高等数学第四章第四节不定积分课件.ppt

1、第二节 定积分在几何学上的应用,平面图形的面积 体积 平面曲线的弧长,1/31,一、平面图形的面积,1. 直角坐标情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,边梯形面积为 A ,仿此可得图1的面积：,A,y,x=f(y),图2的面积：,（图1）,（图2）,上曲线减下曲线对x积分。,y+dy,x+dx,一般解题步骤：,（1）画草图，定结构；,（2）解必要的交点，定积分限；,（3）选择适当公式，求出面积（定积分）。,注意：答案永远为正。,例1. 计算两条抛物线,在第一象限所围,图形的面积 .,解: 由,得交点,（图3）的面积：,x,y=f(x),（图3）,（图4）的面积：,A,x=f(y),（图5

2、）,x=g(y),右曲线减左曲线对y积分。,（图5）的面积：,右图所示图形面积为,此时积分要分区间计算。,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,解,选 为积分变量,6/31,另解,先求两曲线的交点。,5/31,设曲边梯形的曲边参数方程为,其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公式经过定积分的换元法得到：,2.参数方程情形,8/31,一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值,则曲边梯形面积,椭圆的面积,9/31,例4. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解:,曲边扇形面积元素,曲边扇形的面积公式,3. 极坐标方程的情形,1

3、0/31,对应 从 0 变,例1. 计算阿基米德螺线,解:,到 2的 一段与极轴所围图形面积 .,解,由对称性知，总面积=第一象限部分面积的4倍。,11/31,解,利用对称性知，所求面积为上半部的两倍，,12/31,*例4. 计算心形线,与圆,所围图形的公共面积 .,解: 利用对称性 ,所求面积,解,利用对称性知，所求面积为上半部的两倍，A=2A1.,而A1=S1+S2,旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体这条直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、体积,1. 旋转体的体积,13/31,旋转体的体积公式,14/31,15/31,解,16/31,例2. 计算由椭圆,所围图形绕

4、x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,注意：,解,18/31,动画,另解,19/31,解,20/31,21/31,P286.19,证：,称之为“柱壳法”,利用这个公式，可知例4中,奇函数,偶函数,例5,解,利用“柱壳法”,2、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,特别 , 当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体

5、体积时,有,解,取坐标系如图所示。,垂直于x轴的截面的面积为,所求立体体积,23/31,另解,以垂直于 y 轴的平面切割立体，得截面面积为,立体体积,24/31,三、 平面曲线的弧长,弧长元素（弧微分）基本公式,弧长,25/31,弧长,弧长,26/31,例1. 求连续曲线段,解:,的弧长.,解,星形线在第一象限部分的方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,27/31,另解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,28/31,解,29/31,例4. 计算摆线,一拱,的弧长 .,解:,1、直角坐标方程给出的平面图形的面积一般以直角坐标为积分变量；,四、小结,2、参数方程给出的平面图形的

6、面积可由直角坐标面积计算公式经积分变量替换得到；,3、极坐标方程给出的平面图形的面积一般以由极坐标为积分变量；,4、曲边梯形的面积的计算一般以由直角坐标为积分变量；曲边扇形的面积的计算一般以由极坐标为积分变量。,30/31,5、旋转体的体积,绕 轴旋转一周；,绕 轴旋转一周；,（绕非坐标轴直线旋转一周）.,6、平行截面面积为已知的立体的体积。,参数方程；,极坐标方程。,8、求弧长的公式,直角坐标方程；,7、平面曲线弧长元素（弧微分）的基本公式；,31/31,1. 平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2. 平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,求弧长时积分上下限必须上大下小,注意：,3. 已知平行截面面积函数 A(x) 的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴 :,绕 y 轴 :,(柱壳法),作 业,习题6-1,思考与练习,1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .,提示: 交点为,弧线段部分,直线段部分,以