代数-考前辅导课件.ppt

1、第一章 行列式 1、行列式的定义 二阶行列式的计算 三阶行列式的计算 2、n阶行列式 逆序数的定义与计算 排列的逆序：在一个n级排列 中，如果有某个较 大的数 排在较小的数 的前面，就称 与 构成了一个逆 序。 奇排列，偶排列 n阶行列式的定义,结论：对角形行列式的值，等于主对角线上各元 素的乘积。 结论：下三角形行列式的值也等于主对角线上各元 素的乘积。 结论：上三角形行列式的值等于主对角线上各元素 的乘积。 3、行列式的性质 性质1 行列式转置后，其值不变。 性质2 对换行列式的两行（列）的位置后，行列式 变号。 推论：如果行列式中有两行（列）的对应元素相 同，则行列式等于零。,性质3 将

2、行列式的某一行（列）的每个元素都乘以同 一数k，等于用数k乘这个行列式。 推论：如果行列式有两行（列）的对应元素成比例， 则行列式等于零。 性质4 如果行列式D中某一行（列）的每个元素都是两 个数之和，则此行列式等于两个行列式D1与D2之和。 其中D1的该行（列）元素为两个数中的第一个数，其 余各行（列）的元素与D相同；D2的该行（列）元素为 两个数中的第二个数，其余各行（列）的元素也与D相 同。,性质5 将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k之 后,加到另一行(列)对应位置的元素上去,行列式的值不 变. 4、行列式按行（列）展开 余子式和代数余子式的定义，计算 定理1.3 n阶行列式D等

3、于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式的乘积之和。 这个定理叫做行列式按行（列）展开法则，利用 这个法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算。,例 计算行列式 解,5、克莱姆法则 定理1.5(克莱姆法则) 如果n元线性方程组的系数 行列式D0,则方程组有唯一解 其中 是将系数行列式D中的第j列元素 换成常数项 后所构成的行列式. 注意: 用定理1.5求线性方程组的解时,必须满足 条件D0.即只有当D0时才能用克莱姆法则求方程 的解. 定理1.6 齐次线性方程组仅有零解的必要充分条 件是它的系数行列式D0。 定理1.7 齐次线性方程组存在非零解的必要充分 条件是它的系数行列式D=0

4、。,例 判定齐次线性方程组 仅有零解。 解 因为齐次线性方程组的系数行列式 故由定理1.6知，所给齐次线性方程组仅有零解。,第2章 矩阵 1、矩阵的概念 定义，表示线性方程组，矩阵相等，方阵 2、矩阵的运算 相加，数乘，矩阵相乘，矩阵的转置 3、几种特殊的方阵 单位方阵，数量方阵，对角方阵，三角方阵 4、逆方阵 定义：对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得 AB=BA=E 则称B是A的逆运算（简称A的逆），记为 ，并称 A是可逆的。,非奇异方阵：如果n阶方阵A的行列式不等于 零，即有 则称A为非奇异方阵，或称A为非奇异的。 推论：如果对于n阶方阵A，存在同阶方阵B，使得AB=E（或BA=E）

5、，则B就是A的逆。 例 设A为三阶方阵，且 ，则,5、矩阵的初等变换 定义：对矩阵施以下列任一种变换，均称为 对矩阵作初等变换： （1）互换矩阵A的第i、第j两行（列），称为对矩 阵A施以第一种初等行（列）变换； （2）用一个非零的数k乘矩阵A的第i行（列），称 为对A施以第二种初等行（列）变换； （3）把矩阵A的第j行（i列）的l倍加到第i行（j列） 上，称为对A施以第三种初等行（列）变换。,定理2.3 对矩阵 以若干次初等变换(包括 行变换和列变换),总可以将A化为标准形矩阵D,其中 即它的左上角是个r阶单位方阵,其余的元素都是零(r 最少可以是零,最多可以是n与m中的较小者). 推论：

6、如果A为n阶可逆方阵，则A可化成n阶 单位方阵。,用初等变换求 方法： 第一步：将A,E这两个n阶方阵凑在一起，作成一个 n2n矩阵 ; 第二步：对 作初等变换，目的是将A变成单位方 阵E，右边就变成 了。 解矩阵方程 AX=B,其中A是n阶可逆方阵，X是nm 矩阵，B是nm矩阵，此时有 . 用初等变换 求 的方法： 第一步：将A,B两个矩阵合并在一起，作成一个n （n+m）矩阵 ; 第二步：对 初等行变换，目的是将A变成单位 方阵E；当A变成E时,右边的B就变成 了。,例 已知三阶方阵 （1）判断三阶方阵A是否可逆？ （2）若三阶方阵A 可逆，则利用矩阵变换法求其逆矩 阵。 解 （1）因为

7、所以方阵A可逆。,（2）因为 所以,第3章 n维向量 1、向量的概念 定义：n个有顺序的数 所组成的数组 称为一个n维向量，记为 其中 叫做向量 的第1个，第2个，第n个 分量（或坐标）。 向量相等，零向量，负向量 2、向量的运算 向量的加法，数乘,3、向量的线性关系 定义1： 设 都是n维向量。如果存在一组 数 ，使得关系式 成立，则称向量 是向量组 的线性组合，并称 向量 可由向量组 线性表示（或线性表出）。 定义2：对于给定的n维向量组 ，如果存在一组 不全为零的数 ，使得关系式 成立，则称向量组 线性相关。 如果仅当 时，关系式（3.5）式才 成立，则称向量组 线性无关。,例 设n维向

8、量 线性无关，证明 线性无关。 证 设有一组数 ，使得关系式 成立，即有 成立，由已知 线性无关，所以仅当（1）式中 的系数为零时才能使（1）式成立，即仅当 时，关系式（1）才能成立。,而方程组（2）的系数行列式 由定理1.6知方程组（2）仅有零解： ， 也就是说，仅当 时才有关系式 成立，所以 线性无关。 例 证明：向量组 线性相 关。 证 设一组数 ，使得关系式,成立，即有 成立，所以有 成立，由于方程组（2）的系数行列式 故由定理1.7知方程组（2）有非零解，这就是说，存 在一组不全为零的数 使得关系式（1）式成 立，由定义知 线性相关。,小结：证明一个向量线性相关或线性无关的基本的方

9、法是：先设一组数 使得关系式 成立，再应用向量的运算和相等的定义找出一个关于 未知数的齐次线性方程组，最后应用定理1.7和定量 1.6来判定方程组有非零解还是仅有零解，如果有非零 解，则线性相关，如果仅有零解，则线性无关。 定理3.3 如果向量组中有一个部分组线性相关，则整 个向量组线性相关。 注意：这个定理的逆定理不成立，即：整体相关，部 分不一定相关。 推论： 线性无关的向量组的任何部分组也是线性无关 的。（推论可以简述为：整体无关，部分必无关。）,极大无关组的概念 极大无关组的求法： 将所给的行向量组 写成一个s行的矩阵，对这 个矩阵作初等变换将它化为阶梯形，由阶梯形矩阵中 找出哪几行是

10、非零的向量，则这几行所对应的向量组 就是一个极大无关组。 定义：向量组 的极大无关组中所含向量的个 数，称为这个向量组的秩，记为 求一个向量组的秩的方法很简单，只要用上面的 求极大无关组的方法，将矩阵化为阶梯形，数一下非 零向量的个数即可。,定义：矩阵A的行向量组的秩，称为A的行秩；矩阵A的 列向量组的秩，称为A的列秩。 矩阵的行秩等于列秩。 定义:矩阵A的行秩与列秩,统称为矩阵A的秩,记 . 第4章 线性方程组 1、线性方程组解的判定定理 定理4.1 线性方程组(4.1)有解的充分必要条件是它 的系数矩阵A的秩，等于其增广矩阵的秩，即 定理4.1给出了判定线性方程组(4.1)有解或无解的方法

11、： （1）当 时，线性方程组(4.1)有唯一解； （2）当 时，线性方程组(4.1)有无穷多组 解； （3）当 时，线性方程组(4.1)无解。,定理4.2 齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件 是 ，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 是 。 2、消元解法 3、线性方程组解的结构 解向量的性质, 基础解系 定理4.3 如果齐次线性方程组（4.2）的系数矩阵A的 秩 ，则齐次线性方程组必定存在基础解系， 且每个基础解系中所含的解向量的个数为nr个。,求齐次线性方程组（4.2）的基础解系和全部解的方法： 第一步：对齐次线性方程组（4.2）的系数矩阵A施以 初等行变换，将其左上角化为r阶单位方阵，

12、即（4.7） 式； 第二步：按（4.8）式写出nr个解向量 ，就 是齐次线性方程组（4.2）的一个基础解系； 第三步：按（4.9）写出方程组（4.2）的全部解。 定理4.4 如果 是非齐次线性方程组的一个解(特 解)， 是其导出组的全部解，则非齐次线性方程组的 全部解为,由定理4.4可知求非齐次线性方程组 的全部解 的方法： 第一步：求出其导出组 的基础解系 与 的一个特解 ； 实际求解时，只需要对增广矩阵做初等行变换先 化为阶梯形，再回代即可。 第二步：将特解 与 的全部解 相加就得到 的全部解，即,例 求非齐次线性方程组 的全部解。 解,所以 ，方程组有解，基础解系中含有n r=4-2=2个解向量： 一个特解： 故方程组的全部解为：,第5章 特征值与特征向量 特征方阵、特征多项式、特征方程、特征值、 特征向量 对于一个n阶方阵A，因为A的特征值有n个，对 于每个特征值均有相应的特征向量。 如果方阵 的秩等于 ，则齐次方 程组 必定存在基础解系，且恰有 个线性无关的解 向量（由定理4.3）。每一个解向量都是A的属于 的 特征向量，并且它们的线性组合 是A的属于 的特征向量（全部特征向量）。,例 设 求A的特征值和特征向量。 解 其特征方程为 故A的特征值为： 。,（1）求对应 的特征向量，有 因为系数矩阵的秩等于2，所