中考数学压轴题.pdf

1、- 1 - S1 练习练习 1如图，将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠（点 E、F 分别在边 AB、CD 上） ，使点 B 落在 AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P，连接 EP （1）如图，若 M 为 AD 边的中点， AEM 的周长cm； 求证：EPAE+DP； （2）随着落点 M 在 AD 边上取遍所有的位置（点 M 不与 A、D 重合） ，PDM 的周长是否发生变化？ 请说明理由 迅捷PDF编辑器 - 1 - S2 练习练习 2已知：如图 1，在面积为 3 的正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 和 CD 边上的两点，A

2、EBF 于点 G， 且 BE1 （1）求证：ABEBCF； （2）求出ABE 和BCF 重叠部分（即BEG）的面积； （3）现将ABE 绕点 A 逆时针方向旋转到ABE（如图 2） ，使点 E 落在 CD 边上的点 E处，问 ABE 在旋转前后与BCF 重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由 迅捷PDF编辑器 - 1 - S3 练习练习 3如图，甲、乙两人分别从 A（1，） 、B（6，0）两点同时出发，点 O 为坐标原点，甲沿 AO 方向、乙 沿 BO 方向均以 4km/h 的速度行驶，th 后，甲到达 M 点，乙到达 N 点 （1）请说明甲、乙两人到达 O 点前，MN 与 AB 不可能平行

3、； （2）当 t 为何值时，OMNOBA； （3）甲、乙两人之间的距离为 MN 的长，设 sMN2，求 s 与 t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之 间距离的最小值 迅捷PDF编辑器 - 1 - S4 练习练习 4直线 yx6 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，点 E 从 B 点，出发以每秒 1 个单位的速度沿线段 BO 向 O 点移动（与 B、O 点不重合） ，过 E 作 EFAB，交 x 轴于 F将四边形 ABEF 沿 EF 折叠，得到四边形 DCEF，设点 E 的运动时间为 t 秒 （1）直线 yx6 与坐标轴交点坐标是 A（，） ，B（，） ； 画出 t2 时，四边形 ABEF

4、沿 EF 折叠后的图形（不写画法） ； （2）若 CD 交 y 轴于 H 点，求证：四边形 DHEF 为平行四边形；并求 t 为何值时，四边形 DHEF 为菱 形（计算结果不需化简） ； （3）设四边形 DCEF 落在第一象限内的图形面积为 S，求 S 关于 t 的函数表达式，并求出 S 的最大值 迅捷PDF编辑器 - 1 - S5 练习练习 5如图 1，ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，D、F 分别在 AB、AC 边上，此时 BDCF， BDCF 成立 （1）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转（090）时，如图 2，BDCF 成立吗？若成立，请 证明；若不成立，请说

5、明理由 （2）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 G 求证：BDCF； 当 AB4，AD时，求线段 BG 的长 迅捷PDF编辑器 - 1 - S7 练习练习 7如图 1，矩形 ABCD 的边 AD 在 y 轴上，抛物线 yx24x+3 经过点 A、点 B，与 x 轴交于点 E、点 F， 且其顶点 M 在 CD 上 （1）请直接写出下列各点的坐标：A，B，C，D； （2）若点 P 是抛物线上一动点（点 P 不与点 A、点 B 重合） ，过点 P 作 y 轴的平行线 l 与直线 AB 交于 点 G，与直线 BD 交于点 H，如图 2 当线段 PH

6、2GH 时，求点 P 的坐标； 当点 P 在直线 BD 下方时，点 K 在直线 BD 上，且满足KPHAEF，求KPH 面积的最大值 迅捷PDF编辑器 - 1 - S8 练习练习 8在平面直角坐标系 xOy 中，C 的半径为 r，P 是与圆心 C 不重合的点，点 P 关于C 的反称点的定义 如下：若在射线 CP 上存在一点 P，满足 CP+CP2r，则称 P为点 P 关于C 的反称点，如图为 点 P 及其关于C 的反称点 P的示意图 特别地，当点 P与圆心 C 重合时，规定 CP0 （1）当O 的半径为 1 时 分别判断点 M（2，1） ，N（，0） ，T（1，）关于O 的反称点是否存在？若存

7、在，求其坐标； 点 P 在直线 yx+2 上，若点 P 关于O 的反称点 P存在，且点 P不在 x 轴上，求点 P 的横坐 标的取值范围； （2）C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 yx+2与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，若线段 AB 上存在点 P，使得点 P 关于C 的反称点 P在C 的内部，求圆心 C 的横坐标的取值范围 迅捷PDF编辑器 - 1 - S9 练习练习 9如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（2，2） ，点 B 的坐标为（6，6） ，抛物线经过 A、O、 B 三点，连接 OA、OB、AB，线段 AB 交 y 轴于点 E （1）求点 E 的坐标； （2

8、）求抛物线的函数解析式； （3）点 F 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O、B 重合） ，直线 EF 与抛物线交于 M、N 两点（点 N 在 y 轴右侧） ，连接 ON、BN，当点 F 在线段 OB 上运动时，求BON 面积的最大值，并求出此时点 N 的坐 标； （4）连接 AN，当BON 面积最大时，在坐标平面内求使得BOP 与OAN 相似（点 B、O、P 分别与 点 O、A、N 对应）的点 P 的坐标 迅捷PDF编辑器 - 1 - S1 练习练习 1 【分析】 （1）由折叠知 BEEMAE+EM+AMAE+EB+AMAB+AM根据边长及中点易求周长； 延长 EM 交 CD 延长线于 Q

9、 点可证AEMDQM，得 AEDQ，EMMQ所以 PM 垂直平分 EQ，得 EPPQ，得证； （2）不变化可证AEMDMP，两个三角形的周长的比是 AE：MD，设 AMx，根据勾股定理可 以用 x 表示出 MD 的长与MAE 的周长，根据周长的比等于相似比，即可求解 【解答】解： （1）由折叠知 BEEM，BEMP90 AEM 的周长AE+EM+AMAE+EB+AMAB+AM AB4，M 是 AD 中点， AEM 的周长4+26（cm） ； 现证明 EPAE+PD 方法一：取 EP 的中点 G，则在梯形 AEPD 中，MG 为中位线， MG（AE+PD） ， 在 RtEMP 中，MG 为斜边

10、EP 的中线， MGEP， EPAE+PD 方法二：延长 EM 交 CD 延长线于 Q 点 AMDQ90，AMDM，AMEDMQ， AMEDMQ AEDQ，EMMQ 又EMPB90， PM 垂直平分 EQ，有 EPPQ PQPD+DQ， EPAE+PD （2）PDM 的周长保持不变 设 AMx，则 MD4x 由折叠性质可知，EM4AE， 在 RtAEM 中，AE2+AM2EM2，即 AE2+x2（4AE）2， 整理得：AE2+x2168AE+AE2， 迅捷PDF编辑器 - 2 - AE（16x2） ， 又EMP90，AME+DMP90 AME+AEM90，AEMDMP 又AD， PDMMAE

11、CPDMCMAE（4+x）8 PDM 的周长保持不变 【点评】此题通过折叠变换考查了三角形的全等及相似等知识点，难度较大 迅捷PDF编辑器 - 1 - S2 练习练习 2 【分析】 （1）由四边形 ABCD 是正方形，可得ABEBCF90，ABBC，又由 AEBF，由同 角的余角相等，即可证得BAECBF，然后利用 ASA，即可判定：ABEBCF； （2）由正方形 ABCD 的面积等于 3，即可求得此正方形的边长，由在BGE 与ABE 中，GBE BAE，EGBEBA90，可证得BGEABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可 求得答案； （3）首先由正切函数，求得BAE30，易证得

12、RtABERtABERtADE，可得 AB与 AE 在同一直线上，即 BF 与 AB的交点是 G，然后设 BF 与 AE的交点为 H，可证得BAGHAG， 继而证得结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ABEBCF90，ABBC， ABF+CBF90， AEBF， ABF+BAE90， BAECBF， 在ABE 和BCF 中， ABEBCF （2）解：正方形面积为 3， AB， 在BGE 与ABE 中， GBEBAE，EGBEBA90， BGEABE， ， 又BE1， AE2AB2+BE23+14， 迅捷PDF编辑器 - 2 - SBGESABE （3）解：没有变化 理由：

13、AB，BE1， tanBAE，BAE30， ABABAD，ABEADE90，AE公共， RtABERtABERtADE， DAEBAEBAE30， AB与 AE 在同一直线上，即 BF 与 AB的交点是 G， 设 BF 与 AE的交点为 H， 则BAGHAG30，而AGBAGH90，AG 公共， BAGHAG（ASA） ， S四边形GHEBSABESAGHSABESABGSBGE ABE 在旋转前后与BCF 重叠部分的面积没有变化 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数 等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形

14、结合思想的应用 迅捷PDF编辑器 - 1 - S3 练习练习 3 【分析】 （1）用反证法说明根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例式说明； （2）根据两个点到达 O 点的时间不同分段讨论解答； （3）在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题 【解答】证明： （1）因为 A 坐标为（1，） ， 所以 OA2，AOB60 因为 OM24t，ON64t， 当时，解得 t0， 即在甲、乙两人到达 O 点前，只有当 t0 时，OMNOAB，所以 MN 与 AB 不可能平行； （2）因为甲达到 O 点时间为 t，乙达到 O 点的时间为 t，所以甲先到达

15、 O 点，所以 t或 t时，O、M、N 三点不能连接成三角形， 当 t时，如果OMNOBA，则有，解得 t2，所以，OMN 不可能相似 OBA； 当t时，MONAOB，显然OMN 不相似OBA； 当 t时，解得 t2，所以当 t2 时，OMNOBA； （3）当 t时，如图 1，过点 M 作 MHx 轴，垂足为 H， 在 RtMOH 中，因为AOB60， 所以 MHOMsin60（24t）（12t） ， OH0Mcos60（24t）12t， 所以 NH（64t）（12t）52t， 所以 s（12t）2+（52t）216t232t+28 当t时，如图 2，作 MHx 轴，垂足为 H， 在 RtMO

16、H 中，MH（4t2）（2t1） ，NH（4t2）+（64t）52t， 所以 s（12t）2+（52t）216t232t+28 当 t时，同理可得 s（12t）2+（52t）216t232t+28， 迅捷PDF编辑器 - 2 - 综上所述，s（12t）2+（52t）216t232t+28 因为 s16t232t+2816（t1）2+12， 所以当 t1 时，s 有最小值为 12，所以甲、乙两人距离最小值为 2km 【点评】此题综合考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的应用等知识点， 难度较大 迅捷PDF编辑器 - 1 - S4 练习练习 4 【分析】 （1）利用图象与坐标

17、轴交点求法，与 x 轴相交 y0，与 y 轴相交，x0，分别求出即可； （2）根据菱形的判定方法求出要使四边形 DHEF 为菱形，只需 EFDF，利用 DFFAEBt，进而 求出即可； （3）分两种情况讨论：当 0t3 时，四边形 DCEF 落在第一象限内的图形是DFG，当 3t6 时， 四边形 DCEF 落在第一象限内的图形是四边形 DHOF，分别求出即可 【解答】解： （1）图象与 x 轴相交 y0，与 y 轴相交，x0，分别求出： 直线 yx6 与坐标轴交点坐标是：A（6，0） ，B（0，6） ； 如图 1，四边形 DCEF 即为四边形 ABEF 沿 EF 折叠后的图形； （2）四边形

18、DCEF 与四边形 ABEF 关于直线 EF 对称， 又 ABEF， CDEF OAOB，AOB90， BAO45 ABEF， AFE135 DFEAFE135 AFD360213590，即 DFx 轴 DFEH， 四边形 DHEF 为平行四边形 要使四边形 DHEF 为菱形， 只需 EFDF， ABEF，FABEBA， FAEB DFFAEBt 又OEOF6t， EF t 迅捷PDF编辑器 - 2 - 126 当 t126时，四边形 DHEF 为菱形 （3）分两种情况讨论： 当 0t3 时， 四边形 DCEF 落在第一象限内的图形是DFG， S S，在 t0 时，S 随 t 增大而增大， t

19、3 时，S最大； 当 3t6 时， 四边形 DCEF 落在第一象限内的图形是四边形 DHOF， S四边形DHOFSDGFSHGO S， ， a0，S 有最大值 当 t4 时，S最大6综上所述，当 t4 时，S 最大值为 6 【点评】此题主要考查了一次函数的综合应用以及二次函数的最值求法和菱形的判定，熟练利用自变量 的取值范围求出是解题关键 迅捷PDF编辑器 - 1 - S5 练习练习 5 【分析】 （1）ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，易证得BADCAF，根据全等 三角形的对应边相等，即可证得 BDCF； （2）由BADCAF，可得ABMGCM，又由对顶角相等，易证得BM

20、ACMG，根据相 似三角形的对应角相等，可得 BGCBAC90，即可证得 BDCF； 首先过点 F 作 FNAC 于点 N，利用勾股定理即可求得 AE，BC 的长，继而求得 AN，CN 的长，又由 等角的三角函数值相等，可求得 AMAB，然后利用BMACMG，求得 CG 的长，再由勾股 定理即可求得线段 BG 的长 【解答】解（1）BDCF 成立 理由：ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形， ABAC，ADAF，BACDAF90， BADBACDAC，CAFDAFDAC， BADCAF， 在BAD 和CAF 中， BADCAF（SAS） BDCF （2）证明：设 BG 交 AC

21、 于点 M BADCAF（已证） ， ABMGCM BMACMG， BMACMG BGCBAC90BDCF 过点 F 作 FNAC 于点 N 在正方形 ADEF 中，ADDE， AE2，ANFNAE1 在等腰直角ABC 中，AB4， CNACAN3，BC4 迅捷PDF编辑器 - 2 - 在 RtFCN 中，tanFCN 在 RtABM 中，tanABMtanFCN AMAB CMACAM4，BM BMACMG， CG 在 RtBGC 中，BG 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩 形的性质、勾股定理以及三角函数等知识此题综合性很强，难度较大

22、，注意数形结合思想的应用，注 意辅助线的作法 迅捷PDF编辑器 - 1 - S7 练习练习 7.【分析】方法一： （1）令 x0，得到点 A 的坐标，再根据点 A 的纵坐标得到点 B 的坐标，根据抛物线的顶点式和矩形的 性质可得 CD 的坐标； （2）根据待定系数法可得直线 BD 的解析式，设点 P 的坐标为（x，x24x+3） ，则点 H（x，x1） ， 点 G（x，3） 分三种情况：1当 x1 且 x4 时；2当 0 x1 时；3当 x0 时；三种情况讨论可 得点 P 的坐标； 根据相似三角形的性质可得，再根据二次函数的增减性可得 KPH 面积的最大值 方法二： （1）略 （2）分别列出

23、P，H，G 三点参数坐标，根据 PH2GH，求出 P 点坐标 因为KPHAEF，分别求出AEF 的面积，EF 的长度及 PH 的参数长度，再根据相似三角形面积 比等于边长比的平方，列出等式，从而求出KPH 的面积函数，可求出KPH 面积的最大值 【解答】方法一： 解： （1）A（0，3） ，B（4，3） ，C（4，1） ，D（0，1） （2）设直线 BD 的解析式为 ykx+b（k0） ，由于直线 BD 经过 D（0，1） ，B（4，3） ， ，解得， 直线 BD 的解析式为 yx1 设点 P 的坐标为（x，x24x+3） ，则点 H（x，x1） ，点 G（x，3） 1当 x1 且 x4 时，

24、点 G 在 PH 的延长线上，如图 PH2GH， （x1）（x24x+3）23（x1）， x27x+120， 解得 x13，x24 当 x24 时，点 P，H，G 重合于点 B，舍去 x3 此时点 P 的坐标为（3，0） 迅捷PDF编辑器 - 2 - 2当 0 x1 时，点 G 在 PH 的反向延长线上，如图，PH2GH 不成立 3当 x0 时，点 G 在线段 PH 上，如图 PH2GH， （x24x+3）（x1）23（x1）， x23x40，解得 x11，x24（舍去） ， x1此时点 P 的坐标为（1，8） 综上所述可知，点 P 的坐标为（3，0）或（1，8） 如图，令 x24x+30，得

25、 x11，x23， E（1，0） ，F（3，0） ， EF2 SAEFEFOA3 KPHAEF， ， 迅捷PDF编辑器 - 3 - 1x4， 当时，sKPH的最大值为 方法二： （1）略 （2）D（0，1） ，B（4，3） ， lBD：yx1， 设 P（t，t24t+3） ，H（t，t1） ，G（t，3） ， PH2GH， |t24t+3t+1|2|3t+1|， 1、t24t+3t+12（4t） ， t13，t24（与 B 点重合，故舍去） ， 2、t24t+3t+12（4t） ， t13，t24（与 B 点重合，故舍去） ， 点 P 的坐标为（3，0）或（1，8） 令 t24t+30，得 x

26、11，x23， E（1，0） ，F（3，0） ， EF2，SAEFEFOA3， 点 P 在直线 BD 下方，HPHYPY， PHt1t2+4t3t2+5t4， KPHAEF， ， SKPH（t25t+4）2， 当时，sKPH的最大值为 迅捷PDF编辑器 - 4 - 【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上的点的坐标特征，抛物线的顶点式，矩形 的性质，待定系数法求直线的解析式，相似三角形的性质，二次函数的增减性，分类思想，综合性较强， 有一定的难度 迅捷PDF编辑器 - 1 - S8 练习练习 8.【分析】 （1）根据反称点的定义，可得当O 的半径为 1 时，点 M（2，1）关于O

27、 的反称点不存 在；N（，0）关于O 的反称点存在，反称点 N（，0） ；T（1，）关于O 的反称点存在， 反称点 T（0，0） ； 由 OP2r2，得出 OP24，设 P（x，x+2） ，由勾股定理得出 OP2x2+（x+2）22x24x+4 4，解不等式得出 0 x2再分别将 x2 与 0 代入检验即可； （2） 先由 yx+2， 求出 A （6， 0） ， B （0， 2） ， 则， OBA60， OAB30 再 设 C（x，0） ，分两种情况进行讨论：C 在 OA 上；C 在 A 点右侧 【解答】解： （1）当O 的半径为 1 时 点 M（2，1）关于O 的反称点不存在； N（，0）关

28、于O 的反称点存在，反称点 N（，0） ； T（1，）关于O 的反称点存在，反称点 T（0，0） ； OP2r2，OP24，设 P（x，x+2） ， OP2x2+（x+2）22x24x+44， 2x24x0， x（x2）0， 0 x2 当 x2 时，P（2，0） ，P（0，0）不符合题意； 当 x0 时，P（0，2） ，P（0，0）不符合题意； 0 x2； （2）直线 yx+2与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B， A（6，0） ，B（0，2） ， ， OBA60，OAB30 设 C（x，0） 当 C 在 OA 上时，作 CHAB 于 H，则 CHCP2r2， 迅捷PDF编辑器 - 2 - 所

29、以 AC4， C 点横坐标 x2（当 x2 时，C 点坐标（2，0） ，H 点的反称点 H（2，0）在圆的内部） ； 当 C 在 A 点右侧时，AC 最大值为 2， 所以 C 点横坐标 x8 综上所述，圆心 C 的横坐标的取值范围是 2x8 【点评】本题是圆的综合题，其中涉及到一次函数图象上点的坐标特征，特殊角的三角函数值，勾股定 理，一元二次不等式的解法，利用数形结合、正确理解反称点的意义是解决本题的关键 迅捷PDF编辑器 - 1 - S9 练习练习 9.【分析】 （1）根据 A、B 两点坐标求直线 AB 的解析式，令 x0，可求 E 点坐标； （2）设抛物线解析式为 yax2+bx+c，将 A（2，2） ，B（6，6） ，O（0，0）三点坐标代入，列方程组 求 a、b、c 的值即可； （3）依题意，得直线 OB 的解析式为 yx，设过 N 点