常用的数学思维方法.ppt

1、第三讲 常用方法 一 分类方法 二 数形结合方法 三 特殊化方法,数学思维方法,主讲：孙凤钧 2012.8,第一节 分类方法 一、分类方法 1、分类及其要素 分类是根据对象的相同点和差异点将对象区分为不同种类的基本的逻辑方法，分类也叫划分。 数学中的分类是，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种思想方法。,分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类；从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。 分类具有三要素: （1）母项，即被划分的对象； （2）子项，即划分后所得的类概念； （3）

2、根据，即划分的标准。,2、分类标准 分类的关键在于正确地选择分类标准。一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象，进行不重复、无遗漏的划分。 例如，将平行四边形分成矩形、菱形、正方形是不恰当的。因为在矩形和菱形中都包含正方形，而且还存在大量的既不是矩形也不是菱形的平行四边形。又如，将自然数分为质数和合数也是不正确的，因为遗漏掉“l”这个既非质数又非合数的自然数。,对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。例如,三角形的分类可按角、边分类。 有些数学对象比较复杂，仅仅进行一次分类，不足以将问题讨论清楚，需要进一步对其中一类或几类继续分类，既进行多级分类。在多级分类中，常常采用“二

3、分法”，也就是按某一性质的有无进行分类。例如，对复数的分类等。,3、现象分类与本质分类 数学分类有现象分类和本质分类的区别。所谓现象分类，是指仅仅根据数学对象的外部特征或外部联系进行分类。这种分类往往把本质上相同的对象分为不同的类别，而把本质上不相同的对象归为同一类别。所谓本质分类，即根据事物的本质特征或内部联系进行分类。,对数学对象的本质分类有个逐步深化的过程。 只是到了20世纪30年代前后，法国的布尔巴基学派深人研究了整个数学的全貌才提出了新的分类方法。他们从全部数学中提炼出三种母结构：代数结构、序结构和拓扑结构，把所有的数学按照这三种结构的不同组合加以分类。,二、分类的原则 任何分类，都

4、必须遵循下列四个原则。 1、不重复 不重复，即要求分类应是纯粹的。 2、无遗漏 无遗漏，即要求分类应是完备的，从量的方面要求一个不能少。,3、标准同一 是在一次分类中只能按同一标准进行，两者不可混淆。 4、按层次逐步划分 分类应取被分类概念最邻近的概念按步骤进行，不能越级，应按层次逐步进行。否则就会出现越级划分的错误。,三、分类方法的应用 1、分类可使知识条理化、系统化 通过分类可以使大量繁杂的知识条理化、系统化，有助于人们更好地掌握知识和形成良好的知识结构，并为进行分门别类的深人研究创造条件。,2、分类讨论 所谓分类讨论，就是在解决问题时，根据解题需要对问题进行科学的、合理的分类，然后逐类进

5、行讨论，从而使问题得到圆满解决。数学教学中引起“分类讨论”的原因大致有如下几个方面。,(1)由概念的定义引起的讨论 数学中许多概念的定义是分类给出的，如绝对值、平方根、一元二次方程的实根个数与系数的关系等。当题目中涉及到这些概念时就需要进行分类讨论。,（2）由运算性质、运算法则引起的讨论 因为数学中有些运算性质、运算法则是分类给出的，如不等式的运算性质，就是按不等号两边同乘（除）以正、负数的不同而决定不等号方向是否改变。又如，在除法运算中必须考虑零不能作除数等。因此，解答这类问题时需要进行分类讨论。,（3）由图形位置的不确定性引起的讨论 有些几何问题，根据题设不能只用一个图形表达题意，必须仔细

6、、全面地考虑各种可能的不同位置关系，然后分类讨论，逐一加以解决。,分析 必须考虑到在直线n外的两点A，B与直线n的位置关系是不确定的，有两点在直线n的同侧与异侧两种情况 .,（4）由问题中含有字母参数引起的讨论 许多数学问题中含有字母参数，随着参数取值的不同，会使问题出现不同的结果。遇到这类问题，需要对字母参数的取值情况进行讨论。,（5）由于问题提供的情景比较复杂需要分类讨论,解法一 由于“任取4只鞋子，其中至少有2只配成1双”，实际上包括两种情况： 一类是，4只中只有2只配成一双。 另一类是，4只中恰好配成两双。,解法二 如果没有限制条件，从5双中任取4只，共有120种取法。所有这些取法可以

7、分为两类： 一类是，4只中没有2只能配成一双的取法； 另一类是，4只中至少有2只配成一双的取法，这正是所要求的取法。,第二节 数形结合方法 一、数形结合方法 1、数和形的内在联系 数学的研究对象大致可以分成两类：一类是研究数量关系的；一类是研究空间形式的。数和形是数学的两个基本概念，全部数学大体上就是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而逐步展开的。,2、数形结合方法 所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。 数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的，既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象

8、。,因此，在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。人们总是充分运用数形结合、数形转化的方法解决各种数学问题。 在高考题中，充分利用选择题和填空题的题型特点，突出考查学生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题来解决的意识。解答题中的考查以由“形”到“数”的转化为主。,二、数形结合方法的应用 1、由数想形 根据数学问题中“数”的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用几何图形的特征、规律来研究解决问题，可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系。借助几何直观解题还可以避免一些复杂的计算和字母讨论。,分析：根据二次三项式的几何意义，

9、已知不等式组意味着抛物线上的点介于直线y0、与y二4之间。,提示：构造几何图形。,2、见形思数 某些有关几何图形性质的问题，可转化为数量关系的问题，借助代数运算、三角运算或向量运算，常可化难为易，获得简单易行的解题方案。,提示：利用相交弦定理。,分析1：利用向量法证明。 分析2：可用三垂线定理。,分析：这是解析几何中的轨迹问题，注意到正方形具有等边、等角的特点，利用复数可求解。,复数具有代数式、三角式、向量式、指数式等多种表示形式，沟通了数与形之间的联系，这就决定了复数应用的广泛性和灵活性。用复数解决几何问题的基本思路是，根据问题的特点选取相应的复数表示形式，将题设条件转化为相应的复数关系式，

10、即几何问题转化为复数问题，从而借助复数的计算与推理，使得问题得以解决。,3、坐标法 坐标法解决几何问题的基本思路是，首先根据几何问题的特点建立适当的坐标系，然后将几何问题转化为代数问题，经过计算和推理，获得有关的代数结论，最后再通过坐标系将代数结论转化为几何结论，从而求得原几何问题的答案。,三、数形结合的局限性 “数形结合”作为一个重要的数学思想方法，以其直观、形象、简洁等特点，深受人们青睐。我们在充分肯定其优越性的同时，也应看到它所具有的局限性。只有对“数形结合”拥有全面、辩证的认识，才能扬其所长、避其所短，更好地用好数形结合方法。,1、由不精确图形诱导出错误直观,错解 在同一坐标系中作出两

11、个函数的图象。发现它们有三个交点，故选（ B ）， 正确答案是D。,2、由不等价转换引出错误,3、数形互换循环论证,错误分析：利用凹函数的直观图形来证明不等式，而此不等式正是凹函数的定义，因此构成了循环论证，所以不能以正切函数的图像特征作为论证的依据。,利用周期性作图，得交点有31个。,练习题：,分析：用代数法求此二元函数的最小值不易达到目的。可将其表达式与“形”结合起来构造几何模型求解。观察表达式的形式，发现与两点间的距离公式相似。可解。,5。已知正数a,b,c,A,B,C满足条件: a+A=b+B=c+C=k. 求证：aB+bC+cAk的平方.,分析：利用三个三角形面积小于正三角形的面积。

12、,分析1：转化为点到直线的距离。,分析2：转化为三角问题，即,7. 已知锐角三角形ABC，求证： sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,9。关于x的方程 有三个不同的实数根，则实数a的值是_ 。,10。已知直线y=x+m与函数 的图象有两个不同的交点，则m的取值范围是_ 。,分析：转化为直线与半圆的位置关系问题。,分析：转化为y=x+a与另一曲线关系位置问题。,分析1：转化为椭圆的参数方程问题。,分析2：转化为均值不等式问题。,分析：转化为直线与圆相切的问题，验值即可。,分析：求导后，可转化为抛物线问题求解。,第三节 特殊化方法 一、特殊化方法 1、特殊化的含义 所谓特殊

13、化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法。,2、用特殊化解决问题的过程 用特殊化解决问题的一般过程：若面对的问题A解决起来比较困难，可以先将A特殊化为A，因为X与A相比较，外延变小，因此内涵势必增多，所以由A所导出的结论B ，它包含的内涵一般也会比较多。把信息B反馈到问题A中，就会为问题解决提供一些新的信息，再去推导结论B就会比较容易一些。若解决问题A仍有困难，则可对A再次进行特殊化，进一步增加信息量，如此反复多次，最终推得结论B，使问题A得以解决。,二、特殊化方法的应用 大数学家希尔伯特说：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要

14、的作用，可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未获成功的原因，就在于这样的事实，即有一些比手头问题更简单、更容易的问题没有完全解决，或者完全没有解决。这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们，这种方法是克服数学难题的最重要的杠杆之一。”,上面这段话深刻地揭示了特殊化的重要作用。特殊化方法在数学教学中的应用大致有以下四个方面。 1利用特殊值（图形）解选择题 当符合题设条件的对象或元素很多并且结论惟一时，如果直接求解比较困难，不妨在符合条件的范围内选择一个或几个特殊的值（图形）加以考察通过推理或计算，作出正确的判断。,分析：取n=1即可。,分析：取特

15、值，30、60、90度和45、45、90度的三角形，可排除A，B，C，则选D。,分析：取特例，当三角形的三顶点非常接近时即边长很小时，排除A，B，C，则选D。,2利用特殊化探求问题结论 某些与定值、定点、定直线有关的问题，可用特殊化将问题引向极端，舍去不确定的因素，先求出这个定值、定点或定直线，从而使解题方向更加明确。,分析：取x=1,y=1.,分析：取三角形的中心.,分析：过P作EF/OB或OA.,3利用特例检验一般结果 一个公式是否正确，可以取特例加以验证。若发现公式对特例不成立，就可肯定记忆有错；但是公式对特例成立并不能断定该公式就正确。在解题过程中有时需要进行比较复杂而又冗长的计算，最

16、终算得的结果又不“漂亮”，对所得答案的正确性自己感到吃不准。这时就可以用特例帮助检验其正确性。若对特例不成立，则计算必定有误；若对特例结果成立，虽然还不能断定计算结果一定正确，但至少可增强我们对答案的信任程度。,方法一：求出前几项的和，猜想结果。,4、利用特殊化探索解题思路 利用特殊化往往能够帮助我们探索解题思路。 首先，问题经过特殊化处理后，能帮助我们获得该问题某一侧面的一些信息，有时只要经过几次这样的特殊优后，就能帮助我们了解问题的全貌，从而根到解决问题的方法。,其次，在求解某些较为复杂的问题时，特殊化往往能帮助我们发现问题的关键，从而使问题更加容易解决。 再次，当问题的答案不推一，有多种

17、可能时，这时特殊化常常能帮助我们发现这些不同情况，从而求得问题的完整答案。,此外，在轨迹问题中，特殊化可以帮助我们了解图形的大致形状、界定图形的范围；在极值问题中，特殊化可以帮助我们检验问题的答案；当我们产生一些不正确的猜想时，特殊化可以帮助我们发现其谬误；等等。,分析：先降元，两个元，再三元；即,分析：先降维，当n=1时，结论不成立；,当n=2时，结论成立； 推想n为奇数时，结论不成立； n为偶数时，结论成立。,分析：先举特例2，3，5，6，12，30，42等非平方数； 和4，9，16，25，36，49等平方数； 发现正约数成对出现； 故可证。,分析：先特殊，看平行四边形，可证。,分析：先特

18、殊化，取m=0，可得。,分析：一般情况都对。但特殊化，取a,b之一与点P与a,b确定的两平面的交线c平行时 ，就不存在。,三、特殊化与一般化的辨证关系,1、有时特殊情况与一般情况等价 通常情况下，特殊不能代替一般；但有时，特殊情况确实能与一般情况等价。,显然，命题1命题2，这是因为一般包含着特殊。现在提出两个问题。 问题1 有没有可能命题2 命题1呢？ 问题2 要是问题1的回答是肯定的，那么它能给我们提供一些什么方便呢？ 问题1的回答是肯定的。现给出证明如下：,考察n个正数,由于它们的积是1，故,即,以上证明了命题2命题1， 但由于命题1 命题2， 所以命题1命题2。 然而命题2又是命题1的特

19、殊情况，这样，我们就顺便发现了一件非常有趣的事情： 有时特殊情况与一般情况等价。,这项发现并非只有理论上的价值。事实上，既然“有时特殊情况与一般情况等价”，我们想要证明一般命题1，只要证明特殊命题2就可以了。显然，证明命题2要比证明命题1来得容易。于是，我们在不知不觉中已经回答了问题2（注：命题2可用数学归纳法证明，在此从略）。,2特殊化与一般化协同运用 例2 勾股定理的证明。 此例是由波利亚给出的，证法的巧妙之处在于协同运用了一般化与特殊化。为保留波利亚陈述此问题的风格，现抄录他在名著数学与猜想中第二章所叙述的勾股定理的证明方法如下：,（1）人们来考察一个直角三角形，它的边分别是a,b,c,

20、我们需要证明:,这个公式提示我们，得在这个直角三角形的三条边上分别作一个正方形,从而得到图1：,（2）发现，甚至非常简单的发现，也需要下一些功夫，需要认出某种关系。在复合图形的熟悉的图1和不太熟悉的图2之间留心作类比，我们可以发现如下的事实：那个出现在图1中的直角三角形在图2中被垂直于其斜边的高分成了两部分。,（3）也许，你未能看出图1和图2之间可作类比之处。然而，这个类比是可以明显看出的，那就是把图3视为图1和图2的共同推广。在图3里再一次看出，还是那个直角三角形，但在它的三条边上分别画有三个彼此相似，而且是任意形状的多边形。,现在，假设结论是正确的，则下面的方程也将是正确的。,（4）图1中画在斜边上的正方形面积是 ，图3中画在斜边上的多边形面积可令其等于 ，因为