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1、四 渐开线与摆线,参数方程中曲线欣赏 -渐开线与摆线,教学目标: 1.了解圆的渐开线的参数方程 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程 3.学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤,1、渐开线的定义,探究:,把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的 外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切 而逐渐展开,那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样?能否求出它的轨迹方程?,动点(笔尖)满足什么几何条件?,我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,,相应的定圆叫做渐开线的基圆。,2、渐开线的参数方程,以基圆圆心O为原点,直线OA为x轴,建立平面 直角坐标系。,设基圆的半径为r,绳子外端M的坐标为
2、(x,y)。 显然,点M由角 唯一确定。,这就是圆的渐开线的参数方程。,3、渐开线的参数方程,渐开线的应用:,由于渐开线齿行的齿轮磨损少,传动平稳,制造安装较为方便, 因此大多数齿轮采用这种齿形。,设计加工这种齿轮,需要借助圆的渐开线方程。,在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力。,4、摆线的定义,同样地,我们先分析圆在滚动过程中,圆周上的这个动点满足的几何条件。,我们把点M的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫旋轮线。,上述问题抽象成数学问题就是:当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周 上一个定点的轨迹是什么?,摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。,5、摆线的参数方程,根据点M满足的几何条件,我们取定直线为X轴,定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点,建立直角坐标系。,设圆的半径为r。,所以,摆线的参数方程为:,6、摆线的参数方程,
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