《一维波动方程》PPT课件.ppt

1、2 一维波动方程,1,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,2 一维波动方程,2,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,2 一维波动方程,2.1. 齐次波动方程的Cauchy问题和特征线法,最简单的一维齐次双曲型方程是关于无界弦的自由振动问题, 在忽略其边界的影响时，它可归结为如下的定解问题 (2.1) 满足初始条件 (2.2) 其中 是一个正常数，函数 是定义在区间 上的已知函数.,2 一维波动方程,3,特征线法是求解一维双曲型方程Cauchy问题最基本的方法，这个方法的实质是将方程沿特征线积分. 由第三章的特征概念知, 方程(2.1)的特征方程是 由此求得特征曲线为 其中 为任意常数. 为了将

2、方程(2.1)化成第一标准型, 引入自变量变换 即把特征线当作坐标线，则方程(2.1)变成 (2.3),偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,2 一维波动方程,4,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,改写(2.3)为 可以看出 不依赖于 变量, 于是有 其中 是 的任意连续可微函数, 再对 积分, 得到 若令 ,可得 其中 和 都是任意的二阶连续可微函数. 回到原来的变量 和 , 于是波动方程(2.1) 的通解为 (2.4),2 一维波动方程,5,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,现在我们利用初始条件(2.2)来确定任意函数 和 , 由等式(2.4)有 对等式(2.6)积分, 得出 其中是 任

3、意常数. 由等式(2.5)和(2.7)解出和为 代入(2.4),我们得到 这个公式称为Cauchy问题的达朗贝尔(DAlembert)公式.,(2.5),(2.6),(2.7),2 一维波动方程,6,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,到目前为止, 表达式(2.8)还只能说是Cauchy问题(2.1), (2.2)的形式解. 为了使它确实是Cauchy问题(2.1), (2.2) 的解, 我们需要对初值 加上一定的条件. 定理4.3 若 , 则由DAlembert公式(2.8)表示的函数 是Cauchy问题(2.1), (2.2)解. 证明留作习题，请读者自己完成. 下面我们讨论Cauchy问

4、题(2.1), (2.2)解的稳定性.,定理4.4 假设对任意给定 的, 总可找到这样的 , 当初始数据 与 满足不等式 时, 则与之相对应的Cauchy问题的解 与 满足,2 一维波动方程,7,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,证:只要取 即可. 综上所述，Cauchy问题(2.1), (2.2)的解是适定的. 另一方面，若将方程(2.1)写成如下算子形式 且令 , 则可以得到如下一阶线性偏微分方程组 (2.9) 按照第二章关于一阶线性偏微分方程的求解，我们也可以获得DAlembert公式(2.8).,2 一维波动方程,8,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,上面对弦振动方程求解的特征线法

5、, 亦适用于类似方程的Cauchy问题.,例1 求解Cauchy问题 (2.10) 其中 和 都是已知函数. 解: 容易求出(2.10)中的方程的特征曲线 作自变量变换,2 一维波动方程,9,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,就可把(2.10)中的方程化成标准型 为了求出方程(2.11)的通解, 我们令 则方程(2.11)化为 若把 看作参数, 方程(2.13)就是以 为自变量的线性常微分方程, 其通解可写为 其中 是 的任意函数. 将此表达式代入方程(2.12), 得,(2.13),(2.11),(2.12),2 一维波动方程,10,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,再对 求积分, 便得方程(2.11)的通解 其中 是 的任意函数. 若令 , 上式可写成 其中 和 都是其变元的任意连续可微函数. 变回到原来的变量 和 , 便得到方程(2.10)的通解为,(2.14),下面我们利用(2.10)中的初始条件来确定任意函数 和 .首先,容易得到下面两个等式： (2.15),2 一维波动方程,11,偏微分方程教程第四章双曲型方程,对 微分(2.15),得 用 乘以上式再与(2.16)相加,得 由此推得 其中 为任意常数. 再将 的表达式代入(2.15), 得,(2.16),2 一维波动方程,12,偏微分方程教程第四章双曲