1.4 协方差传播律.ppt

1、,1、几个名词,回 顾,2、一个事实 不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。 3、基本假设 在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差服从正态分布。 4、统计规律 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零； 绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大； 绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同； 偶然误差的理论平均值为零。,回 顾,1.4 协方差传播律,现在提出这样几个问题： 观测值函数的精度如何评定？ 观测值函数中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？ 如何从观测值的中误差得到观测值函数

2、中误差？ 这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。,1.4 协方差传播律,协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。 描述观测值方差与观测值函数方差之间的关系式。,1.4 协方差传播律,例如，在一个三角形中，观测了三内角、 、 ，其闭合差 和将闭合差平均分配后所得的各角的最或然值 、 、 分别为,1.4 协方差传播律,1.4 协方差传播律,又例如，图中A和B为已知点，为了确定P的平面坐标，观测了边长s和角度。,P点坐标为：,内容安排,一、基本概念 二、观测值线性函数的方差 三、多个观测值线性函数的协方差阵 四、非线性函数的协方差传播 五、协方差传播律的应用,1

3、.4 协方差传播律,一、基本概念,协方差 2. 相关 3. 协方差阵,协方差是用数学期望来定义的。设有观测值向量X和Y,它们的协方差定义为：,1. 协方差,由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量， “不相关”与“独立”是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。,2. 相关,如果协方差为零，表示这两个（或两组）观测值的误差之间是不相关的，并称这些观测值为不相关观测值；,如果协方差不为零，则表示它们的误差之间是相关的，称这些观测值是相关观测值。,2. 相关,在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角度和方向等，都是独立观测值，而经过计

4、算才得到的观测量就不是独立观测值或称为相关观测值。,假定有 个不同精度的相关观测值 ，数学期望和方差分别为 和 ，它们两两之间的协方差为 ,用矩阵表示为:,，,3. 方差-协方差阵,(1-20),为观测值向量的方差-协方差阵，简称为协方差阵。,注意: 矩阵中各元素的含义,3. 方差-协方差阵,X独立时,X独立同精度时,设有观测值向量 和 ，它们的数学期望分别为 和 。令： ;则 的方差阵为：,3. 方差-协方差阵,是X关于Y的互协方差阵。,即与互为转置。,当 和 的维数 （即 、都是一个观测值）时，互协方差阵就是 关于 的协方差。,若，则称与是相互独立的观测向量。,3. 方差-协方差阵,内容安

5、排,一、基本概念 二、观测值线性函数的方差 三、多个观测值线性函数的协方差阵 四、非线性函数的协方差传播 五、协方差传播律的应用,1.4 协方差传播律,设有观测值向量 ，其数学期望为 ，协方差阵为 ,即,又设有的线性函数为：,二、观测值线性函数的方差,如何求Z的方差？,协方差传播律,二、观测值线性函数的方差,则,令：,当向量中的各分量 两两独立时,二、观测值线性函数的方差,的纯量形式：,（中误差传播律）,则：,二、观测值线性函数的方差,线性函数的协方差传播律：,设有函数：,函数的协方差阵 =函数的系数阵自变量的协方差阵系数阵的转置阵,最后写成:,例1-2 在1：500的图上，量得两点间的距离

6、d=23.4mm, d的测量中误差为 =0.2mm，求该两点实地距离 及中误差 。,解：,例1-3L1、L2、L3为独立观测值，已知其中误差，,例1-4在测站A上，BAC=，观测角1和2的中误差和它们的协方差分别为,内容安排,一、基本概念 二、观测值线性函数的方差 三、多个观测值线性函数的协方差阵 四、非线性函数的协方差传播 五、协方差传播律的应用,1.4 协方差传播律,设有观测值向量,三、多个观测值线性函数的协方差阵,令：,现求Z的协方差阵？,三、多个观测值线性函数的协方差阵,若有t个X的线性函数：,函数： 函数的协方差阵：,三、多个观测值线性函数的协方差阵,推导过程：,Z的协方差阵：,协方

7、差传播律,设另有的r个线性函数：,三、多个观测值线性函数的协方差阵,三、多个观测值线性函数的协方差阵,已知协方差阵的变量的函数。,协方差传播律,技巧：,将要求协方差阵的量表示成,求： 、 、 、 、 、 、,例: 设有函数：,的协方差阵 ， 的协方差阵 ， 关于 的互协方差阵为 ，其中 为常系数阵。且,1计算 、 、,2计算,3 计算,5 计算,或:,解：,例1-5:设在一个三角形中，同精度独立观测到三个内角值 、 、 ，其中误差均为 。试求将闭合差平均分配后的各角最或然值 、 、 的协方差阵。,（提示：把 表示成 的函数）,应用协方差传播律得:,内容安排,一、基本概念 二、观测值线性函数的方

8、差 三、多个观测值线性函数的协方差阵 四、非线性函数的协方差传播 五、协方差传播律的应用,1.4 协方差传播律,设有观测值 的非线性函数,已知X的协方差阵 ,求Z的方差 。,四、非线性函数的协方差传播,1单个非线性函数,为了求非线性函数的方差，只要对它求全微分就可以了。,设有观测值 的多个非线性函数,四、非线性函数的协方差传播,2多个非线性函数,将函数求全微分得,两组非线性函数时怎么做？,例1：量得某矩形的长和宽为 和 ，且 ，计算该矩形面积的方差。,解： 面积：,线性化:,用协方差传播律得：,先取对数然后再全微分能简化计算,例2: 设： ， 和 的方差为零， 的方差为 ， 的方差为 ，且 计算 ？,解:,点位方差也可用下式计算：,通常 称为纵向方差，它是由边长BP方差引起的。在BP边的垂直方向的方差 称为横向方差，它是由边的坐标方位角的方差引起的。,在测量工作中，常用点位方差来衡量点的精度，点位方差等于该点在两个互相垂直方向上的方差之和，即：,1.按要求写出函数式：,2.若函数为非线性的，则对函数求全微分进