大学文科数学第四章.pptx

1、第四章 积分,4.1 不定积分 4.2 定积分 4.3 应用（不讲） 4.4 广义积分 4.5 简单微分方程（不讲）,引例: 一个质量为 m 的质点,下沿直线运动 ,因此问题转化为:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,根据牛顿第二定律,加速度,定义 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x),满足,在区间 I 上的一个原函数 .,则称 F (x) 为f (x),如引例中,的原函数有,4.1 不定积分,4.1.1 原函数,问题:,1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?,2. 若原函数存在, 它如何表示 ?,定理1,存在原函数 .,初等函数在定义区间上连续,初等函数在定

2、义区间上有原函数,定理2,设,是,在区间I上的一个原函数,则,(i),是,在区间I上的原函数,其中C为任意常数;,(ii),在I上的任两个原函数相差一个常数.,证（不作要求）,(i),因为,是,在I上的原函数,所以,进而,即,是,在区间I上的原函数.,(ii),设,是,在区间I上的原函数,则有,故,注：若一个函数有原函数,则其原函数不唯一,且任两个原函数 相差一个常数.,定义,在区间 I 上的原函数全体称为,上的不定积分,其中, 积分号;, 被积函数;, 被积表达式., 积分变量;,若,则,( C 为任意常数 ),C 称为积分常数 不可丢 !,例如,记作,4.1.2 不定积分,不定积分的几何意

3、义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线 .,例1 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点 ( 1 , 2 ) ,故有,因此所求曲线为,不定积分与微分的关系,或,或,特别地,若,则,( C 为任意常数 ),基本积分表,利用逆向思维,( k 为常数),( C 为任意常数 ),或,或,例2 求,解: 原式 =,例3 求,解: 原式=,简单的积分法则,推论: 若,则,直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 ,

4、代数公式 ,积分性质,例4 求,解: 原式 =,例5 求,解: 原式 =,例6 求,解: 原式 =,例7 求,解: 原式 =,课堂练习：求下列积分:,提示:,直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。,在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一换元和第二换元。,4.1.3 换元法（第一换元）,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中

5、间变量.,过程,令,说明结果正确,第一换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同.,定理,例8,法一,法二,解：,法三,例9 求,解：,一般地,例10 求,解：,例10 求,解：,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,4.1.4 分部积分法,例11求积分,解（一）：,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,解（二）：,令,例12 求积分,解：,（再次使用分部积分法）,例13 求积分,解：,4.2.1曲边梯形的面积,4.2 定积分,（1）分割,（3）求和,（2）近似,四个步骤可以概括为一句话： “分割取近似，求和取极限.”,（4）取极

6、限,4.2.2定积分,积分上限,积分下限,定积分定义的剖析,定积分的几何意义,利用定义计算定积分,解:,取分点为 , 则,在第i 个小区间上取右端点,于是,定积分的运算性质,4.2.3微积分基本定理,证:（不作要求）,微积分学基本定理,令,定理,再令,说明：,或,解:,例16,例17,解:,解：,例18,平面图形的面积,(1) 由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线 x=a, x=b (ab)及x轴所围成的平面图形的面积,面积,(2) 由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (ab)所围成的平面图形的面积:,面积,解：,先求两曲线的交点,选x为

7、积分变量,例19,例20,围成的平面图形的面积.,解：,由对称性,交点,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,反常积分,(广义积分),4.4 广义积分,无穷限反常积分,无界函数反常积分,引例. 曲线,和直线,及x轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,4.4.1无穷限反常积分,定义 设,若,存在 ,则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分,记作,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散 .,类似地 , 若,则定义,引入记号,则有类似牛 莱公式的计算表达式 :,例21. 计算反常积分,解:,思考:,分析:,原积分发散 !,例22. 证明积分,证:当 p

8、 =1 时有,当 p 1 时有,当 p 1 时收敛 ; p1,时发散 .,因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为,当 p1 时, 反常积分发散 .,引例:曲线,所围成的,与 x 轴, y 轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,4.4.2无界函数的反常积分,定义 设,而在点 a 的右邻域内无界,存在 ,这时称反常积分,收敛 ;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散 .,类似地 , 若,而在 b 的左邻域内无界,若极限,数 f (x) 在 a , b 上的反常积分, 记作,则定义,则称此极限为函,注意: 若瑕点,的计算表达式 :,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为瑕点, 则,若 a 为瑕点, 则,若 a , b 都为瑕点, 则,则,可相消吗?,例23 证明反常