概率论 第二章 随机向量及其分布2.ppt

1、2.4 随机向量及其分布,一、 联 合 分 布 二、 边 缘 分 布 三、 条 件 分 布,CH2,Allied Distribution,Random vectors,以 为顶点而位于左下 方的无穷矩形区域内的概率。,Distribution law,非负性 归一性,非负性 归一性,非负性 归一性,Uniform Distribution,Normal Distribution,Parameter（参数）,二维正态分布图,二维正态分布图,二维正态分布剖面图,Boundary Distribution,重 要 结 论,CH2,CH2,Conditional Distribution,三、条件分

2、布,CH2,练习一：设二维随机变量 的概率密度为 求,练习二：设数 在区间（0, 1）上随机的取值，当观察到 时，数 在区间（ , 1）上随机的取值。求 的概率密度 。,Independence of random variables,Equivalence,Necessary and sufficient condition,例：设 求 。,解：由题设条件知，,而且 与 相互独立，故,CH2,练习1：设二维随机向量 的概率密度为 求 并判断 与 是否相互独立。,练习2：设二维随机向量 的概率分布为 问其中的 取什么值时 与 相互独立？,2.6 随机变量函数的分布,一.离散型随机变量函数的分布

3、 二.连续型随机变量函数的分布 三.两个随机变量函数的分布,CH2,Distributions of function of random variables,当 时，,练习1：设 求 的概率分布。,练习2：设 求 的概率分布。,练习3：设 求证,练习4：设 ，求 的概率分布。,练习1：设 则 服从 分布。,练习3：设 且 与 相互独立，则 服从 分布。,练习2：设 则 服从 分布。,推 广,例2-28：设系统 由两个相互独立的子系统 联接而成，联接方式分别为串联、并联、备用，如图所示。设 的寿命分别为 ，其概率分布分别为 其中 且 ，是分别就以下三种情况写出 的寿命 的概率分布。,解：（1）

4、串联情况： 的寿命为,又由题设条件知,从而得 的分布函数为,于是 的分布密度为,注：独立指数分布变量的最小值仍服从指数分布，可推广至n个变量的情况。,（2）并联情况： 的寿命,则 的分布函数为,从而 的分布密度为,（3）备用情况： 的寿命,则由卷积公式知，当 时，,于是 的分布密度为,有关正态分布的几个结论,一维正态分布,（1） 分布的密度函数为 ，分布函数为 ，则有,（2）设 分布的密度函数为 ，分布函数为 ，则,（3） ，则,特别的，,（4） ，则,若 且相互独立，则,（5） 且相互独立，则,进一步，若 且相互独立，则,二维正态分布,（1）若 ，则,（2）若 ，则,与 相互独立 。,选择1

5、：设 与 相互独立且同分布：,则下式中成立的是 。,选择2：设 的分布列为,-1 0 1,且 ，则 。,选择3：设两个相互独立的 和 分别 服从 和 ，则下式中成立的是 。,分析：由条件可知,再由正态分布的性质即可得正确答案。,填空1：设相互独立的两个随机变量 具有同一分布律，且 的分布律为,0 1,1/2 1/2,则随机变量 的分布列为 。,填空2：设 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为 又设 ， ，则二维随机向量 的分布律为 。,练习：设随机向量 的概率密度为 （1）确定常数 ； （2）求 ； （3）求 ； （4）求 。,填空3：设 和 ：,则 。,CH2,练习：设随

6、机向量 的概率密度为,（1）问 和 是否相互独立？,（2）求 的概率密度。,讨 论 课,问 题 的 提 出 某教室原有4只灯泡用于照明，现根据照明需要对教室进行改造，改造后用于照明的灯泡增加到24只，但改造后，教室管理人员抱怨灯泡更容易坏了，需要经常更换灯泡，试建立模型说明管理人员的抱怨是否有道理，解释其中的原因，并给出合理的建议。,模 型 假 设,1.所有灯泡的使用寿命相互独立； 2.灯泡的寿命服从指数分布； 3.改造前后使用的灯泡的型号相同。,模 型 求 解,结 果 分 析,改 进 建 议,1、设 的 为 则 的概率分布为 。,分析：在 的连续点， ，,只有在 的间断点处 取值的概率才大于

7、0，且,则有,即,2、设 的概率密度为,以 表示对 的三次独立重复观察中事件 出现的次数，则 。,分析：由归一性，易知 ，则,由题意知， ，则,3、设 ，且 ，则,分析：由 ，可知,再由 ，可得 ，,从而，,4、设 ， ，若 ， 则 ， 。,分析：由 ，以及 ，,可得,解得,从而可知,则,5、设 ，且 ，则,分析：由题设条件可知,从而可得 ，,则,1、设 ， ，记 ，则 。,对任何实数 都有 ；,对任何实数 都有 ；,对任何实数 都有 ；,仅对 的个别值有 。,分析：,2、设 ，则随着 的增大，概率,单调增加,单调减少,保持不变,增减不定,分析：,三、某种型号器件的寿命 （小时）具有以下概率密

8、度,现有一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？,分析：每只器件寿命大于1500的概率为,以 表示这5件器件中寿命大于1500小时的只数，则,从而所求概率即为 ，,类似思考：设顾客在某银行窗口等待服务的时间 （分钟）服从参数为5的指数分布，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次，以 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出 的分布律，并求 。,五、有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过。设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0002，在某天的这段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？,分析：以 表示通过的这1000辆车中出事故的辆数，,则,即求,而由于,故可由泊松定理近似计算，直接查泊松分布表得其概率。,思考：一台设备由三个大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2和0.3，假设各部件的状态相互独立，以 表示同时需要调整的部件数，试求 的概率分布。,对比思考：一台设备由三个大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率均为0.2，假设各部件的状态相互独立，以 表示同时需要调整的部件数，试求 的概率分布。,练习：如果在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的泊松分布。已知在一分钟内