初三第八讲二次函数(三)解析式求法及最值

1、第第 7 7 讲讲二次函数解析式的求法及最值二次函数解析式的求法及最值 一、知识梳理：一、知识梳理： 知识点知识点 1 1、二次函数的三种表达形式、二次函数的三种表达形式 （1 1） 、一般式：、一般式： ： y ax2bxca 0 如：如：y 2x23x4 （2 2） 、顶点式：、顶点式：y ax x0 2 y 0 a 0 如：如：y 2x35 2 （3 3） 、 交点式交点式 （分解式）（分解式） ：y a 知识点二：二次函数的最值：知识点二：二次函数的最值： x x 1 x x 2 a 0 如：如：y 3x2x4 1、y 2x35，当x 时，y有最值是； 2 2、y 3x 6x7，当x

2、时，y有最值是； 2 3、y 3x1x5，当x 时，y有最值是； 知识点三：利用二次函数研究“最大利润”：知识点三：利用二次函数研究“最大利润”： 利用二次函数解决实际问题中的最值问题（如最大利润）的步骤为： （1）分析题意，设出自变量 x ，根据题中两个变量之间的关系列出二次函数关系式； （2）利用公式法或者配方法求出其最大（小）值； （3）结合相关问题写出结果。 二、精典题型例析：二、精典题型例析： 考点一：已知图象过一般的三个点的坐标，求解析式：考点一：已知图象过一般的三个点的坐标，求解析式： 例例1 1、已知二次函数的图象经过A（1,0）、B（1,6）、C（2,3）三点，求二次函数的

3、解析式。 变形练习：变形练习：已知二次函数的图象经过A（1,4）、B（1,0）、C（2,3）三点，求二次函数 的解析式。 考点二、已知图象顶点的坐标或对称轴，求解析式：考点二、已知图象顶点的坐标或对称轴，求解析式： 例例 2 2、 （2012 无锡）若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是 A（2，1） ，且经过点 B（1，0） ，求抛物 线的函数关系式 变形练习：变形练习：已知二次函数的最大值是5，其图象的对称轴为直线x=2，且与 y 轴相交的点的 纵坐标为-3，求此二次函数的解析式。 考点三、已知图象与考点三、已知图象与 X X 轴的交点坐标，求解析式：轴的交点坐标，求解析式： 例例 3

4、3、已知抛物线y ax bxc经过点（2，0） ， （4，0）和（0，3） ，求二次函数的 解析式。 变形练习：变形练习：1 1、 已知抛物线y ax bxc经过点（2，0） ， （0，1） ，且对称轴是x 1， 求二次函数的解析式。 2 2、已知抛物线、已知抛物线 y=xy=x -kx+k+1,-kx+k+1, 根据下列条件，求根据下列条件，求 k k 的值。的值。 （1） 顶点在 x 轴上,则 K=_；（2） 顶点在 y 轴上,则 K=_； （3） 抛物线在 y 轴上的截距为-2,则 K=_； （4） 抛物线过点（-1，-2） ，则 K=_； （5） 抛物线过原点,则 K=_；（6） 当

5、x=-1 时，函数有最小值,则_； （7） 抛物线的最小值为-1,则 K=_； （8） 抛物线在 x 轴上截得的线段为1,则 K=_。 考点四、已知图象求解析式考点四、已知图象求解析式 例例 4. 4.（2007 贵阳）二次函数y ax bxc(a 0)的图象如图 1 所示，求函数的解析式。 y 3 2 1 234x 1O 1 2 2 2 2 2 1 y 变式练习：变式练习： （2007 河北省） 如图 2， 已知二次函数y ax24xc的 图像经过点 A 和点 B （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q 均在该函数图像上（其中 m0）

6、 ， 且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到 x 轴的距离 1 O 3 A 1 x 9 B 考点五、求二次函数的最值考点五、求二次函数的最值 例例 5 5求二次函数y x 2x3的最值。 （用两种方法） 变式训练：变式训练：1 1、求自变量在一定范围内的二次函数的最值 分别在下列范围内求函数y x 2x3的最小值和最大值。 （1）0 x 2（2）2 x 3（3）3 x 0 2、（2012湖南省张家界市25 题12 分） .如图， 抛物线 2 2 y x2 5 3x 2与x轴交于 C、 3 A 两点，与 y 轴交于点 B，OB=2 点 O 关于直线 AB 的对称点为 D. （1） 分

7、别求出点 A、点 B 的坐标 （2） 求直线 AB 的解析式 （3） 若反比例函数y k 的图像过点 D，求k值. x （4）两动点 P、Q 同时从点 A 出发，分别沿 AB、AO 方向向 B、O 移动，点 P 每秒移动 1 个单位，点Q 每秒移动 1 个单位，设POQ 的面积为 S，移动时间为t,问：S 是否存在最 2 大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t 值，若不存在，请说明理由. y D P 2 B OQAC x 考点六、应用问题中的最值问题考点六、应用问题中的最值问题 例例 6 6： （2011 黄冈）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对 该特产的销售投

8、资收益为： 每投入x万元， 可获得利润P 1 2 当 x60 41（万元） 100 地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项 目每年最多可投入 100 万元的销售投资， 在实施规划 5 年的前两年中， 每年都从 100 万元中 拨出 50 万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 3 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入x万元， 可获利润Q 99294 2100 x 100 x160（万元） 1005 若不进行开发，求 5 年所获利润的最大值是多少？ 若按规划实施，求 5 年所获利润（扣除修路

9、后）的最大值是多少？ 根据、，该方案是否具有实施价值？ 变式训练：变式训练： （20122012 湖南长沙湖南长沙 1010 分）分）在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发 展低碳经济，我市某公司以25 万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100 万元购买 生产设备，进行该产品的生产加工已知生产这种产品的成本价为每件20 元经过市场调 研发现，该产品的销售单价定在25 元到 30 元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万 40 x25 x 30 件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为：y . 250.5x 30x 35 （年获利=年销售收入生产成本投资成本） （1）当销售单

10、价定为 28 元时，该产品的年销售量为多少万件？ （2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式，并说明 投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利， 最大利润是多少？若亏损， 最小亏损是多 少？ （3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z 万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10 万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品， 就抽出一元钱作为捐款 若除去第一年的 最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5 万元，请你确定此时销售单价的范围 望子成龙学校九年级数学秋季班【家庭作业】望子成龙学校九年级数学秋季班【家庭作业】 校区：

11、校区：第第_次课次课姓名：姓名：_作业等级：作业等级：_ 第一部分第一部分 1、 （2010七中）抛物线y x 6x3在区间0 x 4内的最大值是，最小 2 值是。 2、 已知二次函数 y=ax2+bx+c, 当 x=1 时， 有最值为 16， 且它在 x 轴上截得的线段为 8。 则 a、b、c 的值是_。 第二部分：第二部分： 3、若抛物线的对称轴是x 2， 且经过点 （1,4） 和（5，0） ，则二次函数的解析式为_ 4、已知抛物线y ax bx c与y 2x 1的形状相同，且当x=-2 时，函数有最 大值是 3，求此抛物线的解析式。 第三部分：第三部分： 5、 （天津中考）某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季 某一段时间内，甲种水果的销售利润 y 甲 （万元）与进货量x（吨）近似满足函数关系 22 y 甲 0.3x ；乙种水果的销售利润 y 乙 （万元）与进货量x（吨）近似满足函数关系 y 乙 ax2bx(a 0)， 且进货量 x 为 1 吨时， 销售利润y 乙 为 1.4 万元， 进货量 x 为 2 吨时， 销售利润y 乙 为 2.6 万元。 （1）求y 乙 （万元）与 x（吨）之间的