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文档简介

1、3.2 利息公式,(一)相关概念,1、利息一定数额货币经过一定时间后资金的绝对增值,用“I”表示。,2、利率利息递增的比率,用“i”表示。,计息周期通常用年、月、日表示,也可用半年、季度来计算,用“n”表示。,3.2 利息公式,3.2.1利息的种类,1、单利计息,1. 单利每期均按原始本金计息(利不生利),设:I利息 P本金 n 计息期数 i利率 F 本利和,则有,例题1:假如以年利率6%借入资金1000元,共借4年,其偿还的情况如下表,年,年初欠款,年末应付利息,年末欠款,年末偿还,1,1000,1000 0.06=60,1060,0,2,1060,1000 0.06=60,1120,0,3

2、,1120,1000 0.06=60,1180,0,4,1180,1000 0.06=60,1240,1240,3.2 利息公式,2、复利,将本期的利息转为下期的本金,下期将按本利和的总额计息,这种计息方式称为复利(计息)利滚利,P(1+i)2,P(1+i)n-1,P(1+i)n,1,P,Pi,P(1+i),2,P(1+i),P(1+i) i,n1,P(1+i)n-2,P(1+i)n-2 i,n,P(1+i)n-1,P(1+i)n-1 i,例题2:假如以年利率6%借入资金1000元,共借4年,其偿还的情况如下表,年,1000,1000 0.06=60,1060,0,1060,1060 0.06

3、=63.60,1123.60,0,1123.60,1191.02,0,1191.02,1262.48,1262.48,1123.60 0.06=67.42,1191.02 0.06=71.46,(二)现金流量图(cash flow diagram),描述现金流量作为时间函数的图形,它能表示资金在不同时间点流入与流出的情况。,是资金时间价值计算中常用的工具,大 小,流 向,时间点,现金流量图的三大要素,(二)现金流量图(cash flow diagram),1、水平线是时间标度,每一格代表一个时间单位(年、月、日),第n 格的终点和第n +1格的起点是相重合的。,2、箭头表示现金流动的方向,向下

4、的箭头表示支出(现金的减少),向上的箭头表示现金收入(现金的增加),箭头的长短与收入或支出的大小成比例。,3、现金流量图与立脚点(着眼点)有关:如贷款人的立脚点,或者借款人的立脚点。,300,400,时间,200,200,200,1 2 3 4,现金流入,现金流出,0,(二)现金流量图(cash flow diagram),注意: 第一年年末的时刻点同时也表示第二年年初。 立脚点不同,画法刚好相反。 净现金流量 = 现金流入 现金流出 现金流量只计算现金收支(包括现钞、转帐支票等凭证),不计算项目内部的现金转移(如折旧等)。,3.2.3复利计算公式,1、一次支付复利公式,案例,1、一次支付复利

5、公式,第一年年初,第一年年末,第二年年末,第n年年末,P,P +Pi=P(1+i),P (1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2,P(1+i)n,1、一次支付复利公式,在第一年年初,以年利率6%投资1000元,则到第四年年末可得本利和若干?,分析,2、一次支付现值公式,案例,2、一次支付现值公式,为了在第四年年末得到1262.50元,按年利率6%计算,现在必须投资多少?,分析,3、等额支付系列复利公式,案例,3、等额支付系列复利公式,A,1,累 计 本 利 和 ( 终 值 ),等额支付值,年末,2,3,A,A,n,A,A,A+A(1+i),A+A(1+i)+A(1+i)2,A1+(1+i)+

6、(1+i)2+(1+i)n-1=F,3、等额支付系列复利公式,即 F= A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 (1) 以(1+i)乘(1)式,得 F(1+i)= A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 +A(1+i)n (2) (2) (1) ,得 F(1+i) F= A(1+i)n A,3、等额支付系列复利公式,连续5年每年年末借款1000元,按年利率6%计算,第5年年末累积借款若干?,分析,4、等额支付系列积累基金公式,案例,4、等额支付系列积累基金公式,如果要在第5年年末得到资金1000元,按年利率6%计算,从现在起连续5年每年必须存储若干?,分析,5、等额支付

7、系列资金恢复公式,案例,根据,5、等额支付系列资金恢复公式,5、等额支付系列资金恢复公式,如果现在以年利率5%投资1000元,在今后的8年中,每年年末以相等的数额提取回收本利和,则每年年末可以等额提取若干?,分析,6、等额支付系列现值公式,案例,6、等额支付系列现值公式,按年利率6%计算,为了能够在今后5年中每年年末得到100万元的利润,现在应投资若干?,分析,7.均匀梯度系列公式,A1,(1),(3),(2),图(2)的将来值F2为:,F2=G(F/A,i,n1)+G(F/A,i,n2)+ + G(F/A,i,2)+ G(F/A,i,1),=,G,梯度系数(A/G,i,n),注:如支付系列为

8、均匀减少,则有 A=A1A2,8.运用利息公式应注意的问题,1、实施方案所需的初始投资,假定发生在方案的寿命期初(期初惯例);,2、方案实施过程中的经常性支出,假定发生在计息期(年)末(期末惯例);,3、本年的年末即是下一年的年初;,4、P是在当年度开始时发生;,5、F是在当年以后的第n年年末发生;,6、A是在考察期间各年年末发生。当现金流量系列包括P和A时,系列的 第一个A是在P发生一年后的年末发生;当现金流量系列包括F和A时,系 列的最后一个A是和F同时发生。,3.2.4名义利率和有效利率,名义利率和有效利率的概念。,当利率的时间单位与计息期不一致时,,有效利率资金在计息期发生的实际利率。

9、,例如:每半年计息一次,每半年计息期的利率为3%, 则 3%(半年)有效利率,如上例为 3%2=6% (年)名义利率,1、离散式复利,按期(年、季、月和日)计息的方法 如果名义利率为r,一年中计息n次,每次计息的利率为r/ n,根据一次支付复利系数公式, 年末本利和为: F=P1+r/nn 一年末的利息为: P1+r/nn P 按定义,利息与本金之比为利率,则年有效利率i为:,例:现投资1000元,时间为10年,年利率为8%,每季度计息一次,求10年末的将来值。,每季度的有效利率为8%4=2%, 用年实际利率求解: 年有效利率i为: i=( 1+ 2%)41=8.2432% F=1000(F/

10、P,8.2432%,10)=2208(元) 用季度利率求解: F=1000(F/P,2%,40)=10002.2080=2208(元),解:,例:某企业向银行借款1000元,年利率为4%,如按季度计息,则第3年应偿还本利和累计为( )元。 A.1125 B.1120 C. 1127 D.1172,F=1000(F/P,1%,43) =1000(F/P,1%,12) =1127元,答案: C,解:,例: 已知某项目的计息期为月,月利率为8 ,则项目的名义利率为( ) 。 A. 8% B. 8 C. 9.6% D. 9.6 解:,所以 r=128 =96 =9.6%,答案: C,2、连续式复利,按

11、瞬时计息的方式称为连续复利。在这种情况下,复利可以在一年中按无限多次计算,年有效利率为:,式中:e自然对数的底,其数值为2.71828,名义利率和有效利率,下表给出了名义利率为12%分别按不同计息期计算的实际利率:,名义利率的实质:当计息期小于一年的利率化为年利率时,忽略了时间因素,没有计算利息的利息 。,名义利率和有效(年)利率的应用: 计息期与支付期相同可直接进行换算求得 计息期短于支付期运用多种方法求得 计息期长于支付期按财务原则进行计息,即现金流入额放在期初,现金流出额放在计息期末,计息期分界点处的支付保持不变。,3.3、等值(Equivalent Value)的计算,在某项经济活动中

12、,如果两个方案的经济效果相同,就称这两个方案是等值的。,例如,在年利率6%情况下,现在的300元等值于8年末的300 (1+0.06)8 =478.20元。这两个等值的现金流量如下图所示。,同一利率下不同时间的货币等值,3.3 、等值(Equivalent Value)的计算,货币等值是考虑了货币的时间价值。 即使金额相等,由于发生的时间不同,其价值并不一定相等; 反之,不同时间上发生的金额不等,其货币的价值却可能相等。,货币的等值包括三个因素,金额,金额发生的时间,利率,在经济活动中,等值是一个非常重要的概念,在方案评价、比较中广泛应用。,3.3.1 计息期为一年的等值计算,从利息表上查到,

13、当n=9,1.750落在6%和7%之间。,6%的表上查到1.689 7%的表上查到1.839,从,用直线内插法可得,相同,有效利率,名义利率,直接计算,例:当利率为多大时,现在的300元等值于第9年年末的525元?,解: F=P(F/P,i,n),525=300(F/P,i,9),(F/P,i,9)=525/300=1.750,计算表明,当利率为6.41%时,现在的300元等值于第9年年末的525元。,例:当利率为8%时,从现在起连续6年的年末等额支付为多少时与第6年年末的10000 等值?,A=F(A/F,8%,6)=10000 0.1363=1363 (元/年) 计算表明,当利率为8%时,

14、从现在起连续6年1363 元的年末等额支付与第6年年末的10000 等值。,解:,例:当利率为10%时,从现在起连续5年的年末等额支付为600元,问与其等值的第0年的现值为多大?,解: P=A(P/A,10%,5)=2774.59元 计算表明,当利率为10%时,从现在起连续5年的600元年末等额支付与第0年的现值2274.50元是等值的。,3.3.2 计息期短于一年的等值计算,1.计息期和支付期相同 例:年利率为12%,每半年计息一次,从现在起,连续3年,每半年为100元的等额支付,问与其等值的第0年的现值为多大? 解:每计息期的利率,(每半年一期),n=(3年) (每年2期)=6期 P=A(

15、P/A,6%,6)=100 4.9173=491.73元 计算表明,按年利率12%,每半年计息一次计算利息,从现在起连续3年每半年支付100元的等额支付与第0年的现值491.73元的现值是等值的。,例:求等值状况下的利率。假如有人目前借入2000元,在今后两年中分24次等额偿还,每次偿还99.80元。复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。,解: 现在 99.80=2000(A/P,i,24) (A/P,i,24)=99.80/2000=0.0499,查表,上列数值相当于i=1.5%。因为计息期是一个月,所以月有效利率为1.5%。,名义利率 : r=(每月1.5%) (12个月)=

16、18%,年有效利率:,2.计息期短于支付期,例:按年利率为12%,每季度计息一次计算利息,从现在起连续3年的等额年末支付借款为1000元,问与其等值的第3年年末的借款金额为多大?,第一种方法:取一个循环周期,使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列,其现金流量见下图:,将年度支付转化为计息期末支付(单位:元),A=F (A/F,3%,4) =1000 0.2390=239元,239,F=?,季度,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12,经转变后计息期与支付期重合(单位:元),F=A(F/A,3%,12)=239 14.192=3392元,第二种方法:,把等额支付

17、的每一个支付看作为一次支付,求出每个支付的将来值,然后把将来值加起来,这个和就是等额支付的实际结果,FP,3,8 FP,3,4 F=1 000(1267)+1 000(1126)+l 000=3 392元,式中,第一项代表第1年年末借的1000元将计息8次;第二项代表第2年年末借的1 000元将计息4次;最后一项代表第3年年末借的1 000元。,第三种方法:,将名义利率转化为年有效利率,以一年为基础进行计算。,年有效利率是,由此可得 FA,1255 %,3 F=1000( 33923 )=3392元,通过三种方法计算表明,按年利率12%,每季度计息一次,从现在起连续三年的1000元等额年末借款

18、与第三年年末的3392元等值。,计息期长于支付期,通常规定存款必须存满整个一个计息期时才计算利息,这就是说,在计息期间存人的款项在该期不计算利息。要到下一期才计算利息。因此,计算期间的存款应放在期末,而计算期间的提款应放在期初。,假如有一项财务活动,其现金流量如图所示。试求出按季度计息的等值现金流量,FP,2%,4 FP,2,3 F=(400200)( 1. 082 )-100( 1. 061)+ FP,2,2 (30050)( 1040 )+100=26230元,例:假定现金流量是:第6年年末支付300元,第9、10、11、12年末各支付60元,第13年年末支付210元,第15、16、17年年末各获得80元。按年利率5计息,与此等值的现金

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