5-3统计量及其分布.ppt

1、第三节 统计量及其分布,一、统计量与抽样分布,二、样本均值及其抽样分布,三、样本方差与样本标准差,四、样本矩及其函数,五、次序统计量及其分布,六、样本分位数与样本中位数,七、五数概括与箱线图,1. 统计量的定义,一、统计量与抽样分布,按照这一定义，若x1,x2,xn为样本，则 以及Fn (x)都是统计量。 必须指出的是：尽管统计量不依赖于未知参数，但是它的分布一般是依赖于未知参数的。,是,不是,实例1,例2,设为来自总体 的一个样本，,问下列随机变量中哪些是统计量？,定义 设 为取自某总体的样本，其算术平均值称为样本均值，一般用表示，即,在分组样本场合，样本均值的近似公式为,其中k为组数，xi

2、为第i组中值，fi为第i组的频数。,样本均值及其抽样分布,例 某单位收集到20名青年人的某月的娱乐支出费用数据： 79 84 84 88 92 93 94 97 98 99 100 101 101 102 102 108 110 113 118 125 则该月这20名青年的平均娱乐支出为,将这20个数据分组可得到如下频数频率分布：,对上表的分组样本，使用公式进行计算可得：,两种计算结果不同。 事实上，由于未用到真实的样本观测数据， 因而给出的是近似结果。,定理 若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差，则样本所用偏差之和为0，即 证明 从均值的计算公式看，它使用了所有的数据，而且每一个数据在计算

3、公式中处于平等的地位。所以数据与样本中心的误差被相互抵消，从而样本的所有偏差之和必为零。,证明 :对任意给定的常数c,定理 数据观察值与均值的偏差平方和最小， 即在形如 的函数中， 最小， 其中c为任意给定常数。,设x1,x2,xn为来自某个总体的样本， 为样本均值。,则n较大时 的渐近分布为 ,常记为 这里渐近分布是指n较大时的近似分布。,（1）若总体分布为 则 的精确分布为 ；,（2）若总体分布未知或不是正态分布，但,(2)由中心极限定理， 这表明n较大时 的渐近分布为,证明：(1)利用卷积公式，可得知， 由此可知 。,例1 设总体分布为均匀分布 ，该总体的均值 和方差分别为3和4/3。,

4、若从该总体抽取容量为30的样本，则其样本均值的渐近分布为,例2 设总体分布为倒三角分布，其密度函数为 该总体的均值和方差分别为3和2，若从该总体抽取容量为30的样本，则样本其均值的渐近分布为,例3 设总体分布为指数分布 ，该总体的均值和方差均等于1，若从该总体抽取容量为30的样本，则其样本均值的渐近分布为,例4 在总体 中，随机抽取一个容量 为36的样本，求样本均值 落在50.8到53.8 之间的概率。,解,故,例2,样本方差与样本标准差,定义 设x1,x2,xn为取自某总体的样本，则它关于样本均值的平均偏差平方和 称为样本方差。其算术根称为样本标准差。相当样本方差而言，样本标准差通常更有实际

5、意义，因为它与样本均值具有相同的度量单位。,在n不大时，常用 作为样本方差(也称无偏方差)，其算术根也称为样本标准差。在实际中，后者比前者更常用。,样本偏差平方和的不同表达式,分组样本场合下，样本方差的近似计算公式：,例1 某单位收集到20名青年人的某月的娱乐支出费用数据： 79 84 84 88 92 93 94 97 98 99 100 101 101 102 102 108 110 113 118 125,将这20个数据分组可得到如下频数频率分布：,对上表的分组样本,可得：,x 1,x2,xn为从该总体得到的样本， 和s2分别是样本均值和样本方差，则 .,定理 设总体X具有二阶矩，即,此

6、定理表明，样本均值的均值与总体均值相同，而样本均值的方差是总体方差的1/n。,证明,注意到,，而,于是,两边各除以n-1，即得第二个结论。,近似,(3),由中心极限定理,(2),例3 设总体X 的概率密度函数为,为总体的样本,求,(1),的数学期望与方差；,(2),(3),解 (1),例3,定义 样本 k 阶(原点)矩,样本 k 阶中心矩,例1 从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件, 测得其重量为(单位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199 求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩。,解,令,例1,则,样本偏度 样

7、本峰度,例 下表是两个班(每班50名同学)的英语课程的 考试成绩。,下面分别计算两个班级的平均成绩、标准差、 样本偏度及样本峰度。 下表分别给出甲班和乙班的计算过程。,x f甲 x f甲,x f乙 x f乙,可算得两个班的平均成绩、标准差、 偏态系数、峰态系数分别为：,由此可见，两个班级的平均成绩相同，标准差也几乎相同，样本偏度分别为：-0.16和0.068，显示两个班的成绩都是基本对称的。但两个班的样本峰度明显不同。乙班的成绩分布比较平坦，而甲班则稍显尖顶。,次序统计量及其分布,设x1,x2,xn ,是取自总体X的样本，x(i) 称为该样本的第i个次序统计量，它的取值是将样本观测值由小到大排

8、列后得到的第i个观测值。其中 x(1) =minx1,x2,xn称为该样本的最小次序统计量 x (n) =max x1,x2,xn 称为该样本的最大次序统计量。,x 0 1 2 p 1/3 1/ 3 1/3,例 设总体X的分布为仅取0，1，2的离散均匀分布，即分布列为,现从中抽取容量为3的样本，其一切可能取值有33=27种，现将它们列于下表左侧，其右侧是相应的次序统计量观测值。,由于样本取上述每一组观测值的概率相同，都为1/27，由此可给出x(1) ，x(2)，x（3） 的分布列如下：,我们可以看到这三个次序统计量的分布是不同的。进 一步，我们可以给出两个次序统计量的联合分布，如x（1）和x（

9、2）的联合分布列。,因为P(x(1) =0) P(x(2) =0)=,而P(x(1) =0，x(2) =0)=7/27，两者不等， 因此可看出x(1)和x(2) 是不独立的。,单个次序统计量的分布 定理 设总体X的密度函数为p (x)，分布函数为 F (x)，x1,x2,x n 为样本，则第k个次序统计量 x (k) 的密度函数为,特别，令k=1和k=n即得到最小次序统计量x(1)和最大次序统计量x (n)的密度函数分别为：,例 设总体密度函数为p (x)=3x2 ，0x1，现从该 总体抽得一个容量为5的样本，试计算P(x(2) 1/2)。,解 首先应求出x(2)的分布。 由总体密度函数不难求

10、出总体分布函数为,于是P(x(2) 1/2),由公式可以得到x(2)的密度函数为,例 设总体分布为U(0,1)，x1,x2,x n 为样本，则 其第k个次序统计量的密度函数为,这就是前面介绍的Be（k，n-k+1）,多个次序统计量的联合分布 定理 次序统计量(x (i) , x (j) (ij)的联合分布 的 密度函数为,在实际问题中会用到一些次序统计量的函数。 如：R n= x (n) x (1) 称为样本极差， 它是一个常用的统计量。,例 设总体分布为U(0,1)，x1,x2,x n为样本，则(x(1) ，x (n)的联合密度函数为,令R n= x (n) - x(1)，由R0可以推出 0

11、 x(1) = x (n) R,则,这正是参数为(n-1,2)的贝塔分布。,样本分位数与样本中位数 样本中位数也是一个很常用的统计量，它也是次序统计量的函数，通常如下定义。 设x(1),x (n)是有序样本，则样本中位数m0.5定义为,更一般的，样本p分位数，mp可如下定义：,定理 设总体密度函数为p(x)，xp为其p分位数， p(x)在xp处连续且p (x p)0，则当 时， 样本p分位数mp的渐近分布为,例 设总体为柯西分布，密度函数为,其分布函数为,设x(1),x (n)是来自该总体的样本，当样本量n较大时，样本中位数m0.5的渐近分布为,次序统计量的应用之一是五数概括与箱线图。在得到有序样本后，容易计算如下五个值： 最小观测值x min=x (1) ；中位数m0.5；第一4分位数Q1= m0.25 ；第三4分位数Q3=m0.75 ； 最大观测值x max=x (n) ， 所谓五数概括就是指用这五个数： x min ，Q1 ，m0.5 ，Q3，x max 来大致描述一批数据的轮廓。,五数概括与箱线图,下表是某厂160名销售人员某月的销售数据的有序样本，由该批数据可计算得： xmin=45，xmax =319，m0.5 =181，Q1 =144， Q3 =212