1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

1、几何体体积和表面积,正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,棱柱的展开图,正棱柱的侧面展开图,正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,棱锥的展开图,侧面展开,正棱锥的侧面展开图,正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,棱锥的展开图,侧面展开,正棱台的侧面展开图,棱柱、棱锥、棱台的表面积,棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和,圆柱的表面积,圆柱的侧面展开图是矩形,S侧=,圆锥的表面积,圆锥的侧面展开图是扇形,S侧=,圆台的表面积,参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧

2、面展开图是什么 ,圆台的侧面展开图是扇环,S侧,S侧=,三者之间关系,圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？,棱柱、棱锥和棱台的体积公式： v= 当s=s时为棱柱体积公式v=sh. 当s=0为棱锥体积公式v=.,怎样求球的体积?,实验：排液法测小球的体积,实验：排液法测小球的体积,实验：排液法测小球的体积,实验：排液法测小球的体积,实验：排液法测小球的体积,实验：排液法测小球的体积,实验：排液法测小球的体积,H,小球的体积 等于 它排开液体的体积,实验：排液法测小球的体积,曹冲称象,假设将圆n等分，则,A2,A1,An,O,A3,回顾圆面积公式的推导,

3、割 圆 术,早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的 “极限”思想。,已知球的半径为R,用R表示球的体积.,2.球的体积,O,R,O,A,球的体积,定理:半径是R的球的体积,高等于底面半径的旋转体体积对比,阅读材料以及思考题,1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的几倍? 2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,求这个球的体积.,课堂练习,8倍,钢球直径是5

4、cm,.,把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?,用料最省时,球与正方体有什么位置关系?,球内切于正方体,侧棱长为5cm,两个几何体相（内）切: 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.,两个几何体相接: 一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上,球面不能展开成平面图形，所以 求球的表面积无法用展开图求出， 如何求球的表面积公式呢?,回忆球的体积公式的推导方法, 得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式。,3. 球的表面积,球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。,球(即球体):球面所围成的几何体。,它包括球面和球面所包围的空间。,半径是R的球的体积：,球

5、的表面积,第一步：分割,球面被分割成n个网格，表面积分别为：,则球的体积为：,球的表面积,球的表面积是大圆面积的4倍,R,1、地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约为6370km，火星的直径约为地球的一半。 求地球的表面积和体积； 火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？,课堂练习,解：,（1）,（2）,例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.,证明:,(2),例2.如图，已知球O的半径为R,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上， 求证：,分析：正方体内接于

6、球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,略解：,变题1.如果球O切于这个正方体的六个面，则有R=。 。,(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍。 (2)若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍。 (3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是。 (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是。 (5)若两球表面积之差为48 ,它们大圆周长之和为12 ,则两球的直径之差为。,题组一:,题组二:,1、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同,一球面上，则此球的表面积（ ）,A 3,B 4,C,D 6,2、若正四体的棱长都为6，内有一

7、球与四个面都相,切。求球的表面积。,1、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同,一球面上，则此球的表面积（ ）,A 3,B 4,C,D 6,C,解：设四面体为ABCD， 为其外接球心。,球半径为R，O为A在平面BCD上的射影，M为CD的中点。,连结B,A,1、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同,一球面上，则此球的表面积（ ）,A 3,B 4,C,D 6,解法2 构造棱长为1的正方体，如图。则A1、C1、B、D是棱长为 的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为 ，,选A,2、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相,切，求球的表面积。,解：作出过一条侧棱PC和高PO的截面，则截面三角形PDC的边PD是斜高，DC是斜高的射影，球被截成的大圆与DP、DC相切，连结EO，设球半径为r，,2、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相,切，求球的表面积。,解法2：连结OA、OB、OC、OP，那么,解题小结：,1、多面体的“切”、“接”问题，必须明确“切”、“接”位置和有关元素间的数量关系，常借助“截面”图形来解决。,2、正三棱锥、正四面体是重要的基本图形，要掌握其中的边、角关系。能将空间问题化为平面问题得到解决，并注意方程思想的应用。,3、注意化整为零的思想的应用。,4、正四面体的内切球半径