第四章不定积分.ppt

1、第四章 不定积分,不定积分概念与性质 换元积分法 分部积分法 几种特殊类型函数的积分 积分表的使用（略）,第一节 不定积分概念与性质,一、原函数与不定积分 二、不定积分的性质 三、基本积分公式、直接积分法,不定积分,引言：,已知质点的运动规律s=s(t),则速度v(t)=s(t); 反之若已知质点各时刻的运动速度v=v(t) 如何求其运动规律s=s(t)?,从数学角度看：找一函数s=s(t)，使s(t) =v(t) .,1. 原函数定义：,一、原函数与不定积分,如：,注：,2.原函数存在定理：,(i) 连续函数一定有原函数；,(iii)函数的两个原函数间相差一个常数；,(ii) 任一函数的原函

2、数（若存在）有无穷多；,(iv)原函数的全体为,这里叫做积分号，f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积 表达式，x叫做积分变量.,3. 不定积分定义：,若F(x)为f(x)在I上的一个原函数，则表达式F(x)+C称为f(x)在上I的不定积分，记作,被积表达式,积分常数,例1,解：,例2 一曲线过点(e2,3)且在任一点处的切线斜率等于该 点横坐标的倒数，求该曲线方程.,解：,设所求曲线为y=y(x)，依题意,(f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线),4.不定积分的几何意义,x,y=F(x),5. 积分运算与微分运算的关系：,（先积后微形式不变）,（先微后积差一常数）,6. 基本积分

3、表：,例3,解：,性质1：,性质2：,可以推广至k个函数.,证明只需等式两边求导，相等即可,例4 求下列不定积分,二、不定积分的性质,解：,解：,求下列不定积分,练习：,答案：,求下列不定积分,思考：,利用变量u代替x积分可以简化运算！？,第二节 换元积分法,一、第一类换元法,不定积分,把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法换元积分法,引：,一、第一类换元法,定理1：,含义：,这两例实际上应用了变量代换，（换元积分法）,解,例1 求下列不定积分,注 1. 以上求不定积分过程是将被积函数中一部分 与dx凑成某函数的微分du，而被积函数中余下部 分恰为u的

4、函数，故称为凑微法.,注 2. 求不定积分比较熟练之后，中间变量u，du可以 不写出，而采用下面的写法：,解,例2 求下列不定积分,解,解,例3 求下列不定积分,例4 求下列不定积分,例5 求下列不定积分,常见的凑微分形式,练习,提示,求下列不定积分,思考：,利用x=(t)的反函数回代！？,利用变量代换x=(t)化简积分！,不定积分,定理2：,证：,二、第二类换元法,例6 求下列不定积分,解 （利用适当的三角代换化为易求的积分）,由辅助三角形（如图）,例7 用倒代换或根式代换求不定积分,解,解,例8 用已有的结果求不定积分,解,练习,提示,第三节 分部积分法,分部积分法,不定积分,利用两个函数乘积的求导法则，可得到求积分的一个基本方法分部积分法,关键：,例1,解,例2,解,解,例3,解,解,例4（综合练习）,解,例5,解,练习,提示,第四节 几种特殊类型函数的积分,一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分,不定积分,1.有理函数,2.真分式的部分分式分解法,一、有理函数的积分,例如,待定系数可以通过如下方式确定： (i)去分母，比较同次幂的系数； (ii)给x以特定值.如,3.真分式的积分,例1,解,例2,解,例3,解,1.三角函数有理式,由三角函数及常数经有限次四则运算构成的函