高中数学第一章立体几何1.2.3.1直线与平面垂直课件新人教B版必修2.ppt

1、第1课时直线与平面垂直,一,二,三,一、两条直线互相垂直 【问题思考】 1.在平面内,如果两条直线互相垂直,那么这两条直线一定相交吗?在空间中呢? 提示:在平面内,如果两条直线互相垂直,则它们一定相交;而在空间中,两条直线互相垂直,则它们不一定相交. 2.填空:如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直.,一,二,三,3.做一做:直线a与平面内的两条直线垂直,则直线a与平面的位置关系是() A.相交B.平行 C.直线a在平面内D.以上均有可能 解析:借助于正方体模型,得直线a与平面平行或相交或直线a在平面内,故选D. 答案:D,一,二,三,二、直线与平

2、面垂直 【问题思考】 1.如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,能说这条直线与这个平面垂直吗?这时该直线与这个平面的位置关系是怎样的? 提示:如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,这条直线与这个平面不一定垂直,此时该直线与这个平面可能平行,可能相交,也可能在平面内. 2.填空:(1)定义:如果一条直线和一个平面相交于点O,并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直,则称这条直线和这个平面互相垂直,这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足.,一,二,三,(2)直线与平面垂直的画法: 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示. (3)直线与平面垂直的记法: 直线l

3、与平面垂直,交点为P,可记为l,垂足为P.,一,二,三,三、直线与平面垂直的判定定理与推论 【问题思考】 1.填空:(1)判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. (2)推论1:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. 推论2:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行. 2.垂直于同一直线的两个平面的位置关系如何?,一,二,三,提示:垂直于同一条直线的两个平面平行.已知:AA,AA,求证:. 证明:如图所示,设经过直线AA的两个平面,分别与平面,相交于直线b,b和a,a.因为AA,AA,所以AAa,AAa. AA,a,

4、a都在平面内,由平面几何知识:在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行. 所以aa,所以a(线面平行的判定定理). 同理b.又因为ab=A,所以.,一,二,三,3.做一做:下列各种情况中,一条直线垂直于一个平面内的:三角形的两条边;梯形的两条边;圆的两条直径;正六边形的两条边.不能保证该直线与平面垂直的是() A.B. C.D. 解析:因为线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须相交,而中不能确定两条边是否相交,故不能保证该直线与平面垂直,故选C. 答案:C,一,二,三,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)若直线l垂直于平面内任意直线,则有l.

5、() (2)若直线l垂直于内的一个凸五边形的两条边,则有l. () (3)垂直于同一条直线的两条直线平行. () (4)垂直于同一条直线的两条直线垂直. () (5)垂直于同一个平面的两条直线平行. () (6)垂直于同一条直线的直线和平面平行. () 答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,线面垂直的判定 【例1】如图所示,直角ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点. (1)求证:SD平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD平面SAC. 思路分析:由于D是AC的中点,SA=SC,则SD是SAC的高,连接BD,可证S

6、DBSDA.由于AB=BC,所以RtABC是等腰直角三角形,则BDAC,利用线面垂直的判定定理即可得证.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,证明:(1)因为SA=SC,D为AC的中点, 所以SDAC. 在RtABC中,连接BD. 则AD=DC=BD.又因为SB=SA,SD=SD, 所以ADSBDS.所以SDBD. 又ACBD=D,所以SD平面ABC. (2)因为BA=BC,D为AC的中点,所以BDAC. 又由(1)知SDBD, ACSD=D,所以BD平面SAC.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.利用直线与平面垂直的判定定理来判定直线与平面垂直的步骤: (1)在这个

7、平面内找两条直线,使它们和这条直线垂直; (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线; (3)根据判定定理得出结论. 2.利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧: 证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练1如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,DD1=2,点P为DD1的中点.求证:直线PB1平面PAC. 证明:连接B1C,由题知PC2=2, =3,B1C2=5, 所

8、以PB1C是直角三角形,所以PB1PC. 同理可得PB1PA. 因为PCPA=P,所以直线PB1平面PAC.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,线面垂直的判定定理与推论的综合应用 【例2】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN平面A1DC. 求证:MNAD1. 证明:因为ADD1A1为正方形, 所以AD1A1D. 又因为CD平面ADD1A1, 所以CDAD1. 因为A1DCD=D, 所以AD1平面A1DC. 又因为MN平面A1DC, 所以MNAD1.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.平面内证明线线平行的四种方法: (

9、1)两条直线被第三条直线所截,若同位角相等(或内错角相等或同旁内角互补),则两直线平行. (2)三角形中位线、梯形中位线的性质. (3)平行四边形对边平行的性质. (4)平行线分线段成比例定理. 2.空间中证明线线平行的四种方法: (1)(基本性质4)平行于同一条直线的两条直线平行. (2)(线面平行的性质定理)如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行. (3)(面面平行的性质定理)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. (4)(线面垂直的性质定理)如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.,探究一,探究二,探究三,探究四,

10、思维辨析,平行关系与垂直关系的综合 【例3】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN平面A1DC.求证:MNAD1. 思路分析:先证出AD1平面A1DC,再利用线面垂直的性质易知MNAD1. 证明:因为ADD1A1为正方形, 所以AD1A1D. 又因为CD平面ADD1A1, 所以CDAD1. 因为A1DCD=D, 所以AD1平面A1DC. 又因为MN平面A1DC,所以MNAD1.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟平行关系与垂直关系之间的相互转化,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,例3中把条件“MN平面A1DC”改为“M是

11、AB中点”,求证:MN平面A1DC. 证明:连接BD1,AD1,则依题意可知NBD1,且在BD1A中,N为D1B的中点,M为AB的中点, MNAD1. 由上例题3的结论“AD1平面A1DC”. MN平面A1DC.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,距离问题 【例4】如图所示,已知P为ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离. 思路分析:作出点到平面的垂线,进一步求出垂线段的长.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,证明:过P作PO平面ABC于点O,连接AO,BO,CO, 所以POOA,POOB,POOC. 因为PA=PB=PC=a,

12、所以PAOPBOPCO. 所以OA=OB=OC,所以O为ABC的外心. 因为PA,PB,PC两两垂直,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟求点到平面距离的基本步骤是:(1)找到或作出要求的距离;(2)使所求距离在某一个三角形中;(3)在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练2在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA平面ABCD,且PA=1,取对角线BD上一点E,连接PE,PEDE,则PE的长为. 解析:如图所示,连接AE. 因为PA平面ABCD, BD平面ABCD, 所以PABD. 又因为BDPE,PAPE=P, 所以BD平面

13、PAE,所以BDAE.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,忘记分类讨论而致误 【典例】 已知:线段AB的中点为O,O平面.求证:A,B两点到平面的距离相等. 错解如图所示,过点A,B作平面的垂线,垂足分别为A1,B1,则AA1,BB1分别是点A、点B到平面的距离.在RtAA1O和RtBB1O中, AO=BO,B1OB=A1OA, 所以RtAOA1RtBOB1, 所以AA1=BB1,即A,B两点到平面的距离相等.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范? 提示:错误的原因有两种:一是忽略了AB的情况;二是认为AOA1

14、和BOB1为对顶角而相等,其实应说明B1,O,A1三点共线才行.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,正解:(1)当线段AB平面时,显然A,B到平面的距离均为0,相等. (2)当AB平面时,如图,分别过点A,B作平面的垂线,垂足分别为A1,B1,则AA1,BB1分别是点A、点B到平面的距离,且AA1BB1. 所以AA1与BB1确定一个平面,设为,则=A1B1.因为OAB,AB,所以O. 又因为O,所以OA1B1. 所以AOA1=BOB1. 又AA1A1O,BB1B1O,AO=BO, 所以RtAA1ORtBB1O. 所以AA1=BB1,即A,B两点到平面的距离相等.,探究一,探究二,探究三

15、,探究四,思维辨析,防范措施为了避免以上错误,要注意: (1)不要将平面几何中的思维模式照搬至立体几何中; (2)没有图示参考的证明类问题,自己作图时一定要考虑全面,既要照顾一般情形,还不要忘记特殊情形.,1,2,3,4,5,1.有下列命题: 平行于同一平面的两直线平行; 垂直于同一平面的两直线平行; 平行于同一直线的两平面平行; 垂直于同一直线的两平面平行. 其中正确的有() A.和B.和 C.和D.和 答案:A,1,2,3,4,5,2.如图所示,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的个数是() BD平面CB1D1;AC1BD;AC1平面CB1D1. A.0B.1C.2D.3 答

16、案:A,1,2,3,4,5,3.如图所示,AB是O的直径,PA平面O,C为圆周上一点,AB=5 cm,AC=2 cm,则B到平面PAC的距离为.,1,2,3,4,5,解析:连接BC,因为 C为圆周上的一点,AB为直径, 所以BCAC. 又因为PA平面O,BC平面O, 所以PABC. 又因为PAAC=A, 所以BC平面PAC,C为垂足, 所以BC即为B到平面PAC的距离. 在RtABC中,1,2,3,4,5,4.如图所示,=l,PA,PB,垂足分别为A,B,a,aAB. 求证:al. 证明:因为PA,l, 所以PAl. 同理PBl. 因为PAPB=P, 所以l平面PAB. 因为PA,a,所以PAa. 因为aAB,PAAB=A, 所以a平面P