216根的判别式

1、一元二次方程的解法根的判别式,一知识回顾,观察这些方程，它们有什么相同点和不同点？对你有什么启示？,我们知道,任何一个一元二次方程,a0,4a20,a0 4a20,当 时，,当 时，,当 时，,方程有两个不相等的实数根：,方程有两个相等的实数根：,方程没有实数根。,a0 4a20,反过来，对于一元二次方程：,如果方程有两个不相等的实数根，那么 ；,如果方程有两个相等的实数根，那么 ；,如果方程没有实数根，那么 。,互逆定理,我们把 叫做一元二次方程 的根的判别式， 用符号“ ”表示，即,记住了，别搞错!,一元二次方程的根的判别式,即一元二次方程：,当 时，方程有两个不相等的实数根；,当 时，方

2、程有两个相等的实数根；,当 时，方程没有实数根。,当方程有两个相等的实数根， ；,当方程没有实数根， 。,记住了，别忘了!,口答：,（1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的判别式为,（ ）,抢答：,2、选择题（请用最快的速度，把“有两个实数根”的方程和“没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内） （1） （2） （3） （4） （5） （6）,有两个实数根的方程的序号是（ ） 没有实数根的方程的序号是（ ）,任何一个一元二次方程或者有两个实数根或者没有实数根,a、c异号，一元二次方程有两个不相等的实数根,一起回答：,（2）方程 _实数根。,3、填空题：（请填“有两个不相等的”、“有两

3、个相等的” 或“没有”） （1）方程 _实数根。,（3）不论m为何值，方程 _实数根。,4、不解方程，判别下列方程的根的情况,（1）,（2）,（3）,（4）,一起动手：,方程首先要整理成一般式！,例1：不解方程，判别下列方程的 根的情况：,不解方程,判别下列方程的根的情况 2x2+x4 =0 5（t21）= 6t 4y2+9 =12y,解：（1）这里,a=2, b=1, c=-4. =b2-4ac=12-42（-4）=1+32=330 原方程有两个不相等的实数根。 （2）原方程化为一般形式，得 4y2 -12y +9 =0 这里，a=4, b=-12, c=9. =b2-4ac=(-12)2-

4、449 =144-144=0 原方程有两个相等的实数根。,（3）原方程即： 5t2-6t+5=0 这里，a=5,b=-6,c=5. =b2-4ac =(-6)2-455 =36-100 =-640 原方程没有实数根。,理解与应用,例2：不解方程，判别下列方程的根的情况：,练习：不解方程，判别下列方程根的情况 （1）a2x2-ax-10（a0）；,（2）（2m21）x22mx1=0,例：当k取什么值时，已知关于x的方程： （1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等 的实根；（3）方程无实根；,拓展提高,例：试说明：不论x取何值， 关于x的方程,总有两个不相等的实根.,议一议： 已知关于x

5、的方程 x2-mx-1=0,你能判断这个方程根的情况吗？是否与m的取值有关？,能力提升,解：这里a=1,b=-m,c=-1. =(-m)2-41(-1)=m2+4 无论m为何值，总有m20， m2+40，即：0 方程总有两个不相等的实数根。,练习：设关于x的方程,证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根,所以,不论m为何值,这个方程总有两 个不相等的实数根,拓展提高,例：已知关于x的一元二次方程,有两个不相等的实数根， 求k的取值范围.,有 新 发 现 吗 ？,若将（1）两不相等的实数根改为有实数根，答案有变化吗？ （2）若将一元二次去掉，两不等根改为有实数根，答案又如何？,一元二次

6、方程mx2-2x+1=0 有两个实数根,求m的取值范围。,有 新 发 现 吗 ？,能力提升,解：这里a=m,b=-2,c=1. =(-2)2-4m1 =4-4m 方程有两个实数根 0 即：4-4m0 m1 又原方程是一元二次方程 m0 m1且m0 若将一元二次去掉，当方程有实根时m的取值范围如何？,1.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是 ( ) A.当k=1/2时，方程两根互为相反数 B.当k=0时，方程的根是x=-1 C.当k=1时，方程两根互为倒数 D.当k1/4时，方程有实数根,D,课时训练,2.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则

7、m的取值范围是 ( ) A.m1 B. m1且m0 C.m1 D. m1且m0,D,课时训练,4.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况 是 ( ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根,D,5.方程x2-3x+1=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根,A,6.下列一元一次方程中，有实数根的是 ( ) A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0,C,8.若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0 有两个相等的实数根，则k=

8、.,2,9.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。,解：=-(3m-1)2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2, (m-1)2=1, 即 m12， m20(二次项系数不为0，舍去)。,当m=2时，原方程变为2x2-5x+30， x3/2或x=1.,7.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是 ( ) A.k1 B.k1 C.k1,A,例.在一元二次方程,( ),A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法,变式3.已知

9、a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一元二次方程（a+b）x2 + 2cx +（a+b）=0的根的情况 是（ ） A、没有实数根 B、可能有且仅有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根。,A,典型例题-等根 x1=x2=-,例：k为何值时，关于x的一元二次方程 x2-x +4k =0： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？这两等根是？ （3）没有实数根？,解：a=1，b=-1，c=4k b2-4ac=-12-414k=1-16k,（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac0，即1-16k0 k ,（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac

10、=0即1-16k=0 k=,（3）若方程没有实数根，则b2-4ac0即1-16k0 k,【例】 已知：a、b、c是ABC的三边，若方程 有两个等根，试判断ABC的形状.,解：利用 0，得出a=b=c. ABC为等边三角形.,典型例题-等根,举一反三 -等根,变式1:已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根,求k的值并解这个方程.,拓展延伸,例.已知 都是正数，且关于 的方程,有两个相等的实数根，问 可否作为一个三角形的三边的长？如果可以，那么它是什么形状的三角形?,【课堂练习】,当k为何值时，关于x的方程x2kx9= 0有两个相等的实数根？求这时方程的根。,2、已知方程x2-mx+n=0有

11、两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m= ,n= .,1、已知：关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0 (1)求证无论k为何值时，方程总有实数根 （2)若等腰三角形的一边长a=1，另两边b、c恰好是这个方程的两根，求此等腰三角形的周长 2、已知关于x的方程（n-1)x2+mx+1=0有两相等的实数根。（1）求证：关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0必有两不相等的实数根 (2)若方程的一根的相反数恰好是方程的一根，求代数式m2n+12的值,拓展提高,归纳总结,一元二次方程的根的情况与系数的关系,1.对于一元二次方程 而言， b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。