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,系统的响应为,t t1,实际上，在t t1阶段，物块是以t = t1的位移x1和速度 为初始条件作自由振动。因此，其响应也可用下面的方法求得。,将初始条件

14、,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,6.2 任意激励作用下的受迫振动,作为研究线性振动系统的工具，拉普拉斯变换方法有广 泛的用途。它是求解线性微分方程，特别是常系数的线性微 分方程的有效工具。用拉氏变换可简单地写出激励与响应间 的代数关系。,现在说明如何用拉氏变换方法求解单自由度具有粘性欠 阻尼系统对任意激励的响应。由物块的运动微分方程,其中f (t)表示任意激振力。并设t = 0时，,对式两端各项作拉氏变换,Mechanical and Structural Vibration,如不计运动的初始条件，即令 ，则写成,在拉

15、氏域中，系统的响应是系统的传递函数和激励的乘积。,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,对式两端各项作拉氏变换,经整理得,是系统的响应在拉氏域中的表达式,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 具有粘性欠阻尼的系统，受到阶跃力F (t) = F0的作用，且 t = 0时， ，试用拉氏变换方法求系统的响应。,解： 系统的传递函数由式求出,阶跃力的拉氏变换为,响应的拉氏变换为,引入记号,上式写成,例 题,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical a

16、nd Structural Vibration,其中系数可由部分分式方法确定,最后得到,对上式作拉氏逆变换，即得响应,例 题,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 题,系统基础有阶跃加速度 ，初始条件为 ，求质 量m的相对位移。,解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为,系统的激振力为,可得响应为,其中,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 题,解：由上题可得系统的微分方程为,基础有阶跃位移,系统的激振力为,可得响应为,上题中，若基础有阶跃位移，求零初始条

17、件下的绝对位移。,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 题,求系统响应。,解：由图得激振力方程为,当 0 t t1时，,当 t t1时，,零初始条件的无阻尼系统受图的半正弦脉冲作用，若,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,例 题,无阻尼系统的支承运动加速度如图，求零初始条件下系统的相对位移。,解：系统运动的微分方程为,支承运动加速度方程为,当 0 t t1时，,当 t t1时，,6.2 任意激励作用下的受迫振动,Mechanical and Struct

18、ural Vibration,响应谱是系统在给定激励下的最大响应值与系统或激励 的某一参数之间的关系曲线图。最大响应值可以是系统 的最大位移、最大加速度、最大应力或出现最大值的时 刻等；参数可以选择为系统的固有频率或激励的作用时 间等。响应谱中有关的量都化为无量纲的参数表示。 响应谱在工程实际中是很重要的，它揭示出最大值出现 的条件或时间等。如受迫振动的幅频特性曲线。当振动 系统已定，激振力的大小已定时，该曲线表示出受迫振 动的振幅和激振力频率的关系。振幅就是振动位移的最 大值，由曲线便能确定最大振幅出现时的激振力频率的 值。因此，幅频特性曲线就是一种响应谱。,6.3 响应谱,Mechanical and Structural Vibration,现以前例中，在矩形脉冲 作用下的系统为例，说明响应谱的概念。,当 时,其中 ，表示静力F0使弹簧产生的变形。,当 时,在此阶段，物体作自由振动，振幅为,6.3响应谱,Mechanical