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文档简介

1、,上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的，我们还想知道随机变量取值偏离平均值的程度。,方差,为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其均值附近的离散程度.,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,测量结果的均值都是 a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮

2、射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .,方差定义,由于标准差与X 具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用。通常期望用希腊字母表示，标准差用表示。,方差的算术平方根 称为标准差,定义：设 X 是一个随机变量，若 EX-E(X)2 存在，则称,D(X)=EX-E(X)2,为随机变量X 的方差.,(2)若X 的取值比较分散，则方差较大 .,(3)若方差D(X)=0,则随机变量 X 以概率1取常数值。,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .,(1)若X 的取值比较集中，则方差较小；,D(X)=EX-E(X)2,方差的计算公式,(1)定义式：,(2)常用式：,事实上

3、：,例题1：已知二维离散型随机变量的X，Y分布律为,求 X、Y 的方差。,解：显然要先求出边缘分布律。,从而：,例题2：设随机变量X的分布函数为：,求D(X),D(F(X)。,解：y=F(x)是一个连续函数，故X是连续型随机变量，求导可得概率密度函数：,从而 XU(0,4),事实上这个题好象可以推广!请同学们自行考虑!,方差的性质,(1) 常数的方差为0即 D(C)=0。,事实上：,(2) 常数乘随机变量的方差：,(3) 随机变量线性函数的方差：,方差的性质,(4) 独立随机变量和的方差：,(5) 方差为0的充要条件是随机变量以概率1取常数。,例题3：求二项分布的数学期望与方差。,解：根据n重贝努里模型，X表示在n重贝努里试验中事件A发生的次数，p为A发生的概率。,令 Xi=第i次试验中事件A发生的次数=0,1 i=1,2,n，则每个 Xi服从 0-1分布。,由于各个试验是独立的，故n个随机变量 Xi (i=1,2,n)也是相互独立的，从而有,例题4：求正态分布的数学期望与方差。,解：先将随机变量X标准化即令,常见分布的数学期望与方差,(1)（0-1）分布,事实上：,(2)二项分布：,

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