《分数的意义和性质》重难点突破

1、分数的意义和性质突破困难浙江省诸暨市实验小学教育集团陈菊地(初稿)浙江省诸暨市教育局教研室唐吉(统一草案)首先，理解分数的含义突破性建议：1.从多个角度理解和揭示分数的来源，促进学生对分数本质的理解。在小学数学中，认知分数是学习数概念的重要延伸。因此，在教学中，我们应该从揭示产生分数的现实背景入手，帮助学生理解分数的含义。从现实的角度来看，数字被用来表示数量。比如6支笔和8个人，可以用自然数6和8来表示。然而，除了上面列出的由一些单位量合成并可以用自然数表示的量之外，还有许多不能用自然数表示的可分量。从历史上看，分数的引入是为了准确衡量需要分段的数量。此外，从数学的角度来看，分数的引入是为了解

2、决除法不能总是在整数集中实现的矛盾。例如，23不能在整数范围内计算，分数可以记录为23=。在引入分数的概念后，通过分割蛋糕和月饼的例子抽象出分数与除法的关系，使学生认识到利用分数可以解决整数除法的无穷矛盾。也就是说，从数学内部发展的角度来看，它揭示了分数的起源。总之，教学从多个角度呈现了分数的来源，使学生认识到分数的产生是为了满足客观和实际的需要。同时，它为学生理解分数的含义提供了丰富的教材，从而为学生理解分数的本质含义提供了一个坚实的学习平台。2.充分利用学生现有的知识库和学习经验，及时抽象和总结学习活动中分数的含义。本单元的教学是在三年级学生“对分数的初步理解”的基础上进行的，也就是说，学

3、生已经具备了通过平均一个数字、一个物体等来获得分数的认知基础。因此，本课程的研究对象是将一些对象作为一个整体。然而，在实际教学中，分数单位“1”的相对性和自然数“1”的确定性在学生现有的知识和经验中是矛盾的，这导致了分数的意义并没有被他们现有的认知结构所接受和同化。也就是说，单位“1”不仅代表一个对象，而且是由多个对象组成的整体。例如，一个物体、一个图形和一个度量单位可以称为单位“1”，而由一些物体组成的整体也可以称为单位“1”，即单位“1”所对应的量是动态的和相对的。当单位“1”表示为一个物体(如苹果、圆、一米线段)时，它与学生以前的经验所确定的不变自然数“1”是一致的。当单位“1”表示为多

4、个对象(如10个苹果、23个圆、35条一米长的线段)时，与自然数“1”相冲突，因此，本单元教学的主要任务是帮助学生重构和拓展单位“1”的含义，进而揭示分数的本质。因此，教学可能如下：(1)复习旧知识，引入新的课程说明：得分。黑板上写着：你对这样的分数了解多少？(每个零件的名称、生产过程等。(你能找到表达它的方法吗？有三种默认表示：(前两个类别)为什么不同的图形可以被表示？摘要：将一个数字平均分成4个部分，这样一个部分用。(在黑板上写字)第三类可以用语言表达吗？引起猜测。(2)操作经验，一般意义这张图片和之前的图片有什么不同？(作为一个整体，提高代表性。(如果有更多的圆圈，你如何表达它们？你能画

5、一幅画吗？(一个学生走到黑板前，用磁铁摆动)形成：三个代表之间有什么区别？(总量不同，表示的量也不同)；为什么不同的量可以表达？整体。总而言之：一是四，二是八，三是十二。如何表达更多的圆？(平均分为4部分，表示为总结：部分是整体。如前一平面图、线段、圆整体等。这些可以称为单位“1”。(写在黑板上)问：你为什么在1上加引号？(区别于自然数1，表示特定的标题)看下面的图表。你看到多少分数？你是怎么得出这些分数的？整体是12，部分是4。为什么可以用不同的分数来表达？摘要：将单元“1”平均分成几个部分，这样一个或几个部分可以用分数来表示。显然，这一环节的教学无疑对学生的思维和认知有很好的促进作用。在创

6、造分数的过程中，学生不仅能深刻理解分数的含义，还能尝到探索活动的乐趣，树立良好的学习信心。3.在纠错实践中积累数学经验，正确体现分数的内涵。分数概念的多重含义是指学生必须紧跟教学进度，不断激发已有的分数学习体验，逐步拓展，积极建构新的分数体验，不断拓展和提高对分数内涵和分数概念的认知和把握。在此基础上，我们要善于引导学生从不同的角度和不同的意义情境中认识分数，理解它们不同的表现方式，理解它们不同的内涵，正确树立分数的概念。否则，学生很难灵活运用所学知识解决实际的分数问题。错误1在下面的数轴上，可以找到介于和之间的分数。错误2虚线框代表一根小棍子。请估计选项(b)代表一根小棍子。错例1反映了学生

7、对分数缺乏数感，对分数密集的知识掌握不牢。他们只是把在数轴上和数轴之间可以看到的三个标记作为可以找到的分数。事实上，不管哪两个分数存在，都有无数的分数。错误案例2中学生没有选择a，表明他们已经意识到“小棍子”的长度肯定比“根”的长度长。实际调查还发现，一些学生知道他们想通过计算来长出“根”，但他们对“根”是谁却非常模糊，所以他们把已知的根棒作为需要估计的单位“1”。因此，只有牢牢把握分数概念的不同表征，深刻理解分数概念的多重含义，才能达到举一反三的学习效果，才能真正运用所学知识解决学习和生活中遇到的相关问题，提高我们的数学素养，发展我们的数学能力。第二，用公因数(公倍数)和最大公因数(最小公倍

8、数)解决实际问题突破性建议：1.引导学生体验知识探索的过程，培养学生独立解决问题的能力。该教材改变了原实验教材中问题解决和概念引入相结合的安排，主要是考虑到学生理解困难。因此，新版教材将这一部分的编排改为给出最大公约数和最小公倍数的概念，突出概念的本质，然后探索其解决方法，最后认识其实际意义，加深对概念在解题中应用的理解。虽然这一部分与生活密切相关，但在实践中，由于学生缺乏必要的生活经验和知识经验，用公因式(公倍数)和最大公因式(最小公倍数)解决实际问题仍然相当困难。因此，如何将生活中的实际问题转化为抽象的数学问题，进而解决现实生活中的问题。一方面，要尽可能加强与现实生活的联系，激发学生的生活

9、认知；另一方面，要引导学生体验知识探索的过程，注重培养解决实际问题的意识和能力，培养学生独立解决问题的能力。例如，阅读和理解问题的含义，通过交流收集相关信息，让学生理解在储藏室的长方形地板上铺设一个正方形不仅需要覆盖它，还需要使用整块的方块砖。进一步思考：边长是多少？整个方形地砖都被盖住了？然后，在“分析与解决”环节，通过操作实践、合作与交流，学生了解到，为了满足用方砖铺地的要求，为了满足覆盖和使用整块方砖的要求，只要方地砖的边长同时满足矩形地面的长和宽的要求，即方地砖的边长可以将矩形地面的长和宽完全分开，即地砖的边长必须是16的倍数。最后，通过让学生画另一幅画，相互验证和交流，学生可以理解地砖的边长必须是16的因子和12的因子。形成解决这些问题的方法和策略。2.充分注意操作与想象的结合，培养学生的空间观念。用公因数(公倍数)和最大公因数(最小公倍数)解决实际问题的关键是帮助把生活问题转化为数学问题。如何帮助学生理解和实现这一转变不仅是教学的重点，也是教学的难点。在教学中实现这一突破，引导学生操作和想象是一种有效的方法。例如，在解