2019年高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第4节 归纳与类比学案 理 北师大版

1、第四节 归纳与类比考纲传真(教师用书独具)1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异(对应学生用书第99页)基础知识填充1归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性我们将这种推理方式称为归纳推理2类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理3归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“

2、”，错误的打“”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理()(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(3)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(4)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知数列an中，a11，n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()Aan3n1Ban4n3Cann2Dan3n1Ca11，a24，a39，a416，猜想ann2.3数列2,5,11,20，x,47，中的x等于()A28B32C33D27B523,11

3、56,20119，推出x2012，所以x32.4在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_18这两个正四面体的体积比为18.5观察下列不等式1，1，1，照此规律，第五个不等式为_1先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1.(对应学生用书第100页)归纳推理角度1与数字有关的推理(2018兰州实战模拟)观察下列式子：1,121,12321,1234321，由以上可推测出一个一般性结论

4、：对于nN，则12n21_.n2因为1112,121422,12321932,12343211642，由此可得12n21n2.角度2与式子有关的推理已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN，则f2 019(x)的表达式为_. 【导学号：】f2 019(x)f1(x)，f2(x)，f3(x)，fn1(x)f(fn(x)，归纳可得f2 019(x).角度3与图形有关的推理如图641的图形由小正方形组成，请观察图(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是_图641(nN)由题图知第n个图形的小正方形个数为123n.所以总个数为(nN)规律方

5、法归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.(3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.跟踪训练(1)数列，的第20项是()A.B.C.D.(2)已知x(0，)，观察下列各式：x2，x3，x4，类比得xn1(nN)，则a_.(3)(2018郑州第二次质量预测)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，依次类推，凸十三边形的对角线条数为()A42B65 C143D169(1)C(2)nn(nN)(3)B

6、(1)数列在数列中是第123m项，当m5时，即是数列中第15项，则第20项是，故选C.(2)第一个式子是n1的情况，此时a111；第二个式子是n2的情况，此时a224；第三个式子是n3的情况，此时a3327，归纳可知ann.(3)可以通过列表归纳分析得到凸多边形45678对角线条数223234234523456所以凸13边形有2341165条对角线故选B.类比推理(1)若数列an是等差数列，则数列bn也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为()AdnBdnCdnDdn(2)在平面几何中，ABC的C的平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结

7、论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图642)，平面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是_图642(1)D(2)(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn.法二：若an是等差数列，则a1a2anna1d，bna1dna1，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则c1c2cncq12(n1)cq，dnc1q，即dn为等比数列，故选D.(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得.规律方法类比推理的常见情形与处理方法(1)常见情形：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方).数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等.(2)处理方法：进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键.跟踪训练给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，cC，则ac0ac”；“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“