01-第1讲集合与映射

1、主讲: 胡春华 Email: 北京师范大学珠海分校应用数学学院,大 学 数 学- 一元微积分学,第一章 集合与函数,本章学习要求： 正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。 掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的 分析表示和图形特征。 正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复 合函数进行分解。 会求函数（包括分段函数）的反函数。 了解“取整函数”和“符号函数”。 能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。,第一节 集合与映射,一、集合的基本概念 二、集合的基本运算 三、映射的基本概念 四、实数、区间、邻域,一、集合的基本概念,集合论是现代数学的基础。集合论的创始人是丹麦人 康托尔（犹太

2、人），他在柏林大学学习（工科）期间受大 数学家魏尔斯特拉斯的影响，转而攻读数学，最后成为一 名数学家。他于1847年提出集合论，解决了当时一系列悬 而未决的问题，奠定了现代数学基础。但康托尔创建集合 论的过程是十分艰难的，为此他几乎献出了生命。这也说 明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的。,康托尔将集合定义为： 所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间 有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一 个整体来考虑的结果。,1. 集合,关于集合的几点注意：,集合的元素是确切定义的，不能含糊不清。 集合中的元素互不相同。 当只研究一个集合时，则可不考虑其结构，视集合 中的 元素一律平等。

3、,2. 集合的表示法,列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用 花括号括上。,表示集合的方法有两种:,注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。,有些集合可以用两种表示法表示，此时可根据 需要选择其中的一种方法,3. 子集、集合相等,规定：空集是不含任何元素的集合，记为。 空集是任何一个集合的子集：,想到什么没有？,4. 有限集、无限集：,含有有限个元素的集合称为有限集； 含有无限个元素的集合成为无限集。,空集是任何一个非空集合的幂集的元素：,二、集合的基本运算,也有一些书将全集称为“空间”、“原集合”、“万有集合”等。,在wen图中，用矩形表示全集。,1. 集合运算的概

4、念,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,A,A,B,B,(A B) B = A?,一般说来,A,B,仅当 B A 时, 才有,A,B,= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 。,B = 4, 5, 6, 7, 8, 9 ，,设,A = 1, 2, 3, 4, 5 ，,则,B = 6, 7, 8 ，,= 0, 1, 2, 6, 7, 8 .,设,A = 0, 1, 2 ，,则,A = x | x2 2x 3 0 ，,= x | 1 x 3 .,B = x | x = 1, 3 ，,设,则,= x | 1 x 1 或 2 x 3 。,故,B = x | x 2

5、，,解不等式得,A = x | 1 x 3 ，,交换律,结合律,分配律,对偶律,2.集合的运算性质,幂等律,吸收律,设有集合 A、B、C 及全集 ，则,交换律：,结合律：,分配律：,对偶律：,幂等律：,吸收律：,其它：,三、映射的基本概念,1. 映射,注意：,1) 映射是集合间的一种对应关系. 集合 X 、Y,中所含的元素不一定是数，可以是其它的一,些对象 ( 或事物 )。,2) 对每一个x X，只有唯一的一个y Y 值与之,对应关系不一定就是映射。,对应，这一点很重要，它说明集合间元素的,3) 映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。,Rf,X,Y,f,y2,x1,x2,x3,

6、y1,.,.,.,.,.,设 f 为集 X 到集 Y 的一个映射。,如果 x X，存在唯一的 y = f ( x ) Y 与之对应；,反过来, 若 y Y, 存在唯一的 x X 使得 y = f ( x ),则称 f 是 X 到 Y 的一一对应。,2. 一一对应,一一对应的实质,其它内容请同学们自己看书,1. 实数集与数轴,实数集为有理数集与无理数集的并.,实数具有稠密性和连续性.,aR，必 n Z，使 n a n+1.,实数与数轴上的点一一对应.,四、实数、区间、邻域,2. 绝对值、距离,任一实数 a 的绝对值 | a | 定义为：,数轴上任意两点 a，b 之间的距离为,d = | a b

7、| 。,绝对值常用的性质：,3. 区间,(1) 闭区间 a, b = x | a x b ,a,b,(2) 开区间 (a, b) = x | a x b ,a,b,。,。,(,),(a, b = x | a x b (称为左开右闭区间),a, b) = x | a x b (称为右开左闭区间),(3) 半开闭区间,a,b,。,),(4) 无穷区间,a, +) = x | x a ,(a, +) = x | x a ,( , b = x | x b ,( , b) = x | x b ,( , + ) = x | x + = x | xR ,a,(+),a, +),(5) 区间长度,不论是闭区间、开区间、半开闭区间， 其长度计算均按此式进行。,x0+,(,),x0 ,x0,4. 邻 域,x0 + ,(,),x0 ,x0,U ( 3, 0.1 ) =