材料力学9 -弯曲强度.ppt

1、第四章 弯曲强度,材料力学,剪力方程,弯矩方程,剪力随横截面变化的函数表达式,弯矩随横截面变化的函数表达式,剪力(FS ), 与横截面的法向垂直的内力,剪力图,弯矩图,剪力随横截面的变化曲线,弯矩随横截面的变化曲线,弯矩(M ),横截面上的内力偶矩,剪力与弯矩梁的内力,二、符号规定,剪力与弯矩梁的内力,剪力与弯矩的正负号规则,弯矩M 使梁产生上凹、下凸变形的弯矩为正；反之为负。,剪力图和弯矩图,2.剪力正值画在x轴上方，负值画在下方。,做法：,1.横轴表示横截面位置，纵轴表示剪力或弯矩。,剪力图和弯矩图,3.弯矩正值画在x轴下方，负值画在上方。,弯矩图在受拉边!,作剪力图和弯矩图的方法：,1.

2、列方程法,2.叠加法,3.控制点法,剪力图和弯矩图,1. 剪力、弯矩与分布荷载间的关系,对dx 段进行平衡分析，有：,q(x),q(x),M(x)+d M(x),FS(x)+d FS(x),FS(x),M(x),dx,A,y,剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。,4.1 平面弯曲梁的内力,五, 剪力,弯矩与分布载荷之间的关系,q(x),M(x)+d M(x),FS(x)+d FS(x),FS(x),M(x),dx,A,y,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。,弯矩与荷载集度的关系是：,4.1 平面弯曲梁的内力,简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的

3、方法。,例4 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。,解: 利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。,特殊点: 端点、分区点（外力变化点）和 驻点等。,4.1 平面弯曲梁的内力,左端点：,分区点A：,M 的驻点：,右端点：,FS,x,x,M,4.1 平面弯曲梁的内力,多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。,适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。,4.1 平面弯曲梁的内力,六, 叠加原理作弯矩图,步骤： 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 将其相应的纵坐标叠加即可,例6按叠加原理作弯矩图(A

4、B=2a，力P作用在梁AB的中点处）。,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,=,+,4.1 平面弯曲梁的内力,例7 作下列图示梁的内力图。,P,PL,PL,0.5P,0.5P,0.5P,0.5P,P,0,0.5P,0.5P,0.5P,P,4.1 平面弯曲梁的内力,P,PL,PL,0.5P,0.5P,0.5P,0.5P,P,0,M,x,M1,x,M2,x,0.5PL,PL,0.5PL,0.5PL,4.1 平面弯曲梁的内力,例9 已知Q图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。,Q(kN),x,1m,1m,2m,2,3,1,5kN,1kN,q=2kN/m,M(kNm),x,1,1,1.25,4.

5、1 平面弯曲梁的内力,2、曲杆：轴线为曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。,例11 已知：如图所示，P及R 。试绘制Q、M、N 图。,P,解：建立极坐标，O为极点，OB 极轴，q表示截面mm的位置。,A,B,4.1 平面弯曲梁的内力,P,A,B,M图,Q图,N图,2PR,P,P,4.1 平面弯曲梁的内力,(2),q,q,q,q,=,+,=,+,3qa2/2,qa2/2,qa2,4.1 平面弯曲梁的内力,即：,由此得到,FS、M和q之间的微分关系梁的平衡微分方程,剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系,微分关系对应表,剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系,二、突变条件,突变条件对应表,

6、剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系,控制点法画剪力图与弯矩图主要步骤：, 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制点(面)。, 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值 (假定剪力和弯矩都为正方向)。, 建立FS一x和M一x坐标系，并将控制点(面)上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。, 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。, 剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,例 9,梁由一个固定铰支座和一个可动铰支座所支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称为外伸梁(overhanging beam)。梁的受力以及各部分尺寸均示于图中。,试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪

7、力和弯矩绝对值的最大值。,解：1确定约束力,根据梁的整体平衡，由,求得A、F 二处的约束力, 剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,解：2确定控制面,由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的C截面，以及集中力qa左侧的D截面，也都是控制面。,3建立坐标系 建立FSx和Mx坐标系, 剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,解：4确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FSx和Mx坐标系中。, 剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,5根据微分关系连图线 对于剪力图：在AB段，因有均布载荷作用，剪力图为一斜直线，于是连接a、b两点，即得这一段的剪力图；在CD段，因无分布载荷作用，

8、故剪力图为平行于x轴的直线，由连接c、d二点而得，或者由其中任一点作平行于x轴的直线而得。, 剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,5根据微分关系连图线 对于弯矩图：在AB段，因有均布载荷作用，图形为二次抛物线。又因为q向下为负，弯矩图为凸向M坐标正方向的抛物线。于是，AB段内弯矩图的形状便大致确定。为了确定曲线的位置，除AB段上两个控制面上弯矩数值外，还需确定在这一段内二次抛物线有没有极值点，以及极值点的位置和极值点的弯矩数值。从剪力图上可以看出，在e点剪力为零。, 剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,6确定弯矩图极值点的位置。, 剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,7确定剪力与弯矩的最大绝对值,从

9、图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为, 剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,注意到在右边支座处，由于约束力的作用，该处剪力图有突变（支座两侧截面剪力不等）弯矩图在该处出现折点（弯矩图的曲线段在该处的切线斜率不等于斜直线cd的斜率）。, 剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,返回,返回总目录,B,简单刚架的组成横梁、立柱与刚节点。, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,刚架若干杆件通过刚性连接而成的结构。, 面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分量轴力、剪力和弯矩。,特 点, 内力分量的正负号与观察者位置的关系：,轴力的正负号与观察者位置无关；,剪力

10、的正负号与观察者位置无关；,弯矩的正负号与观察者位置有关。, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,轴力的正负号与观察者位置无关, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,剪力的正负号与观察者位置无关, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,弯矩的正负号与观察者位置有关, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,刚架内力图的画法,(1) 无需建立坐标系； (2) 控制面、平衡微分方程； (3) 弯矩的数值标在受拉边;,(4) 轴力、剪力画在里侧和外侧均可， 但需标出正负号；,(5) 注意节点处的平衡关系。, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,例10 试作图示刚架的内力图。,P1,P2,a,l,

11、A,B,C,N 图,Q 图,M 图,P1a+ P2 l,4.1 平面弯曲梁的内力,节点处的平衡关系,B, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,例 13,已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。,B,试：画出刚架的内力图。, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,B,解：1、确定约束力, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,解：2、确定控制面。, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,解：3、确定控制面上的内力。,考察立柱AB的平衡, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,解：3、确定控制面上的内力。,考察 横梁BC的平衡, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度, 将控制面上的剪力和弯矩分别

12、标在FS和M坐标中。, 根据微分关系连图线。, 剪力图标上正负号。, 弯矩图画在受拉的一侧。, 刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,力系简化方法应用于确定控制面上剪力和弯矩, 结论与讨论,第四章 弯曲强度, 确定控制面上剪力和弯矩有几种方法？怎样确定弯矩图上极值点处的弯矩数值？, 结论与讨论,第四章 弯曲强度,平衡微分关系的灵活应用, 通过平衡微分方程的积分确定弯矩图上极值点处的弯矩数值。, 结论与讨论,第四章 弯曲强度,平衡微分关系的灵活应用,任一段梁上，剪力增量等于q 图的面积 弯矩增量等于剪力图的面积。,纯弯曲梁的正应力,第四章 弯曲强度,一、纯弯曲与横力弯曲的概念,二、纯弯曲梁的正应

13、力,三、横力弯曲梁的正应力,纯 弯 曲,横力弯曲,横截面上只有M、没有FS的弯曲,横截面上既有M、又有FS的弯曲,剪切弯曲,一、纯弯曲与横力弯曲的概念,纯弯曲梁的正应力,1. 实验分析,二、纯弯曲梁的正应力,纯弯曲梁的正应力,纯弯曲梁的正应力,1. 实验分析,纵向线:,变形现象：,上层纤维缩短，下层纤维伸长,仍为直线，相对旋转了一角度,弯成了相互平行的弧线，仍与横向线垂直,二、纯弯曲梁的正应力,横向线:,纯弯曲梁的正应力,纯弯曲梁的正应力,平面假设,假设：,(2) 纵向线处于简单拉伸或压缩状态单向受力假设,(1) 横截面变形后仍为平面，且仍垂直于梁的轴线,(3) 同一高度上的纵向线的变形相同,

14、横截面上只有正应力,横截面上同一高度的正应力相等,平面假设,纯弯曲梁的正应力,中性层,中性轴,既不伸长、也不缩短的纵向层,横截面, 弯曲时各横截面绕其中性轴旋转,中性轴,横截面与中性层的交线,两个名词：,中性层,纯弯曲梁的正应力,2. 公式推导,(1) 变形几何学方面,(2) 物理学方面,纯弯曲梁的正应力,中性层曲率半径,(3) 静力学方面, z 轴必须通过横截面的形心,对称图形 Iyz0 自然满足,EIz 梁的抗弯刚度，,反映梁抵抗弯曲变形的能力,纯弯曲梁的正应力,或,横截面上的正应力,与横截面的形状和尺寸有关，,单位：m3,抗弯截面系数,最大正应力,纯弯曲梁的正应力,常用截面Wz：,纯弯曲梁的正应力,三、横力弯曲梁的正应力,在横力弯曲情况下：,横截面上既有正应力，又有切应力,可按纯弯曲梁的正应力公式计算横力弯曲梁的正应力,横截面将发生翘曲，不再保持为平面,精确的分析表明：,当 时,纯弯曲梁的正应力,纯弯曲梁的正应力,例 求1-1截面上的D与E点的正应力以及梁,的最大正应力。,解：,1. D与E点的应力,解：,2.梁的最大应力,纯弯曲梁的正应力,例 求1-1截面上的D与E点的正应力以及梁,的