第2章误差与不确定度.ppt

1、第二章 误差与不确定度,本章要点：,误差的概念与表示方法,随机误差、系统误差和粗大误差的特性和处理方法,测量不确定度的概念和评定方法,测量数据处理的方法,本章是测量技术中的基本理论，搞测量就得 与误差打交道。,误差的合成与分配,2.1 误差的概念与表示方法,误差=测量值-真值,例如，在电压测量中，电压真值5V，测得的电压为5.3V，则,误差= 5.3V - 5V = +0.3V,问题：5V真值怎么知道的？,真值是一个理想的概念。真值客观存在，却难以获得。,2.1.1 测量误差,例如：现在是什么时间？ 能准确地报出北京时刻吗？,1.误差的概念,在通用计量术语及定义（JJF1001-1998）中，

2、量的真值 true valueof quantity 是“与给定的特定量的定义一致的值。” 并注明： 量的真值只有通过完善的测量才有可能获得； 真值按其本性是不确定的； 与给定的特定量定义一致的值不一定只有一个。,真值是一个理想的概念，真值虽然是客观存在，但却又难以获得。因为自然界任何物体都处于永恒的运动中，一个量在不同时间、空间都会发生变化，从而有不同的真值。故真值应是指在瞬间条件下的值，一般来说是无法通过完善的测量来获得。,例如：某个5号电池，标称电压1.5v，真值是多少？-,很难确定！,和在JJF1001-2011通用计量学术及定义技术规范中，将“测量误差”定义为：,在国际计量学词汇-通

3、用基本概念及相关术语（VIM）2006第3版中：,测量误差=测得量值-参考量值,巧妙地采用“参考量值”这个词，准确合理地摆脱“真值”的困惑！,实用中，对真值或参考量值的处理是用以下3种方法：,实际上对“参考量值”的应用通常是用以下三种办法：,“参考量值”可由理论（或定义）给出 例1：三角形内角和为180度,由国际计量统一定义给出（例如秒的定义为铯原子能级跃迁9192631770个周期的持续时间为1秒）。 1s=9192631770周期,误差=181-180=1,例2：秒的定义, 用“约定真值” 作为“参考量值”, 用“不确定度” 评定测量结果,实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际 值作为

4、真值使用。,“实际值”“约定真值”。,在本章第2、3 、 4 、 5节中讨论误差时是基于“约定真值”己知的条件下进行的。,在本章第6节中详细讨论。逆向思维，回避真值，研究不能确定的程度。例如用卷皮尺量长度，不能确定的范围在毫米量级，而用游标卡尺测量，不能确定的范围在微米量级。,2.基本术语,测量仪器的示值-测量仪器所给出的量的值。 也称测量值、测得值。,尽量不要用具体数量来说准确度。例如：准确度10 mV 只能用某一等级或范围来描述，例如：某电流表为1级表（准确度1%）,测量结果-由测量所得到的赋予被测量的值。 是在示值的基础上经过数据处理后的估计值，包括修正值、平均值及不确定度等。,测量准确

5、度-测量结果与被测量的真值的一致程度。 但由于真值难以获得，故准确度是一个定性概念。,测量的重复性-在相同的测量条件下，对同一测量进行连续多次测量结果之间的一致性，用“r” 表示。 “r” 不能太小，应较大，才能满足重复性的要求。 也称等精度测量-同一个人、同一台仪器、同一地点、同一方法，在短时间内进行重复测量。 例：用数字电压表测量电压16次。,测量的复现性-在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。 也称再现性-换了个人，换了台仪器，在另外的时间地点进行测量，其结果不能超出的范围，“R”表示。 R 大则容易满足复现性。 例：不同人用不同的电压表测量市电，都是220v左右。,3

6、. 误差的来源, 仪器误差,指针式仪表的零点漂移、刻度误差以及非线性引起误差；,数字式仪表的量化误差（如6位半的电压表比3位半量化误差小）；,比较式仪表中标准量本身的误差 （如天平的砝码）均为仪器误差。,1.999999V,1.999V,非线性,V,mV, 方法误差,由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。,例如：用普通模拟式万用表测量高阻上的电压。,电压表内阻,习题2.10被测电阻Rx，电压表的内阻为RV，电流表的内阻为RI,对于图（a）当电压表内阻RV很大时可选a方案。 对于图（b）当电流表内阻RI很小时可用b方案。, 理论误差,测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似值计

7、算测量结果时所引起的误差称为理论误差。例如，用谐振法测量 频率时，常用的公式为,但实际上，回路电感L中总存在损耗电阻r，其准确的公为, 影响误差,由于各种环境因素与要求不一致所造成的误差称为影响误差。 例如，环境温度、预热时间、电源电压、内部噪声、电磁干扰 等条件与要求不一致，使仪表产生的误差。, 人身误差,由于测量者的分辨能力、疲劳程度、责任心等主观因素，使测 量数据不准确所引起的误差。,研究误差理论的目的是分析产生误差的原因和规律，识别误差 的性质，正确处理测量数据，合理计算所得结果，在一定测量 条件下，尽力设法减少误差，保证测量误差在容许的范围内。,1.绝对误差：,定义：被测量的测量值x

8、与其真值A0之差，称为绝对误差。,在实际测量中：,“约定真值”“实际值”= A 表示,修正值：与绝对误差大小相等，符号相反的量值称为修正值， 一般用C表示,2 相对误差：,例： 用二只电压表V1和V2分别测量两个电压值。,V1 表测量150伏，绝对误差x1=1.5伏，,V2 表测量10伏， 绝对误差x2=0.5伏,从绝对误差来比较 x1 x2 谁准确？,-表示相对误差,相对误差可以有多种形式：,真值相对误差,实际值相对误差,测量值（示值）相对误差,满度（或引用）相对误差,常用,因通常A0、A、X X 故常用X方便,测量值相对误差x与满度相对误差S%的关系：,测量值x靠近满量程值xm相对误差小,

9、电工仪表将满度相对误差分为七个等级：,例：检定量程为1000A的0.2级电流表，在500A刻度上标 准表读数为499A，问此电流表是否合格？,解： x0=499A x=500A xm=1000A,（0.2级表）,用分贝（dB）表示相对误差,相对误差也可用对数形式（分贝数）表示，主要用于功率、 电压的增益（衰减）的测量中。,功率等电参数用dB表示的相对误差为,电压、电流等参数用dB表示的相对误差为,随机误差-不可预定方式变化的误差（同随机变量）,系统误差-按一定规律变化的误差,粗大误差-显著偏离实际值的误差,下面分别介绍比较严格的定义,在国家计量技术规范通用计量术语及定义（JF1001-1998

10、）中，系统误差定义为：“在重复性条件下，对同一被测量无限多次测量所得的结果的平均值与被测量的真值之差。”用表示系统误差，即,1. 系统误差,（2.11）,（2.12）,即 为无限多次测量结果的平均值（概率论中的数学期望），这里简称为总体均值。,在国家计量技术规范通用计量术语及定义（JG10011998）中，随机误差定义为：“测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。”用表示随机误差，即,2. 随机误差,随机误差定义表示：在重复性条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器相同的条件下），每次测量误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化的误差，简称随差。,（

11、2.13）,3. 粗大误差,在一定条件下，测量值显著偏离其真值（或约定真值）所对应的误差，称为粗大误差。,粗大误差产生原因：主要是 读数错误 测量方法不对 瞬间干扰 仪器工作不正常等。,对粗大误差的处理通常是按一定的法则进行剔除,4. 三种误差的关系,系统误差 小，准确度高,系统误差和随机误差都较小，称精确度高,x= + + (粗大误差),首先剔除去,定性的概念：,由（2.1）式误差的定义：,式（2.14）表示误差等于随机误差和系统误差相加的关系。图2.2给出了这些误差之间关系的示意图。,（2.14）,定量的概念：,定量的概念：,2.2 随机误差,2.2.1 定义与性质,随机误差定义： ：“测

12、量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。”,随机误差概念-不可预定方式变化的误差（同随机变量）,举例：对一电阻进行n=100次重复性测量,表 2.2 按大小排列的重复性测量结果,将表2.2中数据画成直方图,随机误差性质：服从正态分布，具有以下4个特性：,对称性绝对值相等的正误差与负 误差出现的次数相等；,单峰性绝对值小的误差比绝对值 大的误差出现次数多；,有界性绝对值很大的误差出现的 机会极少，不会超出一定的界限；,抵偿性当测量次数趋于无穷大， 随机误差的平均值将趋于零。,2.2.2 随机误差的统计处理,随机误差与随机变量的类同关系,1.数学期望,设x1，x2

13、，xi，为离散型随机变量X的可能取值，相应 概率为p1，p2，pi，其级数和为,若,绝对收敛，则称其和数为数学期望，记为E(X),在统计学中，,期望与均值是同一概念,算术平均值与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律 可知，若测量次数无限增加，则算术平均值,必然趋于实际值。,2.方差、标准差,方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。,随机变量X的方差为X与其期望E（X）之差的平方的期望， 记为D（X），即,例：两批电池的测量数据,误差离散性小,误差离散性大,正态分布,在概率论和误差理论的研究中，已充分论证了绝大多数随机误差 的分布规律都可以用正态分布来描述，正态分布的概率密度函数

14、为正态分布,当知道正态分布的两个基本参数：算术平均值,和标准差，该,正态分布的曲线形状则基本确定。,给出了,时，三条不同标准差的正态分布曲线：,。标准差小，曲线尖锐，说明测量误差小的数据,占优势大，即测量精度高。,本书附录A给出了正态分布在对称区间的积分表。其中,式中k为包含因子(或置信因子)，a为所设的区间宽度的一半。,K=1时，,K=2时，,K=3时，,图2.7 正态分布下不同区间出现的概率,2.2.3 有限次测值的算术平均值和标准差,上述正态分布是（n）下求得的，但在实际测量中只能进行 有限次测量,1.有限次测量的算术平均值,对同一量值作一系列等精度独立测量，其测量列中的全部测量 值的算

15、术平均值与被测量的真值最为接近。,设被测量的真值为，其等精度测量值为x1，x2，xn，则 其算术平均值为,由于,的数学期望为，故算术平均值就是真值的无偏估计值。,实际测量中，通常以算术平均值代替真值。,2.有限次测量数据的标准差贝塞尔公式,上述的标准差是在n的条件下导出的，而实际测量只能做到 有限次。当n为有限次时，可以导出这时标准差为,这就是贝塞尔公式。由于推导中不够严密，故,被称为标,准差的估值，也称实验标准差。,在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分m组 进行测量，每组重复n次测量，则每组数列都会有一个平均值， 由于随机误差的存在，这些平均值并不相同，围绕真值有一定 分散性。

16、这说明有限次测量的算术平均值还存在着误差。当需 要更精密时，应该用算术平均值的标准差,3.平均值的标准差,来评价。,已知算术平均值,为,在概率论中有“几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个 随机变量方差之和”的定理，可进行下面推导,因,故有,所以,当n为有限次时，用标准差的估值即可，则,（2.21）,结论：（2.21）式说明，算术平均值的标准差与 成反比。,即测量次数增加，算术平均值分散性减小，数值更集中了。这是由于随机误差的抵偿性，测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。所以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差。,应当指出：当测量

17、次数n20时，算术平均值的标准差减小速度减慢， 故n不必太大，通常 n5 就可以了。,说明：实用中允许借用已经测得的标准差，这时只要再测23次 则可了。 教材p24,有一个实例，供参考。,注意x上有一横,例2.6 对某信号源的输出频率进行了8次测量，得测量值,的序列(见表2.3) 。求测量值的平均值及标准偏差。,表2.3 例2.6所用数据,解: (1)平均值（注意,这里采用的运算技巧）,(2)用公式,计算各测量值残差列于表2-3中,(3)标准差估值,(4),的标准偏差,因整数位不变,2.15 对某直流稳压电源的输出电压Ux进行了10次测量，测量结果如下：求输出电压Ux的算术平均值及其标准偏差估

18、值,解：Ux的算术平均值,标准偏差估值,残差,习题示范，体会计算过程,2.2.4 测量结果的置信度,1.置信度与置信区间,(百分比),(范围),置信度（置信概率）就是用来描述测量结果处于某一范围内可 靠程度的量，一般用百分数表示。,置信区间，即所选择的这个范围，一般用标准差的倍数表示，,如,给定2个标准差,范围内数据的可信度是百分之几？,条件：必须先知道测值的分布，才能讨论置信问题。,2.正态分布下的置信度,K=1时，,K=2时，,K=3时，,k=3时，即在以3倍标准差3区间内，随机误差出现的概率为 99.73%，而在这个区间外的概率非常小。,图2.7 正态分布下不同区间出现的概率,3. t分

19、布下的置信度 （n20）,在实际测量中，总是进行有限次测量，只能根据贝塞尔公式求 出标准差的估值s(x)，但因测量次数较少（如n20时，测值 不服从正态分布。英国人科萨特（Gosset，但常以 “student” 笔名发表文章）证明了这时服从t分布，也称“学生”氏分布。 t分布的图形如图2.9所示，图形类似于正态分布。但t分布与标 准差无关，与测量次数n关系紧密，从图2.9可以看出，当 n20以后，t分布与正态分布就很接近了。可以用数学证明当 n时，t分布与正态分布完全相同,t分布一般用来解决有限次等精度测量的置信度问题。,例2.9 对某电感进行12次等精度测量，测得的数值（单位mH） 为20

20、.46、20.52、20.50、20.52、20.48、20.47、20.50、 20.49、20.47、20.49、20.51、20.51，若要求在P=95%的 置信概率下，该电感测值应在多大置信区间内？,解：第一步：求出,及,电感的算术平均值,电感的标准差估值,算术平均值标准差估值,第二步： 查附录B：t分布表，由n1=11及P=0.95，查得t=2.20,第三步： 估计电感L的置信区间,，其中,则在95%的置信概率下，电感L的置信区间为20.48mH，20.51mH。,4. 非正态分布,以上分析中都认为测量值和误差是服从正态分布（包括t分布). 在测量实践中会遇到有些情况下，误差是非正态

21、分布的。下面 介绍几种常见的非正态分布曲线及置信度问题。,1)均匀分布,均匀分布又称为等概率分布、矩形分布，是仅次于正态分布的 一种重要分布，如图2.10所示。其特点是在误差范围内，误差 出现的概率各处相同。如仪器中的度盘回差所导致的误差；数 字仪器中的量化误差（在1单位以内不能分辨的误差）；数 据计算中的舍入误差（舍掉的或进位的低位数字的概率是相同 的）等，均为均匀分布误差。,均匀分布的概率密度为,a x b,可以证明，图2.10所示的均匀分布的数学期望为,标准差为,（2.24）,（2.25）,2.2.5 非等精度测量,前面讨论的测量结果是基于等精度测量条件下进行的，这是通 常的测量情况。但

22、有时候，如在科研或高精度测量中，往往在 不同的测量条件下，用不同的仪器，不同的测量方法，不同的 测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，这种测量称为非 （或不）等精度测量。,对于非等精度测量，计算最后测量结果及其精度（如标准差）， 不能套用前面等精度测量的计算公式，需要采用新的计算公式。,1.“权”的概念和确定方法,日常统计中也用“权”的概念，如按学分加权课程统计学生的 各科总平均成绩，以显示学分多的课程重要性。例如，三门学 分为3、1、2课程的加权平均成绩为,2. 加权算术平均值,若对同一被测量进行m组非等精度测量，得到m组测量结果,，设相应的权值为,，则,加权算术平均值为,例2.11 工作

23、基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度分别为999.9425mm（3次测量的），999.9416mm（2次测量的），999.9419mm（5次测量的），求最后测量结果。 解： 按测量次数来确定权：w1=3，w2=2，w3=5 ，取x0=999.94mm，则有,999.94,= 999.9420 mm,3. 加权算术平均值的标准差,对同一被测量进行m组非等精度测量，得到m个测量结果， 各组测量结果的残余误差为,经推导可得加权算术平均值的标准差：,2.3 粗大误差,在一定条件下，测量值显著偏离其实际值所对应的误差。,产生原因：主要是表现为读数错误、测量方法错误、仪器有缺

24、陷、电磁干扰及电压跳动等。,粗大误差无规律可循，故必须当作坏值予以剔除。,剔除是要有一定依据的。在不明原因的情况下， 首先要判断可疑数据是否是粗大误差。其方法的基本思想是给 定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超出置信区间的误差 就认为是粗大误差。具体检验方法常见的有三种：,2.3.1 定义,2.3.2 处理,2.3.3 剔除法则,检验方法常见的有三种：,1 莱特检验法（n200）,3s（x）,2 格拉布斯检验法（理论与实验证明较好）,3 中位数检验法,中位数平均值,大量统计表明，当数据列中没有粗大误差时,991、996、999、1001、1004、1008、1011、1014、1019,Gs

25、,G查p34表2.6,中位数,例,2.3.4 应用举例,例 2.14 对某温度进行多次等精度测量，所得结果列于表2.7中， 试检查数据中有无异常。,表2.7 例 2.12所用数据,(1）莱特检验法 ： 从表中可以看出x8=20.30残差较大，是个 可疑数据，,故可判断x8是异常数据，应予剔除。再对剔除后数据计算得,其余的14个数据的,均小于,，故为正常数据。,（2）格拉布斯检验法,（3）中位数检验法,取置信概率 Pc=0.99，以 n=15查表2.6得 G=2.70,Gs=2.70.033=0.09,，剔除x8后重新计算判别，,得n=14，pc=0.99下G值为 266,GS 2.66 0.0

26、16 0.04,余下数据中无异常值。,20.30，20.39，20.39，20.39，20.40，20.40，20.40，20.41， 20.42，20.42，20.42，20.43，20.43，20.43，20.43,(1)所有的检验法都是人为主观拟定的，至今尚未有统一的规定。这些检验法又都是以正态分布为前提的，当偏离正态分布时，检验可靠性将受影响，特别是测量次数较少时更不可靠。 (2)若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，然后重新计算,(3)在一组测量数据中，可疑数据应极少。否则，说明系统工作不正常。要对异常数据的出现进行分析，找出原因，不要轻易舍去异常数据而放过发现问题的

27、机会。 (4)上述三种检验法中，莱特检验法是以正态分布为依据的，测值数据最好n200，若n10则会失效；格拉布斯检验法理论严密，概率意义明确，实验证明较好；中位数检验法简捷方便，也能满足一般实用要求。,在对粗大误差处理中要注意以下几个问题：,2.4 系统误差,上面所述的随机误差处理方法，是以测量数据中不含有系统 误差为前提。,实际上，测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统 误差数值还比较大。,对系统误差的研究较为复杂和困难，研究新的、有效的发现和 减小系统误差的方法，已成为误差理论的重要课题之一。,2.4.1 系统误差的产生原因,系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成， 这

28、些误差因素是可以掌握的。,1.测量装置方面的因素,仪器机构设计原理上的缺点，如指针式仪表零点未调整正确； 仪器零件制造和安装不正确，如标尺的刻度偏差、刻度盘和 指针的安装偏心、仪器各导轨的误差、天平的臂长不等；仪器 附件制造偏差，如标准环规直径偏差等。,2.环境方面的因素,测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中温度、湿度 等按一定规律变化的误差。,3.测量方法的因素,采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。,4.测量人员方面的因素,由于测量者的个人特点，在刻度上估计读数时，习惯偏于某一 方向；动态测量时，记录某一信号有滞后的倾向。,2.4.2 系统误差的检查和判别,系统误差（简称

29、系差）的特征是：,恒定系差-多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变； 变值系差-条件改变时，误差按一定的规律变化。,1.恒定系统误差的检查和处理,恒定系差（恒差）常用的判断方法有以下几种,1)改变测量条件,测量条件指测量者、测量方法和环境条件等，在某一测量条件下有许多恒差 为一确定不变值，如改变测量条件，就会出现另一个确定的恒差，例如，对 仪表零点的调整。,2)理论分析计算,凡属由于测量方法或测量原理引入的恒差，只要对测量方法和测量原理进行 定量分析，就可找出系差的大小。（分压比校准）,3)用高档仪器比对、校准,用高档仪器定期计量检查，可以确定恒差是否存在，如电子秤校验后，则知 其是偏

30、大还是偏小。用校准后的修正值（数值、曲线、公式或表格）来检查 和消除恒差。,4)统计法（排除随机误差，剩下即系统恒差）,下面分析恒定系统误差对测量结果的影响。,设一系列重复测量值为x1，x2，xn，测量值中含有随机误差i 和恒定 系统误差，设被测量的真值为x0，则有,当n足够多时，,上式表明，当测量次数n足够大时，随机误差对,的影响可忽略，而系统,中。利用修正值 C=可以在进行平均前的每个测量值xi,误差会反映在,中扣除，也可以在得到算术平均值后扣除。对于因测量方法或原理引入的,恒定系差，可通过理论计算修正。,2. 变值系差的判定,常用的有以下两种判据：,1)剩余误差观察法,（a）剩余误差大体

31、上正负相间，且无显著变化规律，可认为不存在系统误差；,（b）剩余误差有规律的递增或递减，且在测量开始与结束误差符号相反，则 存在线性系统误差；,（c）变值系统误差剩余误差符号有规律地由正变负，再由负变正，且循环交替 重复变化，则存在周期性系统误差；,（d）则同时存在线性和周期性系统误差。若测量列中含有不变的系统误差， 用剩余误差观察法则发现不了。,2) 累进性系差的判别马利科夫判据,图2.13(a)(b)表示了与测量条件成线性关系的累进性系统误差，如由于蓄电 池端电压的下降引起的电流下降。在累进性系差的情况下，残差基本上向一 个固定方向变化。,马利科夫判据是常用的判别有无累进性系差的方法。具体

32、步骤是：,将n项剩余误差,按顺序排列；,分成前后两半求和，再求其差值D,当n为偶数时,当n为奇数时,若 则说明测量数据存在累进性系差。,（2.41）,3)周期性系差的判别阿贝赫梅特判据,周期性系差的典型例子是当指针式仪表度盘安装偏心时，会产生这种周期性 系差。,如图 2.14（a）所示，如钟表的轴心在水平方向有一点偏移，设它的指针在 垂直向上的位置时造成的误差为，当指针在水平位置运动时 逐渐减小至零， 当指针运动到垂直向下位置时，误差为-，如此周而复始，造成的误差如图 2.14（b）所示，这类呈规律性交替变换的系统误差称为周期性系统误差。,阿贝赫梅特判据 具体步骤是：, 把测量数据I 项剩余误

33、差,按测量顺序排列；, 将,两两相乘，然后求其和的绝对值,（2.40）, 用贝塞尔公式求方差, 再与方差相比较，若,（2.41）,则可认为存在周期性系统误差。,存在变值系统误差的数据原则上应舍弃不用。但是，若虽然存在变值系差， 而剩余误差最大值处于允许范围以内，则测量数据可用。,2.4.3 削弱系统误差的基本方法：,消除或减弱系统误差应从根源上着手。,1. 零示法,当检流计G中 I=0,G只要示零精度高,2.替代法（置换法）,直流电桥平衡条件,标准可调可读电阻,步骤：1.调R3，使G=0，R3不动； 2.调RS，使G=0，RX=RS,RS为标准电阻箱可调可读,3. 交换法（对照法）,第一次平衡

34、：WXl1=W1l2 第二次平衡：WXl2=W2L1,WXl1WXl2=W1l2W2l1,应当指出，在现代智能仪器中，可以利用微处理器的计算控制功能，消弱或消除仪器的系统误差。利用微处理器消弱系差的方法很多，如直流零位校准、自动校准、相对测量等，可参阅有关的课程。,2.4.4 重复性测量结果的数据处理（重点内容：是不确定度计算基础）,当对某被测量进行重复性测量时，测量值中可能含有系统误差、随机误差和 粗大误差，为了给出正确合理的结果，应按下述基本步骤对测得的数据进行 处理。,1)对测量值进行修正，列出测量值xi 的数据表,2)计算算术平均值,3)列出残差,4)按贝塞尔公式计算标准差的估值,5)

35、按莱特准则,，或格拉布斯准则,粗大误差；若有粗大误差，应逐一剔除后，重新计算,，检查和剔除,和s，再判别,直到无粗大误差；,6)判断有无系统误差，如有应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；,7)算术平均值标准差的估计值,8)写出最后结果的表达式，即,式中k为包含因子，可查表2.4。,例2.15 对某电压进行16次等精度测量，测量数据xi中已记入修 正值，列于表2.8中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。,解：(1)求出算术平均值,(2)计算,列于表中,并验证,(3)计算标准偏差估值:,(4)按莱特准则判断有无,查表中第5个数据,应将对应,视为粗大误差,加以,剔除。现剩下15个数据。,(

36、5)重新计算剩余15个数据的平均值:,及重新计算,列于表2.8中,并验证,(6)重新计算标准偏差,(7)按莱特准则再判断,现各,均小于,则认为剩余15个数据中不再含有粗大误差。,(8)对,作图,判断有无变值系统误差,如图2.18。从图中可见,无明显累进性或周期性系统误差。,图2.18 残差图,(9)计算算术平均值的标准偏差:,(10)写出测量结果表达式:,(取包含因子k=3),第五节 误差的合成与分配,研究：,先讲合成：,例： PIU U和I如何影响 P ？,I=U/R U和R如何影响 I ？,方法：推导一个普遍适用的公式。,2.5.1 测量误差的合成,1 误差传递公式,设,若在,附近各阶偏导

37、数存在，则可把y展为泰勒级数,(“0”点，表示真值、起始点),若用,分别表示x1及,x2分项的误差，由于,的中高阶小量可以略去，则总合的误差为,，则泰勒级数,同理，当总合y由m个分项合成时，可得,即,绝对误差的传递公式 （2.43）,这是绝对误差的传递公式。,例,方案1,方案2,方案3,解：方案1：用公式PIU,由式（2.45）可得,(CU)=CU,则算得功率的相对误差为,P=IU,=U2/R,=I2R,方案2：用公式 P=U2R,由式（2.45）可得,则,求导,（ 1/x ）=-1/x2,方案3：用公式 PI2R,由式（2.45）可得,则,式（2.45）是求绝对误差的公式，在已知各分项误差的

38、相对误 差，求总的相对误差是不方便的。实际上只要对式（2.45）稍 加变换就可以得到求相对误差的公式将式（2.45）两端同除 以y。，同时考虑y为x1=x10，x2=x20时的函数值f则,由数学中用对数求导数的方法,用对数求导数,则可求出相对误差,相对误差传递公式 (2.44）,方案2：,用相对误差传递公式,lnP=2lnU-lnR,若,的函数关系为和、差关系时，,常先求总合的绝对误差，若函数关系为积、商或乘方、开方,关系时，常先求总合的相对误差比较方便。,y=x1+x2-x3,用哪种方法求相对误差方便？,2 系统误差的合成：,由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。由式（2.43）

39、,一般说来各分项误差x由系统误差及随机误差构成，即,（2.45）,若测量中各随机误差可以忽略，则总合的系统误差y可由各分项系统误差合成,（2.46）,若1，2，m为确定性系统误差，则可由上式直接求出总合的系统误差。 对于各分项系统误差不能确定的情况，我们将在后面讨论。,2.5.2 测量误差的分配,这种制定误差分配方案的工作是经常会遇到的，下面介绍一些常见的误 差分配原则。,1.等准确度分配,设 =0 1=2 副边总电压U=880V,则，测量允许的最大总误差为,= U （2）=17. 6 V,例：用量程为500V交流电压表测副边总电压，要求相对误差小于2%，问应选几级电压表？,用引用相对误差为,

40、的电压表测量电压时，若电表的满刻度值为Um，,则可能产生的最大绝对误差为,，这个数值应不大于每个,副圈分配到的测量误差Ui，即要求,可见选用1.5级（1.5%）的电压表能满足测量要求。,可以认为测量误差主要是由于电压表误差造成的，而且由于两次测量的电压 值基本相同，可根据式（2.51）等准确度分配原则分配误差，则,2. 等作用分配,等作用分配是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定相等，但它们对 测量误差总合的作用或者说对总合的影响是相同的，即,由式（2.48）及式（2.49）可求出应分配各分项的误差为,（2.52）,（2.53）,例2.19 通过测电阻上的电压、电流值间接测电阻上消耗的功率，

41、已测出 电流为100mA，电压为3V，算出功率为300mW。若要求功率测量的系 统误差不大于5%，随机误差的标准偏差不大于5mW，问电压和电流的 测量误差多大时才能保证上述功率误差的要求。,在按等作用分配原则进行误差分配以后，可根据实际测量时各分项误差达 到给定要求的困难程度适当进行调节，在满足总误差要求的前提下，对不 容易达到要求的分项适当放宽分配的误差，而对容易达到要求的分项，则 可适当把分给的误差再改小些，以使各分项测量的要求不致难易不均。,2.5.3 最佳测量方案的选择,对于实际测量，我们通常希望测量的准确度越高即误差的总合越小越好。 所谓测量的最佳方案，从误差的角度看就是要做到,（2

42、.54）,（2.55）,当然，若能使上述各式中每一项都能达到最小，总误差就会最小。有时通 过选择合适的测量点能满足这一要求，但是通常各分项误差,是由一些客观条件限定的，所以选择最佳方案的方法一般只是根据现有条件， 了解各分项误差可能达到的最小数值，然后比较各种可能的方案，选择合 成误差最小者作为现有条件下的“最佳”方案。,常用选择方法有：,1.函数形式的选择,当有多种间接测量方案时，各方案的函数表示式不同，应选其中总合误差 最小的函数形式。,前述电阻功率例中，当,，,问采用哪种测量方案较好？,方案1：P=UI,方案2 P= U2R,方案3：P=I2R,可见，在题中给定的各分项误差条件下，应选择

43、第一方案PUI.,2.测量点的选择,在前面引用（满度）相对误差中曾指出，用指针式三用表电压、电流档测量 时，应正确选择量程，使测值靠近满度，即测量点要选在满量程附近，测量 结果的相对误差小。对电阻档测量点应选择何处呢？现介绍一般性方法。,则,由误差合成公式（2.45），可求得绝对误差为,以上介绍的测量误差理论虽然很全面很系统，但却存在两个严重的困惑问题： 逻辑概念上错位, 误差评定方法不统一 例如：随机误差通是用实验标准差s、2s、3s表示？ 系统误差还没有一套通用有效的方法。 已知被测系统的随机误差和系统误差如何求总误差时： 有的是分别给出；有的算术相加；有的平方相加。,以一个已知量求解两个

44、未知量是不成立的方程式，逻辑前提条件不成立。 例如，测量地球到月亮距离的误差是多少？ 算误差时，要为获得参考量值（约定真值）去找高档级仪表,2.6 测量不确定度,2.6.1 测量不确定度的概念,由于真值难以确定，测量结果总是带有不确定性。,在国外，推出了以“不确定度”作为测量误差的数字指标，表示由于测量误差的存在而对被测量不能肯定的度，是测量理论中很重要的一个新概念。,1993年国际标准化组织、国际电工委员会、国际计量局、国际法制计量组织等7个国际组织联合制定发布了Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement（GUM，测量不确定度表

45、示指南）。,我国计量和测量领域内经过多年的深入研究和探讨，于1999年发布了适合我国国情的测量不确定度评定与表示计量技术规范（JJF10591999）这个规范原则上等同采用了GUM的基本内容，是实验测试、产品质量认证和计量检定考核的法律依据，使我国的测试计量标准能与国际通行做法接轨。,发行了许多“宣贯” 资料：,1.不确定度的定义和分类,在测量不确定度评定与表示（JJF1059-1999）中，不确定度（uncertainty）的定义为 ：“表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。 ”。,这种测量不确定度的定义表明：,Y= yU,其中，y是被测量值的估计，通常取多次测量值的算术

46、平均值：,U是测量不确定度，在UGM中规定，这个参数可以是标准偏差s或是s的倍数ks；也可以是具有某置信概率P（例如P= 95或P= 99）下置信区间的半宽。,表征合理地赋予被测量之值的分散性，其置信区间是： 。见下图：,其置信区间是： 。它与真值没有直接关系，但它将真值包含在区间之中了。注意：不确定度U 恒为正值。前面加号只是标明区间的取向，经常用数学符号+，或者号与 U 相联结。,不确定度,标准不确定度,扩展(展伸)不确定度（扩大uC的置信区间，提高置信概率）,A类标准不确定度uA（由多次测值求标准差获得）,B类标准不确定度uB（查已有信息求得）,合成标准不确定度uC（A、B类的合成；多个

47、不确定度合成 ）,不确定度分类：,应当指出，在不确定度的合成中，有时为简化运算也引用相对不确定度的形式（类似相对误差的概念）。,2. 测量不确定度的来源,测量不确定度来源于以下因素：,1）被测量定义的不完善，实现被测量定义的方法不理想，被测量样本不能 代表所定义的被测量。,2）测量装置或仪器的分辨力、抗干扰能力、控制部分稳定性等影响。,3）测量环境的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响。,4）计量标准和标准物质的值本身的不确定度，在数据简化算法中使用的常 数及其他参数值的不确定度，以及在测量过程中引入的近似值的影响。,5）在相同条件下，由随机因素所引起的被测量本身的不稳定性。,3.

48、测量不确定度与误差的关系,误差理论中两个重要概念，不确定度是对经典误差理论的一个补充。,表2.9 误差与不确定度的区别,2.6.2 标准不确定度的评定,用标准差表征的不确定度，称为标准不确定度，用u表示。测量不确定度 所包含的若干个不确定度分量，均是标准不确定度分量，用ui 表示，其 评定方法如下：,1. A类标准不确定度的评定,A类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度u的求法等同于由系列观测 值获得的标准差，即A类标准不确定度就等于标准差，即,标准差的求法同前面随机误差的处理方法，具体步骤归纳如下：,1）对被测量X进行n次测量，得测值x1，x2，xn ；,2）求算术平均值,和剩余误差,3）

49、用贝塞尔公式求标准差的估值:,（2.56）,4）求算术平均值标准差的估值:,（2.57）,5）则A类标准不确定度为:,（2.58）,这里需要说明的是，观测次数n应充分多，才能使A类不确定度的评定可靠， 一般认为n应大于5。但也要视实际情况而定，当A类不确定度分量对合成 标准不确定度的贡献较大时，n不宜太小；反之，n小些关系也不大。,除了这种用标准差计算的A类不确定度之外，其他都属于B类不确定度。,2.B类标准不确定度的评定,B类评定不用统计分析法，而是要从,获得信息,然后求出其分布的估计（概率分布假设）和置信区间（要有一定的经验及 对一般知识有透彻的了解。）,即B类标准不确定度：,（2.61）

50、,包含因子k（或称覆盖因子、置信因子），可查表2.10。 k 一般在23范围内,当估计值x取自有关资料，所给出的测量不确定度Ux为标准差的k倍时，其标准不确定度为：uB=Ux/k （见教材p54 表2.10）,当知区间半宽a 后，要换算为标准差形式，,注意：在2.2.4节用统计概率研究随机误差时，用了置信区间、置信概率及置信因子等名词，而在不确定度研究中，国际上改称为：包含区间、包含概率及包含因子。,例2.22 由手册查得纯铜在温度20时的线膨胀系数a为16.52,/，,并已知该系数a的误差范围为,，求线膨胀系数a的标准不确定度。,解：根据手册提供的信息可认为a 的值以等概率位于区间,至,内，

51、且不可能位于此区间之外，故假设a,服从均匀分布。已知其区间半宽,，则纯铜在温度,为20的线膨胀系数a的标准不确定度为,/,最大允许误差即仪器的最大绝对误差 ，即该仪器的置信区间。其“模”即绝对值， 也就是置信区间的半宽a ，因此,例2.23 数字电压表厂家说明书上给出：仪器校准后12年内，在1V内示值最大允许误差的模为 （这里Ux为读数，Um为量程范围）。设校准后20个月在1V内测量电压，问当测量读数Ux=0.928571V时，其示值误差导致的标准不确定度为多少？ 解：因数字电压表示值误差导致的标准不确定度是由厂家产品质量决定的，不是通过多次测量由标准差求得的，故属B类标准不确定度。,由于最大

52、允许误差在1V量程内对测量值都有影响，即其在1V范围内出现的概率相同，故应属于均匀分布。因此，这里a 即为均匀分布的半宽，按表2.10查得 。,则该数字电压表示值的B类标准不确定度为：,自由度的理解： 如仅有一个测量值，则该测量结果就是被测量的最佳估计值，别无选择，这相当于自由度为零， 式（2.56）计算的标准差s为无穷大，这是不允许的。 若有两个或两个以上的测量值，则有了选择最佳估计值的“自由”。 随着测量次数的增多，自由度也随之增加。自由度愈大，标准差愈可信赖，标准不确定度愈可靠。因此自由度 v 是表达测量可靠程度的量，测量次数n多，可靠性好，则自由度大。,3. 自由度,1)自由度概念,和

53、的项数 n 和的限制数是 1,2)自由度的评定,(1)A类标准不确定度的自由度,对A类评定的标准不确定度，其自由度 即为标准差 的自由度。由于标准差有不同的计算方法，其自由度也有所不同，并且可由相应公式计算出不同的自由度。例如，用贝塞尔法计算的标准差，其自由度= n1。,(2)B类标准不确定度的自由度,由于B类标准不确定度的自由度不是由实验测量计算得到的，也就不存在测量次数的问题，因此原则上也就不存在自由度的概念。,应当指出，自由度的计算除了在求标准差中用到外，主要用在求扩展不确定度查包含因子k表时要用到。,2.6.3 测量不确定度的合成,当测量结果受多种因素影响形成了若干个不确定度分量时，测

54、量结果的标准 不确定度用各标准不确定度分量合成后所得的合成标准不确定度uc表示。,概念：类似误差的合成,下标c是英文combine的第一个字母，表示合成之意。,1) 直接测量量不确定度的合成,设某被测量x有i个A类标准不确定度 ，有j个B类标准不确定度 ,由于通常这些不确定度分量彼此是相互独立的，故该被测量的合成标准不确定度,例2.24 电压测量：,数学模型（或称函数关系）是：,2)间接测量量不确定度的合成（不确定度传播律）,y=(x1，x2，xn),数学模型（或称函数关系）,类同于2.5.1节讨论的误差合成的问题,例2.25 设某测量的数学模型为 ，设 相互独立，其 已知，试求合成不确定度

55、。,式中偏导数 称为灵敏系数，可以简化用符号 表示。,规律：总的相对不确定度等于各项不确定度乘其方次后之平方和。,灵敏系数,应为4,当遇到含积、商式及乘方、开方的数学模式可以仿照式（2.64）写出相对合成标准不确定度的表达式。也可以仿照式（2.44）采用数学中由对数求导数的方法来求相对合成标准不确定度，如式（2.65）。,以上讨论是基于y=(x1，x2，xn)的泰勒级数的一阶近似（忽略了高阶微小变化量）条件下求得的，且各分量互不相关，大多情况下上述简化条件是符合工程应用的。当不满足上述条件时，有明显非线性时，在式（2.63）后还要加上高阶项：,（2.65）,例,2.6.4 扩展（展伸）不确定度

56、,合成标准不确定度可表示测量结果的不确定度，但它仅对应于一个标准差，由其所表示的测量结果 yuc含被测量Y的真值的概率仅为 68。（太严了）,扩展不确定度由合成标准不确定度uC乘以包含因子k 得到，记为U，即,U=kuC,通常规定，除计量学基础研究、基本物理常数测量以及复现国际单位的国际比对可以仅给出合成标准不确定度外，其余绝大部分测量均要求给出测量结果的扩展不确定度。,包含因子k是自由度和置信概率的函数，即 。,通常，置信概率取 P=95%,应是合成标准不确定度uc的自由度,在2左右变化不大,2.6.6 测量不确定度应用实例,1. 测量不确定度计算步骤,综上所述，评定与表示测量不确定度的步骤

57、可归纳为,(1)测量不确定度计算步骤建立数学模型；,(2)求每个直接测量量的合成不确定度,(3)求总的合成不确定度,(4)求扩展不确定,(5)不确定度报告,根据以上测量不确定度计算步骤，下面通过实例说明不确定度评定方法 的应用。,2.电压测量的不确定度计算,1)测量方法,用标准数字电压表在标准条件下，对被测直流电压源10V点的输出电压值 进行独立测量10次，测得值如下： （说明：本例中以UD表示电压值，u 和U表示不确定度）,计算10次测量的平均值得,= 10.000104V，并取平均值作为测量结果,的估计值。,2)不确定度评定,分析测量方法，可知在标准条件下测量，由温度等环境因素带来的影响可

58、 忽略。因此对电压测量不确定度影响的因素主要有：标准电压表的示值稳 定度引起的不确定度ul；标准电压表的示值误差引起的不确定度u2；电压 测量重复性引起的不确定度u3。分析这些不确定度特点可知，不确定度u1、 u2应采用B类评定方法，而不确定度u3应采用A类评定方法。下面分别计 算各主要因素引起的不确定度分量：,(1)标准电压表的示值稳定度引起的标准不确定度分量ul 在电压测量前对标准 电压表进行24h的校准，并知在10V点测量时，其 24h的示值稳定度不超过 15V，取均匀分布，按表2.10得标准电压表示值稳定度引起的不确定度 分量为,因给出的示值稳定度的数据很可靠，故取,，其自由度,。,(2)标准电压表的示值误差引起的标准不确定度分量u2标准电压表的检定证 书给出，其示值误差按 3倍标准差计算为 35 106 U（标准电压 表示值），故 10V的测量值，由标准表的示值误差引起的标准不确定度分 量为,因k=3，可认为其置信概率较高，u2的评定非常可靠，故取自由度,(3)电压测量重复性引起的标准不确定度分量u3由10次测量的数据，用 贝塞尔法计算单次测量标准差s(UD)=9V，平均值的标准差,V则电压重复性引起的标准不确定度为,其自由度,3)不确定度合成,因不确定度分量u1、u2、