完全平方公式的应用 (4)

1、1.6 完全平方公式（一）,公式的结构特征:,左边是,a2 b2,两个二项式的乘积,(a+b)(ab)=,即两数和与这两数差的积.,右边是,两数的平方差.,平方差公式,应用平方差公式的注意事项:,对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符号相反的“项”;,仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，才能使用平方差公式。,图16,一块边长为a米的正方形实验田， 因需要将其边长增加 b 米。形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图16).,用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.,b,b,探索:,你发现了什么?,(a+b)2 ；,a2+,ab+,ab+,b2.,(a+b)2=,a2+,a

2、b,+,b2.,2,总面积=,总面积=,完全平方公式的证明,(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?,(a+b)2=a2+2ab+b2 ;,(2),a2 2ab+b2.,小颖写出了如下的算式:,(ab)2=,a+(b)2,她是怎么想的?,你能继续做下去吗?,(a+b),(a+b),=a2+ab+,ab+b2,=a2+2ab+,b2;,利用两数和的 完全平方公式,推证公式,= 2 + 2 + 2,a,a,(b),(b),=,a2,2ab,b2.,+,初识完全平方公式,(a+b)2 = a2+2ab+b2 . (ab)2 = a22ab+b2 .,a2,ab,b2,(a+b)2=,ab,ab

3、,b(ab),b,b,(ab)2,a2+2ab+b2,(ab)2 = a22ab+b2,几何解释：,结构特征:,左边是二项式(两数和(差) )的平方;,右边是两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.,a2,ab,b(ab),=,a22ab+b2 .,=,(ab)2,语言表述:,两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.,使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,先把要计算的式子与完全平方公式对照,明确个是 a , 哪个是 b.,4x2,2x,( )2,2x,3,2,+,3,2,=,12x,+,9 ;,例题解析,1、计算：,纠错练习,指出下列各式中的错误，并加以改正： (

4、1) (2x3y)22x2+3y2; (2) (2x+3y)22x2+ 2(2x)(3y)+3y2 ； (3) (2x3y)2(2x)2+ 2(2x)(3y)+(3y)2.,解: (1),首项、末项被平方时, 未添括号;,少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项) :2(2x)(3y) ;,(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项) :2(2x)(3y) ;,(3) 正确.,纠错练习,指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a1)22a22a+1; (2) (2a+1)24a2 +1； (3) (a1)2a22a1.,解: (1),第一数被平方时, 未添括号;,第一数与第二数乘

5、积的2倍 少乘了一个2 ;,应改为: (2a1)2 (2a)222a1+1;,(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);,应改为: (2a+1)2 (2a)2+22a1 +1;,(3) 第一数平方未添括号,第一数与第二数乘积的2倍 错了符号;,第二数的平方 这一项错了符号;,应改为: (a1)2(a)22(a )1+12;,2、下列运算中，正确的有 ：,拓展练习,下列等式是否成立? 说明理由 (1) (4a+1)2=(14a)2； (2) (4a1)2=(4a+1)2； (3) (4a1)(14a)(4a1)(4a1)(4a1)2； (4) (4a1)(14a)(4a1)(4a+1)

6、.,成立,成立,不成立,不成立,(1) 由加法交换律 4a+ll4a。,理由:,(2) 4a1(4a+1)，,(4a1)2(4a+1)2(4a+1)2.,(3) (14a)(1+4a),即 (14a)(4a1),(4a1)，, (4a1)(14a)(4a1)(4a1),(4a1)(4a1)(4a1)2。,(4) 右边应为:,(4a1)(4a+1)。,研 究 性 学 习,填空：（ ）2 =9a2（ ）+16b2 ； 计算：（a+b）2和（ab）2 ； 与（a+b）2及（ab）2比较，你发现了什么律？ 探索发现:(a+b)2=(ab)2 , （ab）2 = （a+b）2 解题规律: 当所给的二项式

7、的符号相同时，就用“和”的完全平方式； 当所给的二项式的符号不同时，就用“差”的完全平方式。,6.填空： 1) a2+ +b2=(a+b)2 2) a2+ +b2=(a - b)2 3) 4a2+ +b2=(2a+b)2 4) 4a2+ +b2=(2a - b)2 5) ( )2+4ab+b2=( +b)2 6) a2-8ab+ =( )2,2ab,(-2ab),4ab,(-4ab),2a,2a,16b2,a-4b,7.如果 x2 +mx+4是完全平方式,那么 m的值是多少?,例 2,运用完全平方公式计算 （1） （-b+4a） （2） （-2x-3y） 1 想一想：哪个是a ？哪个是b？ 2

8、 计算 3 你还能用其他方法计算吗？试试看！,(试试看!),例3 利用完全平方公式计算：(1) 1022 ; (2) 1972 .,解: 102 =（100+2） =100+21002+2 =10000+400+4 =10404,解: 197=（200-3） =200-22003+3 =40000-1200+9 =38809,练一练,（1） 305 （2） 198 （3） 95 （4） 19,比一比赛一赛看谁做的又对又快!,说说你的收获,注意完全平方公式和平方差公式不同：,形式不同,结果不同：,完全平方公式的结果 是三项， 即 (a b)2a2 2ab+b2;,平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(ab)a2b2.,在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；首项、末项是乘积被平方时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关