第3讲-拉氏变换及传递函数1.ppt

1、16:21,复习： 拉普拉斯变换有关知识 传递函数,主 要 内 容,16:21,线性定常微分方程求解,微分方程求解方法,16:21,复习拉普拉斯变换有关内容,1 复数有关概念,（1）复数、复函数,复数,复函数,例1：,（2）模、相角,（3）复数的共轭,（4）解析,若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。,模,相角,16:21,2.复变数的各种表达形式,代数形式,极坐标,指数,三角,欧拉定理：,16:21,3、拉氏变换的定义,该函数f(t)满足: t0时，f(t)分段连续,如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域是t0，那么拉氏变换就是如下的运算式：,则f(t

2、)的拉氏变换存在，F(s)称为象函数，f(t)称 为原函数。,16:21,（1）阶跃函数,4 常见函数的拉氏变换,（2）指数函数,16:21,（3）正弦函数,16:21,常见函数L变换,（2）单位阶跃,（5）指数函数,（1）单位脉冲,（3）单位斜坡,（4）单位加速度,（6）正弦函数,（7）余弦函数,16:21,（1）线性性质,5 拉氏变换的几个重要定理,（2）微分定理,证 明：,0初条件下有：,16:21,例2 求,解.,例3 求,解.,16:21,（3）积分定理,零初始条件下有：,进一步有：,例4 求 Lt=?,解.,例5 求,解.,16:21,（4）延迟定理,证 明：,例6,解.,令,16

3、:21,（5）位移定理,证明：,令,例7,例8,例9,16:21,（6）初值定理,证明：由微分定理,例10,16:21,（7）终值定理,证明：由微分定理,例11,（终值确实存在时）,例12,16:21,L变换重要定理,（2）微分定理,（5）位移定理,（1）线性性质,（3）积分定理,（4）延迟定理,（6）初值定理,（7）终值定理,16:21,6.拉氏反变换,定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。 记为 。由F(s)可按下式求出,式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原

4、函数的形式。,16:21,若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。,例13：配方法,例14：,16:21,例15： 待定系数法,16:21,例16：,（1）实根切为单根,留数法,16:21,16:21,情况2: F(s)有共轭极点(即复数极点） 例17：求解微分方程,这个推导属配方法和查表法，心中要有公式,16:21,情况3: F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点 ,而其余极点均不相同。那么,16:21,16:21,例18,16:21,16:21,配方法、部分分式法、留数法、待定系数方法、公式法、查表法，并在做题的

5、书写格式上尽量规范、标准，养成一个好习惯。,注意总结和掌握这些常用方法：,16:21,采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。拉氏变换法求解微分方程步骤如下： （1）方程两边作拉氏变换； （2）将给定的初始条件与输入信号的拉氏变换代入方程； （3）写出输出量的拉氏变换； （4）作拉氏反变换求出系统输出的时间解。,7 拉氏变换法求解微分方程,16:21,例19 求某系统的微分方程为,输入信号为,，初始条件,，求系统的输出,解：对方程两边作拉氏变换并代入初始条件和输入函数的拉氏变换得,则输出响应的拉氏变换为,式中包含有共轭复数极点,利用配方法展开成部分分式和的形式：,

6、可以求得输出响应为,16:21,例20.已知系统的微分方程式为：,式中，y(t)系统的输出量；r(t)系统的输入量，初值为0,解：,16:21,16:21,例21 已知系统的微分方程式为：,并且设： ，求微分方程的解。,解：,16:21,16:21,例22.设系统输出量y(t)的拉氏变换Y(s)为：,试求Y(s)的拉氏变换y(t)。,解：,16:21,16:21,(1) 输入 u r (t),影响系统响应的因素,(2) 初始条件,(3) 系统的结构参数, 规定 r(t) = 1(t), 规定0 初始条件, 自身特性决定系统性能,16:21,8 传递函数,在零初始条件下(输入量施加于系统之前，系

7、统处于稳定的工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为0 )，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。,1）传递函数的定义,16:21,系统传递函数的一般形式微分形式,16:21,初始条件为零时 微分方程两边取拉氏变换，得,系统的传递函数,16:21,1.将一般形式的微分方程变换成了传递函数，并且有了许多表达形式； 2.把研究对象的微积分运算形式变成了代数运算形式，简化了运算，降低了工作的难度； 3.更大的收获是在代数形式下，处理方法更多。,微分方程,传递函数,16:21,N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次

8、等于系统的阶次。,！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K 系统处于静态时，输出与输入的比值。,特征方程,16:21, 首1标准型：, 尾1标准型：,两种标准形式,16:21,例23 已知,将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。,解.,首1标准型,尾1标准型,增益,16:21,M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根 s=zi(i=1, 2, , m)，称为传递函数的零点。,N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0 的根 s=pj (j=1, 2, , n)，称为传递函数的极点。,！系统传递函数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决

9、于系统的结构和参数。,零点和极点形式,16:21,将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称系统的零、极点图。 零点用“O”表示 极点用“”表示,零、极点分布图（零、极点图）,16:21,传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。,传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s) 决定。,16:21,适用于线性定常系统,传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数。,传递函数原则上不能反映系统在非零初

10、始条件下的全部运动规律,无法描述系统内部中间变量的变化情况,只适合于单输入单输出系统的描述,注意,16:21,g(t) 称为系统的脉冲响应函数（权函数）,单位脉冲响应,16:21,例24 已知某系统在0初条件下的单位阶跃响应为： 试求：（1） 系统的传递函数； （2） 系统的增益； （3） 系统的特征根及相应的模态； （4） 画出对应的零极点图； （5） 求系统的单位脉冲响应； （6） 求系统微分方程； （7） 当 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应。 解.（1）,16:21,(2),(4) 如图所示,(3),(5),(6),16:21,（1）原则上不反映非

11、零初始条件时系统响应的全部信息； （2）适合于描述单输入/单输出系统； （3）只能用于表示线性定常系统。,例8 线性/非线性，定常/时变系统的辨析,10 传递函数的局限性,16:21,比例环节,一阶微分环节,二阶微分环节,积分环节,惯性环节,振荡环节,延迟环节,串联,纯微分环节,11 典型环节的传递函数,16:21,1）比例环节: 其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示,式中 环节的放大系数，为一常数。,传递函数为：,特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。,16:21,实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等。,16:21,2）惯性环节: 其输出量和输入量的关系，由

12、下面的常系数非齐次微分方程式来表示,传递函数为：,式中 T 环节的时间常数。,特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即发现，输出无振荡。实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。,!储能元件 ！输出落后于输入量，不立即复现突变的输入,16:21,RC惯性环节,16:21,3）积分环节: 其输出量和输入量的关系，由下面的微分方程式来表示,传递函数为：,特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。 实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。,16:21,如当输入量为常值 A 时，,输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0时的值A

13、。,！改善系统的稳态性能,具有明显的滞后作用,16:21,4）微分环节： 是积分的逆运算，其输出量和输入量的关系，由下式来表示,传递函数为：,式中 环节的时间常数。,特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。 实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。,16:21,理想微分运算放大器,16:21,不同形式 储能元件 能量转换 振荡,例1：机械平移系统,例2：RLC串联网络,5）振荡环节,16:21,运动方程式：,传递函数：,环节的时间常数,超越函数近似处理,6）延滞环节,16:21,例25：水箱进水管的延滞,16:21,惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。,延迟环节从输入开始之初，在0 时间内没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。,延迟环节与惯性环节的区别,16:21,基本典型环节的数学模型,1）是按数学模型的共性建立的，与系统元件不是一一对应的； 2）同一元件，取不同的输入输出量，有不同的传递函数，有不同的传递函数； 3）环节是相对的，一定条件下可以转化； 4）基本环节适合线性定常系统数学模型描述。,16:21,小结,拉氏变