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文档简介

1、推广,第六章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分学,一、多元函数的概念,二、多元函数的极限,三、多元函数的连续性,四、小结,第一节 多元函数的基本概念,(1) 邻域,点集,称为点 P0 的邻域.,(圆邻域),在空间中,(球邻域),点P0的去心邻域记为,例如,在平面上,一、多元函数的概念,（2）内点、边界点和聚点,1. 内点是聚点；,说明：,2. 边界点是聚点；,例,(0,0) 是聚点但不属于E,（3）开集和闭集,例如，,即为开集,（4）区域和闭区域,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,（5）有界集和无界集,n维空

2、间,n维空间的记号为,说明：,（6）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,（7） 二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,二、多元函数的极限,定义1: 设n元函数,点 ,则称A为函数,(也称为n重极限),当n =2时,记,二元函数的极限可写作：,P0是D的聚,若存在常数A ,对一,记作,都有,对任意正数,总存在正数,切,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例2 求证,证,当 时，,原结论成立,例3 求极限,解,例:求极限,有界

3、变量乘无穷小量,夹逼法则,例4 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,确定极限不存在的方法:,找两种不同趋近方式,使二重极限存在,但两者不相等; 令p(x,y)沿某一定曲线趋向于 时,极限不存在.,例：,，取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,三、多元函数的连续性,定义3,例5 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,例 证明,在全平面连续.,证:,为初等函数 , 故连续.,又,故函数在全平面连续 .,由夹逼准则得,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,（3）有界定理,在有界闭区域D上的多元连续函数必定有界,多元初等函数：由常量及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,例6,解,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性

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