第2章_信号的频域分析_2.5离散时间非周期信号的频域分析.ppt

1、第2章 信号的频域分析,2.5 离散时间非周期信号的频域分析,离散时间周期信号能够用具有谐波关系的复指数序列的线性组合来表示，称为离散傅里叶级数。将这一概念推广应用到离散时间非周期信号，认为离散时间非周期信号也能够用具有谐波关系的复指数序列的线性组合来表示。 当离散时间周期信号的周期N趋于无穷大时，则离散时间周期信号就转化为离散时间非周期信号，其离散频谱就转化为连续频谱，称为离散时间傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform，DTFT）。,2.5.1 离散时间傅里叶变换的定义,离散时间傅里叶正变换（分解公式）：,离散时间傅里叶反变换（合成公式）：,证明：与傅里叶

2、变换的证明类似。,以上两式称为傅里叶变换对，记作,说明： （1）频谱密度函数的概念 对离散时间傅里叶反变换（合成公式）进行改写,从此式可以看出，各次谐波exp(j n)的幅值为X()d /2，而该幅值的宽度是数字频率的微分d （无穷小），因此离散时间傅里叶正变换 X()表示幅值的密度，称为频谱密度函数，简称频谱。从此式可以看出，离散时间非周期信号x(n)的频谱密度函数X()是数字频率的连续函数。,（2）连续时间非周期信号的频谱没有周期性，而离散时间非周期信号的频谱具有周期性，且周期为2。 证明：与前述类似，数字频率的周期为2。,2.5.2 离散时间傅里叶变换的性质,离散时间傅里叶变换的性质与连

3、续时间傅里叶变换的性质类似。 共轭对称与共轭反对称性质：,例：非周期序列的频谱分析 已知非周期序列：,2.5.3 非周期序列的离散时间傅里叶变换举例,周期序列的时域波形：,采用 MATLAB计算该非周期序列的频谱（DTFT）。,周期序列的频谱：实部和虚部。,clear all; N=10;%设定序列长度，共10点。 n=0:1:N;%定义序列的离散变量。 a=0.5;%设定指数序列的底。 syms t w;%定义符号变量。 xt=at;%定义序列的符号表达式，xt为连续时间指数函数。 Xw=symsum(xt*exp(-j*w*t),t,0,N);%采用符号表达式symsum计算序列的DTFT

4、。 figure(1);%绘制非周期序列的时域波形散点图。 xn=subs(xt,t,n);%将序列的符号表达式离散化，绘制序列的散点图，共10点。 stem(n,xn,.); axis(0,N,0,1); xlabel(n); ylabel(x(n); grid; figure(2);%绘制非周期序列DTFT的实部和虚部。 subplot(2,1,1); ezplot(real(Xw);%实频。序列的DTFT是以2*pi为周期的连续频谱。 xlabel(); ylabel(Real Part of X(); grid; subplot(2,1,2); ezplot(imag(Xw);%虚频。

5、序列的DTFT是以2*pi为周期的连续频谱。 xlabel(); ylabel(Imaginary Part of X(); grid;,symsum Symbolic summation of series Syntax r = symsum(s) r = symsum(s,v) r = symsum(s,a,b) r = symsum(s,v,a,b) Description r = symsum(s) is the summation of the symbolic expression s with respect to its symbolic variable k as deter

6、mined by findsym from 0 to k-1. r = symsum(s,v) is the summation of the symbolic expression s with respect to the symbolic variable v from 0 to v-1. r = symsum(s,a,b) and r = symsum(s,v,a,b) are the definite summations of the symbolic expression from v=a to v=b.,Xw = 1+1/2*exp(-i*w)+1/4*exp(-2*i*w)+

7、1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(-4*i*w)+1/32*exp(-5*i*w)+1/64*exp(-6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(-8*i*w)+1/512*exp(-9*i*w)+1/1024*exp(-10*i*w) Xw_real = 1+1/4*exp(-i*w)+1/8*exp(-2*i*w)+1/16*exp(-3*i*w)+1/32*exp(-4*i*w)+1/64*exp(-5*i*w)+1/128*exp(-6*i*w)+1/256*exp(-7*i*w)+1/512*exp(-8*i*w)+1/1024*exp(-

8、9*i*w)+1/2048*exp(-10*i*w)+1/2*conj(1/2*exp(-i*w)+1/4*exp(-2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(-4*i*w)+1/32*exp(-5*i*w)+1/64*exp(-6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(-8*i*w)+1/512*exp(-9*i*w)+1/1024*exp(-10*i*w) Xw_imag = -1/2*i*(1/2*exp(-i*w)+1/4*exp(-2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(-4*i*w)+1/32*exp(-5*

9、i*w)+1/64*exp(-6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(-8*i*w)+1/512*exp(-9*i*w)+1/1024*exp(-10*i*w)-conj(1/2*exp(-i*w)+1/4*exp(-2*i*w)+1/8*exp(-3*i*w)+1/16*exp(-4*i*w)+1/32*exp(-5*i*w)+1/64*exp(-6*i*w)+1/128*exp(-7*i*w)+1/256*exp(-8*i*w)+1/512*exp(-9*i*w)+1/1024*exp(-10*i*w),2.5.4 脉冲序列和阶跃序列的离散时间傅里叶变换（1）

10、单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换,证明：,根据离散时间傅里叶变换的时移性质，即可得出时移后的单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换为,（2）周期为1的单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换,证明：如图所示，周期为1的单位脉冲序列也可以被称为单位常数序列，并可以表示为,（3）周期为N的单位脉冲序列的离散时间傅里叶变换,证明：如图所示，周期为N的单位脉冲序列也可以被称为周期为N的单位常数序列，并可以表示为,（4）单位阶跃序列的离散时间傅里叶变换,证明：,2.5.5 周期序列的离散时间傅里叶变换,周期序列： 复指数序列 余弦序列 正弦序列 一般周期序列 周期性单位脉冲序列,（1）复指数序列、余弦序列和正弦序列的离散时间傅里叶变换,证明：考虑下列结论即可得证。 单位常