概率统计和随机过程课件122遍历过程与马尔科夫链.ppt

1、遍历过程 与 马尔科夫链,1,内 容 复 习,严平稳过程,一定义1 随机过程 ，如果对任意 维,分布函数,任意实数 ,满足:,则称 为严平稳过程,或称狭义平稳过程.,2,广义平稳过程,(一) 广义平稳过程的定义,定义2 设随机过程 ,对于任意 ,满足:,(1) 存在且有限;,(2) 是常数;,(3) 仅依赖于 ,而与 无关,则称 为广义平稳过程,或称宽平稳过程,简称平稳过程.,3,严平稳过程与广义平稳过程的关系,推论 存在二阶矩的严平稳过程必定是广义平稳过程.,1.广义平稳过程,不一定是严平稳过程.,2.严平稳过程,(如果二阶矩不存在),不一定 是广义平稳过程,4,定义 如果随机过程 ,对任意

2、正整数 ,服从正态分布,则称 为正态过程.,正态平稳过程,设 是正态过程, 服从正态分布,则,必存在,即二阶矩存在.,5,二. 正态平稳过程,定义 如果正态过程 又是(广义)平稳过程,则,称 为正态平稳过程.,定理二：设 是正态过程.,则 为严平稳过程 为广义平稳过程.,6,例2 设 是正态平稳过程,且,令,证明: 是平稳过程.,7,第四节 遍历过程(历经过程),一. 时间均值和时间相关函数,上的函数平均值定义为,在 上的函数平均值定义为,当 变化时,8,对于参数 的平均值,通常称为随机过程,的时间均值.,显然 是一个随机变量.,在任意 处, 给任意实数 ，过程在 和 的两个,记为,9,定义7

3、,称为随机过程 的时间相关函数.,(显然它是一个随机过程. ),对随机过程,时间均值,定义,10,时间相关函数,例1 求随机相位正弦波,(记住这个例题的结论,以后要用),11,12,二. 各态遍历性,定义8 设 是一个平稳过程 或,数, 且,的均值具有各态遍历性;,注：,13,(2) 如果,则称过程 的自相关函数具有各态遍历性.,(3) 均值和自相关函数都具有各态遍历性 的平稳过程称为遍历过程,或说,该平稳过程,具有遍历性.,(三) 遍历过程的例子,14,不具各态遍历性的例子：,例2 设 是一个随机变量,且,则 (1) 是平稳过程;,(2) 的均值不具有各态遍历性.,解,15,四. 平稳过程具

4、有各态遍历性的判别定理,引理 设 是一个平稳过程,则它的,时间均值的数学期望和方差分别为,16,定理三 (均值各态遍历定理)平稳过程,的均值具有各态遍历性的充要条件是,近似计算 提供依据.,五：引入遍历过程的目的,应用意义,17,例1 设 是以 为周期的随机相位周期,过程,即满足( 是周期函数),其中 是在 上服从均匀分布的随机变量.,试证: (1) 是平稳过程;,(2) 是遍历过程.,18,19,20,21,例2 设平稳过程 的自相关函数,以概率1成立。,提示：,22,例3,解：,23,24,第十三章 马尔可夫链,马尔可夫过程是一类特殊的随机过程,最初是由俄国数学家马尔可夫1896年,生物学

5、,经济,管理,教育,气象物理,化学等等.,马尔可夫链,是离散状态的马尔可夫过程,提出和研究的应用十分广泛,其应用领域涉 及计算机,通信,自动.控制,随机服务,可靠性,25,例：一维随机游动,一个质点在直线上的五个位置:0, 1, 2, 3, 4做随机,游动.当它处在位置1或2或3时,以的1/3概率向左移,动一步而以2/3的概率向右移动一步;当它到达位置,0时,以概率1返回位置1;当它到达位置4时以概率1停,留在该位置上(称位置0为反射壁,称位置4为吸收壁).,26,0,1,2,3,4,1,2/3,2/3,2/3,1/3,1/3,1/3,1,27,28,第一节 马尔可夫链的定义,一定义1 设随机

6、过程 的状态空间 是,有限集或可列集, 对于 T 内任意n+1个,参数 和 内任意 个状态,如果条件概率,(1),29,恒成立,则称此过程为马尔可夫链.,式(1)称为马尔可夫性,或称无后效性.,注：,30,系统现时情况的条件下,系统将来的发展变化 与系统的过去无关.我们称之为无后效性.,许多实际问题都具有这种无后效性.,例如 生物基因遗传从这一代到下一代的 转移中仅依赖于这一代而与以往各代无关.,31,马氏性的直观含义可以解释如下:,将 看作为现在时刻, 就是过去时,刻,而 则是将来时刻.于是, (1) 式是说,当已知,二 马尔可夫链的分类,状态空间 是离散的(有限集或可列集), 参数集,可为离散或连续的两类.,三 离散参数马尔可夫链,（1）转移概率,定义2 在离散参数马尔可夫链,中,条件概率 称为 在,32,时刻(参数) 由状态 一步转移到状态 的一步转移,概率,简称转移概率.,条件概率 称为 在