第四章-二阶偏微分方程与分离变量法.ppt

1、化学工程问题的建模和分析方法，第4章：二阶偏微分方程和分离变量法1。二阶方程的分类2。分离变量法。特征值理论4。特殊功能的应用。典型问题分析。第四章是二阶偏微分方程的概述，它是化工中常见的偏微分方程对流扩散反应方程：求通解和确定初始积分常数；一阶偏微分方程：求通解并将初值设为任意函数；二阶偏微分方程：由问题确定求解方法。第四章二阶偏微分方程概述。当二阶导数项占优势时，一般采用以下两种方法求解分离变量法：适用于有限的空间区域；积分变换法：适用于无限空间区域；均化为常微分方程。第四章二阶偏微分方程的分类，第一章二阶偏微分方程的分类，第四章二阶偏微分方程的分类，通过线性代数，特征二次型可以通过线性变

2、换变成对角型，第四章二阶偏微分方程的分类，当b2ac=0时，第二方程称为椭圆方程，曲线为抛物线，当b2 ac0时，方程称为抛物线方程，曲线为双曲线，方程称为双曲方程， 第四章二阶偏微分方程的分类，标准形式：椭圆型方程抛物型方程双曲型方程、第四章二阶偏微分方程抛物型方程热传导方程描述不可逆发展和演化； 双曲方程波动方程描述可逆双向波。第四章二阶偏微分方程的分类，初边值问题(柯西问题)混合边值问题的定解问题的表述，第四章二阶偏微分方程的分离变量法，第二章二阶偏微分方程的分离变量法探讨问题1的变量分离形式的解的例子分离变量，得到X(x)的非零解，通过调整参数的值、 第四章二阶偏微分方程分离变量的方法

3、)当0时，方程的通解c1=c2=0，即(x)0时，方程的通解c1=c2=0当0时，方程的通解有以下形式：边界条件X(0)=0称为c1=0，然后sin=0是必要的，以便有一个非零解c20，从而确定参数，第四章二阶偏微分方程的变量分离方法，从而得到第四章二阶偏微分方程的分离变量法，例2矩形区域的拉普拉斯方程，圆区域的拉普拉斯方程，第四章二阶偏微分方程的分离变量法解决了特征值问题。第四章是二阶偏微分方程的变量分离法。概述：变量分离法1。假设变量分离解2。推导和解决特征值问题3。叠加成系列，以满足初始或边界值关键问题。特征值问题可以通过调整不确定参数得到齐次方程的非零解吗？二阶偏微分方程的分离变量法第

4、4章，第3节分离变量法非齐次方程和边界条件：均匀化和展开1。非齐次边值问题的处理：叠加边值问题的特解，第四章二阶偏微分方程的齐次化第四章分离变量二阶偏微分方程分离变量的方法，因此，将w(x，t)的齐次边值问题等值的关键是叠加的特解v(x)应同时满足边值和原微分方程，使等值后的问题最简单。在第四章中，二阶偏微分方程分离变量法，在例2中，第四章中的二阶偏微分方程分离变量法求解环形区域的热传导方程(p207)。第4、2章二阶偏微分方程的变量分离法。非齐次方程的处理：通过级数展开很难直接分离变量，但所有函数都可以根据特征函数展开。第四章二阶偏微分方程的分离变量法综述：分离变量的关键特征函数级数展开问题

5、特征函数的存在性？特征函数的正交性？特征函数的完整性？在一般情况下，有必要给出一个理论上的答案。第四章，二阶偏微分方程的分离变量法，分离变量法的历史发展，1700年代弦振动方程的三角函数试探解(Tayler)，18001900傅立叶法求解无穷级数中的特征值问题傅立叶级数理论傅立叶变换1800奇异值理论特殊函数在分离变量法基础上的应用，二阶偏微分方程的特征值理论第四章，特征值问题1。正交傅立叶展开的定义、第四章二阶偏微分方程的特征值理论，2。特征值理论定理1有无穷多个实特征值定理2当q(x)0时，所有特征值非负定理3有不同的对应特征函数，权重为(x)正交定理4任何函数f (x)都可以展开成一系列

6、的特征函数yn(x)，二阶偏微分方程的特征值理论在第四章中说明1。本征值方程是一般的；2.这四个定理只回答了特征函数的存在性、正交性和完整性，从而可以判断变量分离法的可行性并给出解的结构。但没有给出特征值方程的求解方法。第四章二阶偏微分方程的特殊函数，5特殊函数的应用1。在第四章中，极坐标系统和贝塞尔函数构成了二阶偏微分方程的特殊函数，并判断特征值的存在和特征函数Rn(r)解是由第四章中二阶偏微分方程的正交性、J0和Y0分别是第一类和第二类贝塞尔函数、第四章二阶偏微分方程的特征值理论2.球坐标系和Legendre函数问题将球域内的稳态传热和传质变量分开，从而在第四章得到了二阶偏微分方程的特征值

7、理论。特征值问题是H，变换是x=cos，它被变换成Leg勒让德方程的解是无穷级数。如果边界是有限的，相应的特征函数必须是第四章二阶偏微分方程的特征值理论的勒让德多顶公式。因此，问题的分离变量解是系数B0和由边界条件决定。第四章二阶偏微分方程的特征值理论、二阶偏微分方程的典型问题，1。球形催化剂颗粒的瞬态响应成为一致的边值问题，从而、在第四章中，求解了二阶偏微分方程的典型问题，然后将第四章中的二阶偏微分方程的典型问题、转化为特征值问题。第4、2章中二阶偏微分方程的典型问题。管式反应器的动态行为问题第四章中二阶偏微分方程的典型问题是归一化边值问题，v(x)是固定床反应器的稳态解。齐次边值问题将变量w=X(x)T(t)分开，得到特征值问题，这是第四章中二阶偏微分方程的典型问题。归结为SturmLiouville型方程非零解Xn(x)的存在性和加权exp(-Pex)的正交性。为了得到非零解，本征函数需要第四章中二阶偏微分方程的典型问题，因此本征值可以由x=1时的边界条件确定。第四章是二阶偏微分方