《分离变量法》PPT课件.ppt

1、第十章 分离变量法,前面介绍的通解法只适用于很少的一类定解问题求解，而本章将要介绍的分离变量法则是求解定解问题的一种最常用、最基本的方法. 分离变量法是一种先求出满足泛定方程及部分定解条件的全部特解，然后把这些特解叠加起来，再利用另一部分定解条件求出叠加系数，从而求出定解问题的解的方法.本章主要介绍几种常见坐标系下的分离变量法.,简介,章节安排,10.1 直角坐标系下的分离变量法 10.2 极坐标系下的分离变量法 10.3 球坐标系下的分离变量法 10.4 柱坐标系下的分离变量法,第一节 直角坐标系下的分离变量法,一齐次方程及齐次边界条件的定解问题,1. 两端固定弦的自由横振动问题,解：首先将

2、该物理问题转化为数学形式，即列出定解问题,回顾,常系数线性齐次常微分方程初值问题的求解过程：,首先求出方程的足够多个特解（它们能构成通解），然后利用叠加原理将这些特解线性组合起来构成通解，最后代入初始条件确定叠加系数.,对于定解问题（1）（3），由于泛定方程和边界条件都是线性的，因此可以运用叠加原理.仿照常微分方程的求解思路，不妨尝试先寻求齐次方程 （1）的满足齐次边界条件（2）的足够多个简单形式（变量分离形式）的特解，再利用叠加原理叠加出一般解，最后代入初始条件（3）确定叠加系数.,至于如何求出形式简单的特解，我们可以从物理模型中得到启发.从物理学知道，乐器发出的声音可以分解为各种不同频率的

3、单音，而每一种单音在振动过程中总是形成一种正弦曲线，而且其振幅仅依赖于时间 ，即每个单音可表示成 ：,的形式.,这种形式的特点是：,变量 和 被分离开了.弦的振动和声音的传播都属于波动，因此，我们有理由认为弦的振动位移也可以分解为一系列变量分离形式的特解的叠加.,下面我们求解满足齐次方程（1）及齐次边界条件（2）的具有变量分离形式的非零特解，,设为,（4）, 分离变量,由此分离出两个常微分方程,（5）,（6）,（7）,注意,分离变量之所以能够实现，是因为泛定方程和边界条件都是齐次的., 求解本征值问题,（8）,代入齐次边界条件（7），得,解之，得,（9）,（10）,代入齐次边界（7），得,（1

4、1）,相应地，方程（6）的解为,（12）,本征值、本征函数, 求解关于的 常微分方程,（13）,其通解为,（14）, 写出特解，并叠加出一般解,为了求出原定解问题的解，我们将所有特解叠加起来，得,（16）, 利用初始条件确定叠加系数,将(16)代入初始条件(3)，得,（17）,（18）,利用分离变量法求解偏微分方程定解问题几个主要步骤：,第一步，分离变量. 这一步之所以能够实现，前提条件是偏微分方程和边界条件都是齐次的； 第二步，求解本征值问题.这是求解定解问题的关键一步； 第三步，求出全部特解，并叠加出一般解； 第四步，利用初始条件确定叠加系数. 从整个运算过程来看，用分离变量法求解定解问题

5、的关键步骤是确定本征函数以及运用叠加原理.,级数解的物理意义,（19）,其中,（20）,弦的这种简谐振动模式称为驻波.,因此，整个定解问题的解就是一系列具有本征频率的驻波 的叠加，而分离变量法也称为驻波法.,2. 两端自由杆的纵振动问题,解：首先，将该物理问题转化为数学形式，即列出定解问题,其次，利用分离变量法来求解该定解问题.按照分离变量 法的步骤，先以变量分离形式的试探解,（24）,代入泛定方程（21）和边界条件（22），得,(25),(26),条件（26）即为,（27）,由此分离出两个常微分方程,（28）,（29）,下面求解本征值问题,（30）,相应的本征函数为,（31）,将本征值（30

6、）代入方程（28），有,（32）,其解分别为,（33）,（34）,于是，原定解问题变量分离形式的特解为,（35）,将所有特解叠加起来，就得到了定解问题的一般解,最后，利用初始条件来确定叠加系数.将一般解（36）代入初始条件（23），得,（37）,将系数表达式（37）代入一般解（36）就得到了原定解问 题的确定解.,物理意义,3. 有限长杆上的热传导问题,解：列出定解问题,设变量分离形式的解为,代入方程（38）和边界条件（39），得到本征值问题,（41）,以及常微分方程,（42）,（43）,相应地，本征函数为,（44）,将本征值（43）代入（42），有,（45）,解之，得,（46）,于是，原定解

7、问题的一般解为,（47）,最后，利用初始条件（40）确定叠加系数.将一般解（47）代入初始条件（40），得,（48）,（49）,于是，得到原定解问题的解,（50）,4. 矩形区域内的稳定问题,解：首先列出定解问题,图10.1.1,我们仍可以尝试利用分离变量法求解该定解问题.,以变量分离形式的试探解,代入齐次方程(51)和齐次边界条件(52)，得到本征值问题,（54）,以及常微分方程,（55）,求解本征值问题（54），得本征值,（56）,和相应的本征函数,（57）,将本征值（56）代入方程（55），解得,（58）,这样，就求出了满足齐次方程（51）和齐次边界条件（52）的具有变量分离形式的特解,

8、利用叠加原理，将所有特解叠加起来，即得定解问题的一般解,（59）,将一般解（59）代入另一组边界条件（53），得,把上式右端展开为Fourier正弦级数，然后比较系数，即得,由此解出,因此，原定解问题的解为,（61）,分离变量法作几点说明：,1分离变量法的基本思想是：尝试求出定解问题具有变量分离形式的特解 .,2分离变量法不仅适用于振动问题，而且适用于热传导问题和稳定问题，但前提条件是：泛定方程和边界条件都是齐次的（稳定问题只要求有一组边界条件齐次），这是变量得以分离的关键.,3纵观整个计算过程，我们可以看出分离变量法的成功与否完全取决于本征值问题能否得到完满的解决.在以上几个例题中，虽然泛定

9、方程的形式不一样，但本征值问题中的常微分方程的形式是一样的，因此本征值和本征函数取决于齐次边界条件的类型.,关于本征值、本征函数与齐次边界条件的关系总结如下表 11.1.1所示：,表11.1.1, 既然本征值和本征函数与齐次边界条件有关，那么当边界条件给定时，完全可以根据边界条件的类型直接得到本征函数,从而得到定解问题具有Fourier正弦级数或余弦级数形式的解,或,（62）,因此，我们可以根据齐次边界条件的类型直接设出定解问题具有Fourier级数形式的解（62），然后根据泛定方程和其它定解条件确定或.我们称这种解法为Fourier级数法，Fourier级数法与分离变量法的本质是一样的.下面

10、以例3为例介绍Fourier级数法的求解过程.,例5 用Fourier级数法求解定解问题,解：由于齐次方程（63）在齐次边界条件（64）下的本征 函数为,（66）,因此设定解问题具有Fourier正弦级数形式的解,（67）,显然，级数解（67）满足齐次边界条件（64）.下面利用泛定方程（63）和初始条件（65）来确定,将级数解（67）代入方程（63），得,比较两端的Fourier系数，得,（68）,这个方程即为（45）式.解之，得,（69）,于是，原定解问题的一般解为,（70）,最后，利用初始条件（65）确定叠加系数.与例3的过程完全相同，将一般解（70）代入初始条件（65），得,（71）,比

11、较两端系数，得,（72）,从而得原定解问题的解,（73）,二非齐次方程及齐次边界条件的定解问题,三种求解非齐次方程定解问题的方法：,Fourier级数法 冲量定理法 特解法,1. Fourier级数法,下面以两端固定弦的受迫振动为例来介绍Fourier级数法,解：由物理意义可知，弦的振动可以看作是由强迫力以及初始状态所引起的一系列驻波的叠加，即,（4）,（5）,后将以上两式代入定解问题求出 即可,（6）,从而定解问题具有Fourier正弦级数形式的解,（7）,首先，将级数解（7）代入方程（1），得,（8）,然后，将（7）式代入初始条件（3），有,（9）,用解非齐次常微分方程的常数变易法或者La

12、place变换法，就可以求出非齐次方程（8）在初始条件（9）下的解,（10）,Fourier级数法是分离变量法的推广，它的适用条件是：边界条件齐次，而方程可以是齐次也可以是非齐次的. Fourier级数法不仅可以用来求解振动问题，对于热传导问题和稳定问题同样适用.,注意,例7 求解定解问题,解：由于非齐次方程（1）所对应的齐次方程在齐次边界（2）条件下的本征函数为,所以，定解问题具有Fourier余弦级数形式的解,（4）,将级数解（4）代入方程（1），得,比较两端系数，有,（5）,求解，得,（6）,从而,（7）,代入初始条件(3),得,比较两端系数，得,（8）,因此，原定解问题的解为,2. 冲

13、量定理法,下面仍以两端固定弦的受迫振动为例，介绍一种将非齐次泛定方程直接转化为齐次泛定方程的方法冲量定理法.,例8 考虑两端固定弦的受迫振动问题，即求解定解问题,从物理的角度分析，该定解问题表明：弦的振动完全是由外力 的作用而引起的，而且外力从初始时刻起一直在发生作用,我们要求的就是：,基本物理思想, 求解过程,由于定解问题是线性的，适用于叠加原理，所以持续作用力所引起的振动可以看作是瞬时力所引起的振动的叠加，即,（4）,（6）,（7）,结合（6）式，即得,（8）,不妨设,（12）,注意,（16）,即为定解问题（1）（3）的解.这样就从物理上给出了非齐次泛定方程定解问题的求解方法，由于利用了冲

14、量定理，所以称之为冲量定理法.,求解步骤,第一步，列出 的定解问题（13）（15）,第二步，利用分离变量法或者Fourier级数法求解 的定解问题；,第三步，将 的表达式代入积分,求出原定解问题的解.,从冲量定理法的整个过程可以看出，冲量定理法的适用条件是方程非齐次、边界条件齐次、初始条件取零值的非稳定问题，由于稳定问题与时间无关，所以不适用冲量定理法., 冲量定理法的数学验证（省略）,例9 利用冲量定理法求解定解问题,解：先求解 的定解问题,利用Fourier级数法，设,（4）,并代入泛定方程（1）， 得,由此分离出 的常微分方程,解之，得,（5）,（6）,将（5）和（6）代入（4），得,（

15、7）,将上式代入初始条件（3），得,比较两端系数，得,（8）,因此，,（9）,最后，得原定解问题的解,注：与求解振动问题类似，冲量定理法也可以用来求解非齐次的热传导方程（证明略）.,如以下定解问题,可转化为关于 的定解问题,例10 求解定解问题,解：,仿照例5，由Fourier级数法得其一般解,将上式代入初始条件，得,比较两端的Fourier系数，得,于是，,因此，原定解问题的解为,3. 特解法,为了突出对方程非齐次项的处理，我们研究纯粹由外力引起的两端固定弦的受迫振动，弦的初始位移和速度均为零.这样，定解问题为,按照求解非齐次方程的一贯做法，不妨先求得非齐次方程的一个特解,（1）,然后，令,

16、（2）,则 一定是相应的齐次方程,（3）,的解.,但是需要注意的是，为了能应用分离变量法， 必须满足齐次边界条件,（4）,也就是说，要寻求的特解 应该同时满足非齐次方程和齐次边界条件,一旦求得了这样的特解，利用分离变量法就可以求出一般解，从而,（5）,再代入初始条件，利用本征函数的正交归一性，就可以确定叠加系数,我们称这种解法为特解法，其关键在于求得特解,从求解的过程可以看出，齐次初始条件的限制可以取消.,注意,如果方程的非齐次项 的形式比较简单，可以尝试采用特解法.特别地，当非齐次项与时间无关时，采用此法会非常简便.,例11 求解定解问题,解之得,从而,利用分离变量法或Fourier级数法很

17、容易求出,最后可得原定解问题的解,例12,解：首先寻求Poisson方程的一个特解,并使之满足齐次边界条件,三、非齐次边界条件的定解问题,在以上的讨论中，不论是分离变量法，还是Fourier级数法，或者是冲量定理法，它们都有一个共同的特征，即要求边界是齐次的.但在实际问题中我们经常会遇到非齐次边界条件的定解问题，处理的原则是：设法将非齐次边界条件齐次化.具体地说，就是利用叠加原理将非齐次边界条件问题转化为另一新函数的齐次边界条件问题.,1.一般处理方法,例1 我们来看一个自由振动问题，其定解问题为,该定解问题的边界条件是非齐次的，我们设法作一代换将边界条件齐次化。为此，令,（4）,（5）,换句

18、话说，适当选取的 必须满足非齐次边界条件,（6）,（7）,将（7）式代入（6）式，易得,（8）,再结合（8）式，即得原定解问题的解,例2 求解定解问题,于是，,从而,下面利用Fourier级数法求解,所以,解之得,所以,代入初始条件,得,所以原定解问题的解为,2. 特殊处理方法（省略）,10.2 极坐标系下的分离变量法,前面主要讨论了直角坐标系下的分离变量，下面介绍平面极坐标系下的分离变量。,一、Laplace方程的定解问题,例1 带电云和大地之间的静电场可以近似看作匀强静电场，其电场强度为 且方向垂直向下.现水平架设一根输电线于该静电场中.输电线为导体圆柱，柱面由于静电感应而出现感应电荷，这

19、样，圆柱附近的电场就不再是匀强的了，如图10.2.1所示.不过在离圆柱“无限远”处的静电场仍近似保持匀强.现在研究导体圆柱如何改变了匀强静电场，即柱外的电势分布如何.,分析:,图10.2.1,对于柱外的静电场，由于柱外空间没有电荷，所以电势 满足二维的Laplace方程,（柱外）,（1）,由于导体内的电荷不再移动，所以导体内各处电势相同，而电势只具有相对的意义，因此不妨取导体的电势为零，从而有边界条件,（2）,另外，在离导体无限远处的静电场中，场强仍近似保持匀强,对上式两端积分，得,（3）,这样，所求解的定解问题为,（4）,由于泛定方程和内边界都是齐次的，不妨尝试用直角坐 标下的分离变量法求解

20、：,将变量分离形式的 代入Laplace方程，很容易分离出两个常微分方程,或者,因此采用直角坐标下的分离变量法是行不通的.事实上，由于静电场的内边界是一个圆，我们自然应该采用平面极坐标系.,解：首先，将定解问题（4）转化为极坐标形式,下面尝试利用极坐标系下分离变量法求解该定解问题.,将变量分离形式的试探解 代入齐次泛定方程（5），得,这样，就分离出了两个常微分方程,其中常微分方程（8）隐含着一个附加条件.事实上，电势u在任一确定地点总是有唯一的确定值，而任一确定地点的极角可以加减的 整数倍，所以,即,所以,（10）,我们称（10）式为自然周期条件.常微分方程（8）与自然周期条件（10）构成本征

21、值问题.,下面求解该本征值问题.,常微分方程（8）的通解为,（11）,代入自然的周期条件（10），得,本征值,（12）,本征函数,（13）,接下来，将本征值（12）代入常微分方程（9），得,（14）,则方程（14）化为,（14）为Euler型常微分方程，作变量代换 即,（15）,其解为,（16）,这样，变量分离形式的特解为,（17）,（18）,将所有特解叠加起来，即得原定解问题的一般解,（19）,为了确定叠加系数，将（19）先代入齐次边界条件（6）， 得,比较两端系数，得,从而，,（20）,然后讨论非齐次边界条件（7）.,比较两端系数，有,（21）,从而,（22）,将以上系数代入一般解，得柱外

22、静电场的电势为,（23）,物理意义.,二、圆形域内（外）Poisson方程的定解问题,由于二维Poisson方程,是非齐次的，显然不能直接用分离变量法求解.,又因为Poisson方程与时间无关，所以也不适用冲量定理法.,下面我们采用特解法,首先找到Poisson方程的一个特解 ,然后令 ,从而,例2,解：首先找出Poisson方程的一个特解 ,在圆形域内 为了保持x,y相互对称，不妨取,（1）,然后，令,则,（2）,仿照例1的求解过程，得（2）的一般解,（3）,于是,（4）,将上式代入（2）中的边界条件，得,比较两端系数，有,（5）,因此，,（6）,所以原定解问题的解为,三、Sturm-Lio

23、uville（斯图姆刘维尔）本征值问题,前面在直角坐标以及极坐标系下利用分离变量法求解定解问题时，曾经得到了一些本征值问题。例如：,（1）,的本征值和本征函数分别为,（2）,的本征值和本征函数分别为,在第五章我们也曾提到过：Legendre方程与自然边界条件也构成本征值问题,（3）,它的本征值和本征函数分别为,这些常见的本征值问题都可以归结为Sturm-Liouville本征值问题，本节就来讨论具有普遍意义的Sturm-Liouville本征值问题.,1. Sturm-Liouville型方程,定义1 通常把形如,（4）,的二阶线性常微分方程称为Sturm-Liouville型方程,对于一般的

24、二阶线性常微分方程,（5）,在等式两端乘以适当的函数 ,总可以化为Sturm- Liouville型方程,例如，Legendre方程,可写为,其中,又如Bessel方程,可写为,其中,2. Sturm-Liouville本征值问题的一般提法,由于方程（4）中含有参数 因此，在一定的边界条件下，只有当 取某些特定值时，方程才具有非零解.这种 值称为本征值，而相应的本征解称为本征函数.那么，要使方程(4)构成本征值问题需要附加什么样的边界条件呢？,三种提法 :,（6）,这种边界条件是一种自然边界条件，如（3）.,（7）,这也是一种自然边界条件.如（2）.,3. Sturm-Liouville本征值

25、问题的一般性质,性质1,相应的有本征函数,性质2,所有本征值,性质3,（8）,本征函数系是完备的，即对于具有连续一阶导数和分段连续二阶导数的函数 ，只要它与本征函数满足相同的边界条件，则一定可以展开成绝对且一致收敛的级数,（9）,其系数为,（10）,由此立即可得（10）.,补充：连带Legendre函数,在球坐标系下对Laplace方程进行分离变量时，会得到连带Legendre方程,（1）,特别地，当m=0时，即得Legendre方程,（2）,关于连带Legendre方程（1）,我们仍可以利用第五章介绍的级数解法求解,但过程比较复杂.这里介绍一种比较简便的方法,从Legendre方程出发来寻求

26、其解，其中设m为正整数.,解：利用关于乘积求导的Leibniz(莱布尼茨)公式,将Legendre方程（2）,两端关于x求导m次，得,（3）,若令,则（3）式化为连带Legendre方程,（4）,即,（5）,10.3 球坐标系下的分离变量法,前两节我们讨论了直角坐标和极坐标系下的分离变量法，而且我们知道，具体选用哪一种坐标系是跟所研究物质系统的边界有关的.比如对于一维的弦、杆以及二维的矩形区域，一般采用直角坐标系，而对于二维圆形区域则采用极坐标系.在实际问题中还会经常遇到球状或柱状的物质系统，在这两种情况下，相应地选用球坐标系和柱坐标系会比较方便.在以下两节中，我们将主要讨论球坐标及柱坐标系下

27、的分离变量法，并研究从中导出的特殊函数常微分方程和相应的本征值问题.,一球坐标系下齐次方程的分离变量,1球坐标与直角坐标的关系,于是，,其中,根据多元复合函数的求导法则，Laplace方程 在球坐标系下的表达形式为,例1：试求球形体内的稳定温度分布，即求解定解问题,（1）,2. Laplace方程 的分离变量,解：（i）分离变量 方程（1）涉及的是三个自变量的函数，要将它分离变量，通常采取逐次分离的办法：首先分离出一个自变量，然后再将其余两个自变量分离.,令,并代入方程（1），得,方程两边同时乘以 ,整理得,两端相等只可能同时等于同一个常数，记作,从而将（1）分解为两个常微分方程,（5）,（6

28、）,其中（5）已是常微分方程，（6）仍为偏微分方程， 我们称之为球函数方程，下面需对它进一步分离变量.,两端相等只可能同时等于同一个常数，记作,即,于是，球函数方程（6）分离成两个常微分方程,从而完成了对Laplace方程的分离变量，得到了三个常微 分方程（5）、（7）和（8）.,对边界条件（2）和（3）分离变量，可得,（9）,（10）,（ii）求解本征值问题,方程（7）与自然周期条件（9）构成本征值问题，其本 征值和本征函数分别为,（11）,（12）,方程（8）与自然边界条件（10）也构成本征值问题.,（13）,为了求出方程（13）的解，作变量代换，令,即,（14）,我们称方程（14）为 阶

29、连带Legendre方程.,方程（13）在自然边界条件（10）下的解为连带Legendre 函数,（15）,其中,（iii）求解R的常微分方程（5）,方程（5）为Euler型常微分方程，它并不构成本征值问题，,则方程（5）化为常系数常微分方程,（16）,解之得,（17）,（iv）写出一般解,根据叠加原理，Laplace方程的一般解为：,（18）,V 利用边界条件(4)确定叠加系数,最后，将一般解(18)代入边界条件(4)即可确定待定系数，从而得原定解问题的解.,注意,这时，整个定解问题在绕极轴转动任意角时保持不变，即为轴对称的.在这种情况下，Laplace方程的球坐标形式简化为,（18）,（5

30、）,（19）,（20）,因此，在轴对称情况下，连带Legendre方程退化为,Legendre方程，从而，Laplace方程的一般解为：,（21）,首先考察三维波动方程,（1）,代入波动方程（1），得,这样，波动方程（1）分解为两个方程,（2）,（3）,其中(2)为常系数常微分方程，其解为,偏微分方程（3）称为Helmholtz（亥姆霍兹）方程.,同理，对热传导方程,进行类似的变量分离，得,（4）,（5）,其中常微分方程（4）的解为,而方程（5）为Helmholtz方程.,这样，无论是波动方程还是热传导方程，经过分离时间变量和空间变量后都会得到两个方程，其中空间变量所满足的方程是完全相同的，都

31、为Helmholtz方程.下面对Helmholtz方程进一步分离变量.,利用Laplace算符在球坐标系中的表达式，可得Helmholtz方程在球坐标系中的表达式,（1）,这样,Helmholtz方程(1)分解为两个方程,（2）,（3）,其中（3）已是常微分方程，这样就把r分离出来了.,方程（2）正好是前面对Laplace方程进行分离变量中得到过的球函数方程，将它进一步分离变量，,其中方程（5）为连带Legendre方程.这样，就完成了球坐标系下Helmholtz方程的变量分离.,本征函数分别为,而常微分方程（3）即为,（6）,则方程（6）化为,（7）,（8）,（9）,其解为,（10）,这样，Helmholtz方程的通解为常微分方程（3）、（4）和（5）的解的乘积的线性叠加.,注：在轴对称情形下，Helmholtz方程简化为,（11）,因此，在轴对称情况下，Helmholtz方程的通解为球Bessel方程（6）的解和Legendre方程的解的乘积的线性组合.,通过以上讨论，在球坐标系下对Laplace方程和Helmholtz方程进行分离变量时，总会得到连带Legendre方程,以及它的特殊形式Legendre方程,二Legendre多项式,下面我们将进一步讨论Legendre多项式的其它表达形式及其性质和应用.,1.